log 24log 3+-=2log 22222log 24log 32log 8235+-=+=+=5332a b +=2a b +≤2
a b +>332a b +=2a b +≤2a b +>2
a b +>
（1）假设结论不成立；
（2）从假设出发推出矛盾；
（3）假设不成立，则结论成立．
在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
7. 已知是关于的方程的两个根，则 ________.
【答案】4
【解析】
【分析】由条件可得，然后利用算出答案即可.
【详解】因为是关于的方程的两个根，
所以
，所以故答案为：4
8. 已知，则
的最小值为________．【答案】【解析】
【分析】首先根据题意得到，再利用基本不等式求解即可.【详解】因，所以，
所以.当且仅当，即时取等号.所以的最小值为.故答案为：9. 若函数在区间内的一个零点的近似值用二分法逐次计算列表如下：那么方程
的一个近似解为_________（精确到0.1）．为αβ、x ()22
240x mx m m R -+-=∈αβ-=+=2m αβ2=4m αβ-αβ-=αβ、x ()22240x mx m m R -+-=∈+=2m αβ2=4m αβ-4αβ-=
==3x >-13x x +
+1
-113333
x x x x +=++-++3x >-30x +>11333133x x x x +=++-≥-=-++133x x +=
+2x =-13
x x ++1-1
-()31f x x x =--[]1,1.5310x x --=x =()10f <()1.50
f >()1.250
f <()1.3750f >
【答案】1.3
【解析】
【分析】根据，可以判定函数零点所在区间即可求得近似解.
【详解】由题可得，
所以函数零点所在区间由题：0.1，所以其近似解为1.3.
故答案为：1.3
10. 若是奇函数，当时，则__________．
【答案】【解析】
【分析】根据题设条件，利用，即可求解.
【详解】由题意，函数是奇函数，当时，
所以.
故答案为：.
11. 已知问题：“恒成立，求实数的取值范围”.两位同学对此问题展开讨论：小明说可以分类讨论，将不等式左边的两个绝对值打开；小新说可以利用三角不等式解决问题.请你选择一个适合自己的方法求解此题，并写出实数的取值范围___________．
【答案】【解析】
【分析】根据三角不等式求出最小值即可得解.【详解】根据三角不等式，所以恒成立，只需，
所以或解得.()1.31250f <()1.343750
f >()1.31250f <()1.343750f >()1.31250f <()1.343750f >()
1.3125,1.34375()y f x =0x >()()2log 2f x x =+()2f -=2
-()()22f f -=-()y f x =0x >()()2log 2f x x =+()()222log (22)2f f -=-=-+=-2-35x x a ++-≥a a (][
)
,82,-∞-+∞ 33x x a a ++-≥+35x x a ++-≥35a +≥35a +≤-35
a +≥(][),82,a ∈-∞-+∞U
故答案为：12. 已知函数，若，则实数的取值范围是_________．【答案】【解析】
【分析】根据函数单调性分段处理即可得解.
【详解】由题函数在单调递增，在为常数函数，
且若则或或则或或
或或，综上所述：故答案为：二、选择题（本大题共有4题，满分12分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 3分，否则一律得零分.
13. “
”是“指数函数在上是严格减函数”的 （ ）A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件
D. 既非充分也非必要条件【答案】A
【解析】
【分析】根据定义，分充分性和必要性分别判断即可.
(][
),82,-∞-+∞ ()21,02,0
x x f x x ⎧+≤=⎨>⎩()()221f a a f a -≤-a ⎫+∞⎪⎪⎭
()21,02,0
x x f x x ⎧+≤=⎨>⎩(],0-∞()0,∞+()02
f =()
()221f a a f a -≤-2210a a a -≤-≤2
201a a a -≤≤-22010a a a ⎧-≥⎨-≥⎩23101a a a ⎧-+≤⎨≤⎩
22001a a a ⎧-≤⎨≤-⎩22010a a a ⎧-≥⎨-≥⎩1a ≤≤12a ≤≤2a ≥a ⎫∈+∞⎪⎪⎭
⎫+∞⎪⎪⎭
12
a =x y a =R
【详解】充分性：时，在上是严格减函数成立，故充分性满足；必要性：由“指数函数在上是严格减函数”可得：，所以不一定成立，故必要性不满足.
故“”是“指数函数在上是严格减函数”的充分非必要条件.故选：A.
14. 任意，下列式子中最小值为2的是（ ）
A. B. C. D. 【答案】B 【解析】【分析】A.通过举例排除；BCD 通过基本不等式及等号成立条件来判断.
【详解】A.
当时，排除；B.，当且仅当时等号成立，符合；C
D. ，当且仅当时等号成立，故等号不能成立，则，排除.
故选：B.
15. 若，则等于A.
B. C.
D. 【答案】B
【解析】的.12a =12x
y ⎛⎫= ⎪⎝⎭
R x y a =R 01a <<12a =12
a =x y a =R x
∈R 1x x
+22x x -+222x x
+1x =-12x x
+=-222-+≥=x x 0x =222x x +≥=2x =2+≥=221x +=2+
>18log 9185b
a ，==36log 452a b
a
++2a b a +-2a b a +2a b a +
【分析】先化为，化再利用换底公式化简
，解得，最后利用换底公式求结果.
【详解】∵18b=5，∴，又，联立解得．∴．故选B．
【点睛】本题考查换底公式，考查基本化简求解能力.
16. 我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图像来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数图像的
特征，如函数（）的图像不可能是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性，分类，和三种情况分类讨论，结合选项，即可求解.
【详解】由题意，函数的定义域为关于原点对称，
且，所以函数为偶函数，图象关于原点对称，
当时，函数且，图象如选项B中的图象；
185
b=
5
53
182
3
log
log
2log
b==
+
9
3
182
33
log2
log2log
a==
+ 3
3
22
log2
2
log5
a
a
b
a
-
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
5
53
182
3
log
log
2log
b==
+
9
3
182
33
log2
log2log
a==
+
3
3
22
log2
2
log5
a
a
b
a
-
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
955
4533
392
33
2
2
log2log
log
22
log22log2
22
b
a b
a
a a
a
⨯
⨯
+
++
====
-
+-
+⨯
2
()
a
f x x
x
=+a R
∈
a=0
a<0
a>
2
()()
a
f x x a R
x
=+∈(,0)(0,)
x∈-∞⋃+∞
()()
f x f x
-=()
f x
a=2
()
f x x
=(,0)(0,)
x∈-∞⋃+∞
当时，若时，函数，可得，函数在区间单调递增，此时选项C 符合题意；
当时，若时，可得，则，令，解得，当时，单调递减；当时，单调递增，所以选项D 符合题意.故选：A.
三、解答题（本大题共有5题，满分52分）解答下列各题必须写出必要的步骤．
17. 已知a ，b 都是正实数，求证：，并指出等号成立的条件.【答案】证明见解析【解析】
【分析】利用作差法证明即可.
【详解】证明：
所以 ， 且等号当且仅当时成立
18.
设不等式的解集为，不等式的解集为.（1）求集合、；
（2）已知全集，求.
【答案】（1），； （2）或.
0a <0x >2
()a f x x x =+32
2()0x a
f x x
-'=>()f x (0,)+∞0a >0x >2
()a f x x x =+322
2()2a x a
f x x x x
-'=-=()0f x '=x =
x ∈()0f x '<()f x )x ∈+∞()0f x '>()f x 3322a b a b ab +≥+()(
)()3
3
2
2
2
2
()a b a b ab a b a ab b
ab a b +-+=+-+-+()()2
a b a b =-+≥3322a b ab a b +≥+a b =213x -≤P 228x ≤≤Q P Q R U =P Q {}12P x x =-≤≤{}
13Q x x =≤≤{
1P Q x x ⋂=<}2x >
【解析】
【分析】（1）解两不等式可得出集合、；
（2）求出集合，利用补集的定义可求得集合.【小问1详解】
解：由可得，解得，由可得，因此，.【小问2详解】
解：由（1）可得，因此，或.19. 已知函数（1）求函数的值域；
（2）求证：函数在上是严格减函数.【答案】（1） （2）证明见解析【解析】
【分析】（1）由可推出答案；
（2）利用定义证明即可.【小问1详解】
因为，所以所以函数的值域为【小问2详解】
设是上任意给定的两个实数，且，
则
， ，
函数在上是严格减函数
20.
P Q P Q P Q 213x -≤3213x -≤-≤12x -≤≤32282x ≤≤=13x ≤≤{}12P x x =-≤≤{}
13Q x x =≤≤{}12P Q x x ⋂=≤≤{
1P Q x x ⋂=<}2x >()121
x f x =
+()f x ()y f x =R ()0,1()20,x
∈+∞()20,x
∈+∞()
211,x
+∈+∞()f x ()0,112,x x R 12x x <()()1212112121x x f x f x -=-++()()
2112222121x x x x
-=
+⋅+12x x < 2122x x ∴> 1
210x +>2
210x +>()()12f x f x ∴>∴()y f x =R
浦东某购物中心开业便吸引了市民纷纷来打卡（观光或消费），某校数学建模社团根据调查发现：该购物中心开业一个月内（以30天计），每天打卡人数与第天近似地满足函数（万人），k 为正常数，且第8天的打卡人数为9万人.（1）求k 的值；
（2）经调查，打卡市民（含观光）的人均消费（元）与第天近似地满足下表： x (天)
101418222630(元)
131
135
139
143
139
135
现给出以下三种函数模型：①，②，
③.请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述打卡市民（含观光）的
人均消费（元）与第天的关系，并求出该函数的解析式；
（3）请在问题（1），（2）的基础上，求出该购物中心日营业收入（，x 为正整数）的最小值（单位：万元）.
（注：日营业收入=日打卡人数人均消费）.【答案】（1）8； （2）函数模型②满足要求，；
（3）1116万元.【解析】
【分析】（1）直接根据即可求出的值；
（2）根据表格可知的值先增大，后减小，从而可得到函数模型②满足要求；然后根据表格中的数据代入函数的关系式即可求出答案；
（3）分且为正整数和且为正整数两种情况分段讨论去掉绝对值符号，从而可求函数的最小值.【小问1详解】
因为第天的打卡人数为万人，所有，解得.【小问2详解】
由表格，可知的值先增大，后减小，所以显然，函数模型②满足要求，
()P x x ()8k
P x x
=+()C x x ()C x ()C x ax b =+()22C x a x b =-+()x
C x a b =+()C x x ()f x 130x ≤≤()P x ⨯()C x ()22143C x x =--+()P =k ()C x 2230x ≤≤x 121x ≤≤x ()88
k
P =+=8k =()C x
又由表格可知，代入，得，解得，
所以.【小问3详解】
易知，
当且为正整数时，因为为减函数，所以；当且为正整数时，所以，当且仅当时等号成立.综上知，该商场在第30天时日营业收入最小，最小为1116万元.21. 已知函数.（1）求方程解；（2）若关于的方程
在上有实数解，求实数的取值范围；
（3）若将区间划分成2021个小区间，且满足，
使得和式恒成立，试求出实数的最小值并说明理由.【答案】（1） （2） （3）6，理由见解析【解析】
【分析】（1）解方程即可；
（2）将问题转化为在上有实数解，求函数
在的()()10131,14135C C ==()22C x a x b =-+12131
8135
a b a b +=⎧⎨+=⎩1,143a b =-=()22143C x x =--+()()()()8814322f x P x C x x x ⎛
⎫==+-- ⎪⎝
⎭2230x ≤≤x ()()11658116581f x x x x x ⎛
⎫⎛
⎫=+
-=-+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
()f x ()()301116f x f ≥=121x ≤≤x ()()1121811218122f x x x x x ⎛⎫⎛
⎫=+
+=++ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
()121812*********f x x x ⎛⎛
⎫=++≥+= ⎪ ⎝⎭⎝11x =()24x f x =-()3f x =x 12
()log f x x λ=+[]2,4x ∈λ()0,1,2,,2021i x i =⋅⋅⋅[]1,3012202113x x x x =<<<⋅⋅⋅<=()()()()()()()()10213220212020f x f x f x f x f x f x f x f x M -+-+-+⋅⋅⋅+-≤M 2log 7x =[]1,14λ∈243x -=12
2log 4x x λ=--[]2,4x ∈12
2log 4x
y x =--[]2,4x ∈
上的值域即可得解；
（3）根据函数单调性分析最值即可得解.【小问1详解】由得 得【小问2详解】
由题可得在上有实数解，
函数
在上是严格增函数 又
【小问3详解】
由题，在区间上是严格增函数，
对任意划分，且为正整数
实数的最小值为243x -=27x =2log 7x =12
2log 4x
x λ=--[]2,4x ∈122log 4x
y x =--[]2,4x ∈[]12
2log 41,14x x --∈[]
1,14λ∴∈()f x []1,3012202113k x x x x x =<<<⋅⋅⋅<<⋅⋅⋅<=2021k <()()()()()()()()10212120212020f x f x f x f x f x f x f x f x -+-+-+⋅⋅⋅+-()()()()()()()()10213220212020f x f x f x f x f x f x f x f x =-+-+-+⋅⋅⋅+-()()20210f x f x =-()()316f f =-=6M ∴≥∴M 6
