导数之切线题型归纳总结教师版

学习目标

  理解导数与函数之间的联系，掌握导数的几何意义，及其作为工具在解决有关函数问题的作用，核心是利用导数研究函数单调性及其极值最值.

知识点

  函数在处导数是曲线在点处切线的斜率，切线的方程是.

 注意:直线与曲线有且只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线；反之直线是曲线的切线，但直线不一定与曲线有且只有一个公共点.

热身训练

 1.已知曲线的一条切线斜率是，则切点的横坐标为______; 3

 2.设，，曲线在点处切线的倾斜角的取值范围为，则到曲线对称轴距离的取值范围为______.

 3.曲线在点处的切线与轴交点的纵坐标是________.  9

 4.若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小值为______.

  解析：由已知，令，解得.曲线在处的切线方程为.两直线，之间的距离为

1.切线问题常见题型

     （1）求切线方程：①在曲线上一点的切线方程；②过一点的切线方程.

     （2）求切点坐标；（3）求切线方程的参数值或者范围；

     （4）求公切线（公切点或者两个切点）；  （5）判断切线的条数；

  2.切线的应用

   （1）研究最值极值；   （2）判断位置关系     （3）讨论方程的根的情况

（一）求切线方程

例1.【例3】已知函数．

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）求过点且与曲线相切的直线方程．

 【解析】（1）由，，

则曲线在点处的切线方程为．

（2）设切点的坐标为，则所求切线方程为 

代入点的坐标得，解得或 

当时，所求直线方程为

由（1）知过点且与曲线相切的直线方程为或．

总结：求曲线在某点处的切线方程的步骤

过点(x1，y1)的曲线y＝f(x)的切线方程的求法步骤

(1)设切点(x0，f(x0))．(2)建立方程f′(x0)＝.

(3)解方程得k＝f′(x0)，x0，y0，从而写出切线方程．

变式训练1：已知曲线.

（1）求曲线在点处的切线方程，

（2）求过点且与曲线相切的直线的方程．

【答案】（1） 

（2）或.

 变式训练2：设函数在点处的切线为，若垂直于函数 的图像在点处的切线，求直线的方程

    解析：因为，故，而，又当时，，得在上单调递增，此时，故当时，的图像上任意一点的切线都不垂直于函数在点处的切线，当时，由于函数在点处的切线垂直于函数的图像在点处的切线，故，则，故直线的方程为

（二）求切线方程的参数

例1．已知直线 是曲线的一条切线，则的值为（   ）

A．     B．    C．    D．

 【解析】设切点为因为切线，所以，

解得（舍去）代入曲线得，

所以切点为代入切线方程可得，解得.

例2.（2015全国卷1（21）） 已知函数，当为何值时，轴为曲线的切线.     

      答案：

例3.设曲线在点处的切线为，曲线在点处的切线为，若存在，使得，则实数的取值范围是________

解析：函数的导数：，故的斜率为：，函数的导数：，故的斜率：，可得，从而，故，由得，，故，令，则，令导数大于0，得，故在是减函数，在上是增函数，时取得最大值为；时取得最小值为1，故.

变式训练1： 设曲线在点处的切线方程为，则（   ）

A．1           B．2    C．3    D．4

 【解析】因为，且在点处的切线的斜率为3，所以，即.

变式训练2： 已知函数的图象在处的切线与函数的图象相切，则实数(    )

A．         B．    C．     D．

 【解析】由，得，则，

又，所以函数的图象在处的切线为，即.

设与函数的图象相切于点,

由，可得 

解得.故选：B.

变式训练3：已知为正实数，直线与曲线相切，则的取值范围是（ C  ）

（三）公切线问题

   题型一：公切点

     例1.曲线与相切于点.求切线方程 

       解析：设曲线在处的切线方程为①，曲线在处的切线方程为②，由两曲线有公切线知，联立①②，消掉得，设则，可得，即，因此公切线方程为.

变式训练1.已知函数与函数，若曲，的图像在点处有公共的切线，则实数=_______.2

变式训练2.若一直线与曲线和曲线相切于同一点，则___.2

题型二：两个切点

例2.（2016全国卷1理16）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则=_____

    解析：设在切点处的切线方程为：；

在切点处的切线方程为：，

联立得，解得，

∴.

变式训练1：曲线和存在公切线，则正实数取值范围是___

变式训练2.若函数的图象与曲线C:存在公共切线，则实数的取值范围为

A．      B．       C．    D．

 【解析】设公切线与f（x）＝x2+1的图象切于点（x1，），与曲线C：g（x）＝aex+1切于点（x2，），∴2x1＝＝，

化简可得，2x1＝，得x1＝0或2x2＝x1+2，∵2x1＝，且a＞0，∴x1＞0，

则2x2＝x1+2＞2，即x2＞1，由2x1＝得a＝，

设h（x）＝（x＞1），则h′（x）＝，∴h（x）在（1，2）上递增，

在（2，+∞）上递减，∴h（x）max＝h（2）＝ ，∴实数a的取值范围为（0，] 

（四）切线条数问题

  例1.已知三次函数,若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围.

      解析：，由题意知点不在曲线上，过点作曲线的切线，设切点，则切线方程为，

代入点化简得，

若有三条切线，则方程有三个不等的实根，

         设，则，由可得，或，故在区间和上单调递增，即得极大值，极小值为；方程满足有三个实根的充要条件是，即

变式训练：设函数，其中，曲线在点      处的切线方程为

（1）确定的值

（2）若过点可作曲线的三条不同切线，求的取值范围.

       答案：（1）

            （2）

（五）切线综合问题

   例1.设曲线上任意一点处的切线为，总存在过曲线 上一点处的切线，使得，则实数的取值范围是（ ）

解析：由，得，∵，∴，由，得，又∵，

∴，要满足题意，则得，得.

  变式训练1.若函数的图像上存在互相垂直的切线，则实数的值

变式训练2.已知函数，若存在两条过点且互相垂直的直线与函数 的图像都没有公共点， 则实数的取值范围为______. 

课后训练

1.若直线与曲线相切，试求的值.答案：

解析：设与相切于，则， 

∵，，联立得，解得或，即或

2.已知函数与的图像不存在互相平行或者重合的切线，则实数的取值范围为_______.

3.曲线与曲线（切线相同）的条数为______. 答案：1

4.直线与曲线和均相切，切点分别为，，则的值为_答案：.

5.已知，过点可作曲线的三条切线，则的取值范围是___.

6.直线是曲线的切线，则当时，实数的最小值是_____.