物理选修3-1第三章 学案6带电粒子在匀强磁场中的运动(人教版选修3-1)

[学习目标定位] 1.理解带电粒子沿着与磁场垂直的方向进入匀强磁场后做匀速圆周运动.2.会推导带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径公式和周期公式，并会用这些公式分析问题.3.知道质谱仪和回旋加速器的结构及其工作原理．

一、带电粒子在匀强磁场中的运动

1．带电粒子在磁场中运动时，它所受的洛伦兹力总与速度方向垂直，所以洛伦兹力对带电粒子不做功(填“做功”或“不做功”)，粒子的动能大小不变(填“改变”或“不变”)，速度大小不变(填“改变”或“不变”)，故沿着与磁场垂直的方向射入磁场的带电粒子，在匀强磁场中做匀速圆周运动．

2．质谱仪是一种精密仪器，是测量带电粒子的质量和分析同位素的重要工具．

一个质量为m、电荷量为q的粒子，从容器A下方的小孔S1飘入电势差为U的加速电场，其初速度几乎为零，然后经过S3沿着与磁场垂直的方向进入磁感应强度为B的匀强磁场中，最后打到照相底片D上(如图1)．则粒子进入磁场时的速率为v＝，在磁场中运动的轨道半径为r＝.

图1

二、回旋加速器

1．回旋加速器采用多次(多级)加速的办法：用磁场控制轨道、用电场进行加速．

2．如图2所示，两个半圆盒处于与盒面垂直的匀强磁场B中，所以粒子在磁场中做匀速圆周运动．经过半个圆周之后，当它再次到达两盒间的缝隙时，控制两盒间的电势差，使其恰好改变正负，于是粒子经过盒缝时再一次被加速．如此，粒子在做圆周运动的过程中一次一次地经过盒缝，而两盒间的电势差一次一次地反向，粒子的速度就能够增加到很大．

图2

一、带电粒子在匀强磁场中的运动

[问题设计]

如图3所示，可用洛伦兹力演示仪观察运动电子在磁场中的偏转．

图3

(1)不加磁场时，电子束的运动轨迹如何？加上磁场时，电子束的运动轨迹如何？

(2)如果保持出射电子的速度不变，增大磁感应强度，轨迹圆半径如何变化？如果保持磁感应强度不变，增大出射电子的速度，圆半径如何变化？

答案　(1)一条直线　一个圆周

(2)减小　增大

[要点提炼]

沿着与磁场垂直的方向射入磁场中的带电粒子，在匀强磁场中做匀速圆周运动．向心力为洛仑兹力F＝qvB，由qvB＝可知半径r＝，又T＝，所以T＝.

[延伸思考]　由r＝知同一带电粒子，在同一匀强磁场中，半径r会随着速度的增大而增大，它的周期也会随着速度的增大而增大吗？

答案　不会，由T＝，得出T＝与速度无关．

二、回旋加速器

[问题设计]

1．回旋加速器主要由哪几部分组成？回旋加速器中磁场和电场分别起什么作用？

答案　两个D形盒．磁场的作用是使带电粒子回旋，电场的作用是使带电粒子加速．

2．对交流电源的周期有什么要求？带电粒子获得的最大动能由哪些因素决定？

答案　交流电源的周期应等于带电粒子在磁场中运动的周期．

当带电粒子速度最大时，其运动半径也最大，即rm＝，再由动能定理得：Ekm＝，所以要提高带电粒子获得的最大动能，应尽可能增大磁感应强度B和D形盒的半径rm.

[要点提炼]

1．回旋加速器中交流电源的周期等于带电粒子在磁场中运动的周期．

2．带电粒子获得的最大动能Ekm＝，决定于D形盒的半径r和磁感应强度B.

[延伸思考]

为什么带电粒子加速后的最大动能与加速电压无关呢？

答案　加速电压高时，粒子在加速器中旋转的圈数较少，而加速电压低时，粒子在加速器中旋转的圈数较多，最终粒子离开加速器时的速度与加速电压无关．

三、带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动问题的分析

1．圆心的确定方法：两线定一点

(1)圆心一定在垂直于速度的直线上．

如图4甲所示，已知入射点P(或出射点M)的速度方向，可通过入射点和出射点作速度的垂线，两条直线的交点就是圆心．

图4

(2)圆心一定在弦的中垂线上．

如图乙所示，作P、M连线的中垂线，与其中一个速度的垂线的交点为圆心．

2．半径的确定

半径的计算一般利用几何知识解直角三角形．做题时一定要做好辅助线，由圆的半径和其他几何边构成直角三角形．

3．粒子在磁场中运动时间的确定

(1)粒子在磁场中运动一周的时间为T，当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为α时，其运动时间t＝T(或t＝T)．

(2)当v一定时，粒子在磁场中运动的时间t＝，l为带电粒子通过的弧长．

一、带电粒子在磁场中运动的基本问题

例1　带电荷量为q的电荷，从静止开始经过电压为U的电场加速后，垂直射入磁感应强度为B的匀强磁场中，其轨道半径为R，则电荷的(　　)

A．动能为qU  B．动能为qRB

C．运动速率为  D．质量为

解析　电荷在电场中被加速，设加速后电荷的动能为Ek，由动能定理得：Ek－0＝qU，所以Ek＝qU，选项A正确；设电荷的质量为m、速率为v，电荷做圆周运动的半径R＝＝＝＝，所以v＝，选项C正确；将v＝代入R＝整理得m＝，选项D正确．

答案　ACD

方法点拨　本例题中，电荷的质量和速率均为未知量，利用加速电场可求得电荷的动能，电荷轨迹半径公式中同时含有速度和质量两个未知量，结合动能表达式的形式，适当进行变换，消除一个未知量，求得另一个未知量．

二、对质谱仪和回旋加速器原理的理解

例2　如图5是质谱仪的工作原理示意图，带电粒子被加速电场加速后，进入速度选择器．速度选择器内相互正交的匀强磁场的磁感应强度和匀强电场的场强分别为B和E.平板S上有可让粒子通过的狭缝P和记录粒子位置的胶片A1A2.平板S下方有磁感应强度为B0的匀强磁场．下列表述正确的是(　　)

图5

A．质谱仪是分析同位素的重要工具

B．速度选择器中的磁场方向垂直纸面向外

C．能通过狭缝P的带电粒子的速率等于

D．粒子打在胶片上的位置越靠近狭缝P，粒子的比荷越小

解析　根据Bqv＝Eq，得v＝，C正确；在磁场中，B0qv＝m，得＝，半径r越小，比荷越大，D错误；同位素的电荷数一样，质量数不同，在速度选择器中电场力向右，洛伦兹力必须向左，根据左手定则，可判断磁场方向垂直纸面向外，A、B正确．

答案　ABC

例3　回旋加速器是用来加速一群带电粒子使它们获得很大动能的仪器，其核心部分是两个D形金属扁盒，两盒分别和一高频交流电源两极相接，以便在盒内的狭缝中形成匀强电场，使粒子每次穿过狭缝时都得到加速，两盒放在磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直于盒底面，粒子源置于盒的圆心附近，若粒子源射出的粒子电荷量为q，质量为m，粒子最大回旋半径为Rmax.求：

(1)粒子在盒内做何种运动；

(2)所加交变电流频率及粒子角速度；

(3)粒子离开加速器时的最大速度及最大动能．

解析　(1)带电粒子在盒内做匀速圆周运动，每次加速之后半径变大．

(2)粒子在电场中运动时间极短，因此高频交变电流频率要等于粒子回旋频率，因为T＝，回旋频率f＝＝，角速度ω＝2πf＝.

(3)由牛顿第二定律知＝qBvmax

则Rmax＝，vmax＝

最大动能Ekmax＝mv＝

答案　(1)匀速圆周运动

(2)　 

(3)　 

方法点拨　回旋加速器中粒子每旋转一周被加速两次，粒子射出时的最大速度(动能)由磁感应强度和D形盒的半径决定，与加速电压无关．

三、带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动问题

例4　如图6所示，一束电荷量为e的电子以垂直于磁感应强度B并垂直于磁场边界的速度v射入宽度为d的匀强磁场中，穿出磁场时速度方向和原来射入方向的夹角为θ＝60°，求电子的质量和穿越磁场的时间．

图6

解析　过M、N作入射方向和出射方向的垂线，两垂线交于O点，

O点即电子在磁场中做匀速圆周运动的圆心，

连接ON，过N做OM的垂线，垂足为P，

如图所示．由直角三角形OPN知，

电子运动的半径为

r＝＝d                                            ①

由牛顿第二定律知qvB＝m                                                    ②

联立①②式解得m＝

电子在无界磁场中运动的周期为

T＝·＝

电子在磁场中的轨迹对应的圆心角为θ＝60°，

故电子在磁场中的运动时间为

t＝T＝×＝

答案　　

方法点拨　分析本题的关键是确定电子做匀速圆周运动的圆心，作辅助线，利用几何关系求解．

1.(带电粒子在磁场中运动的基本问题)如图7所示，水平导线中有电流I通过，导线正下方的电子初速度的方向与电流I的方向相同，则电子将(　　)

图7

A．沿路径a运动，轨迹是圆

B．沿路径a运动，轨迹半径越来越大

C．沿路径a运动，轨迹半径越来越小

D．沿路径b运动，轨迹半径越来越小

答案　B

解析　由左手定则可判断电子运动轨迹向下弯曲．又由r＝知，B减小，r越来越大，故电子的径迹是a.故选B.

2．(对回旋加速器原理的理解)在回旋加速器中(　　)

A．电场用来加速带电粒子，磁场则使带电粒子回旋

B．电场和磁场同时用来加速带电粒子

C．磁场相同的条件下，回旋加速器的半径越大，则带电粒子获得的动能越大

D．同一带电粒子获得的最大动能只与交流电压的大小有关，而与交流电压的频率无关

答案　AC

解析　电场的作用是使粒子加速，磁场的作用是使粒子回旋，故A选项正确，B选项错误；粒子获得的动能Ek＝

，对同一粒子，回旋加速器的半径越大，粒子获得的动能越大，与交流电压的大小无关，故C选项正确，D选项错误．

3.(带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动问题)如图8所示，有界匀强磁场边界线SP∥MN，速率不同的同种带电粒子从S点沿SP方向同时射入磁场．其中穿过a点的粒子速度v1与MN垂直；穿过b点的粒子速度v2与MN成60°角，设粒子从S到a、b所需时间分别为t1和t2，则t1∶t2为(重力不计)(　　)

图8

A．1∶3  B．4∶3  C．1∶1  D．3∶2

答案　D

解析　如图所示，可求出从a点射出的粒子对应的圆心角为90°.从b点射出的粒子对应的圆心角为60°.由t＝T，可得：t1∶t2＝3∶2，故选D.

题组一　带电粒子在磁场中运动的基本问题

1．如果一带电粒子匀速进入一个磁场，除磁场力外不受其他任何力的作用，则带电粒子在磁场中可能做(　　)

A．匀速直线运动                B．平抛运动

C．匀加速直线运动             D．变速曲线运动

答案　AD

解析　如果粒子运动方向与磁场方向平行，则它不会受到洛伦兹力，做匀速直线运动，A正确．在其他情况下，洛伦兹力的方向总与速度方向垂直，速度大小不变，但方向变化，所以只能做变速曲线运动，D正确．粒子的加速度方向时刻改变，所以不能做匀加速直线运动和平抛运动，B、C均错误．故选A、D.

2.质量和电荷量都相等的带电粒子M和N，以不同的速率经小孔S垂直进入匀强磁场，运行的半圆轨迹如图1中虚线所示，下列表述正确的是(　　)

图1

A．M带负电，N带正电

B．M的速率小于N的速率

C．洛伦兹力对M、N做正功

D．M的运行时间大于N的运行时间

答案　A

解析　根据左手定则可知N带正电，M带负电，A正确；因为r＝，而M的半径大于N的半径，所以M的速率大于N的速率，B错误；洛伦兹力不做功，C错误；M和N的运行时间都为t＝，D错误．故选A.

3.如图2所示，a和b带电荷量相同，以相同动能从A点射入磁场，在匀强磁场中做圆周运动的半径ra＝2rb，则可知(重力不计)(　　)

图2

A．两粒子都带正电，质量比ma/mb＝4

B．两粒子都带负电，质量比ma/mb＝4

C．两粒子都带正电，质量比ma/mb＝1/4

D．两粒子都带负电，质量比ma/mb＝1/4

答案　B

解析　由于qa＝qb、Eka＝Ekb，动能Ek＝mv2和粒子偏转半径r＝，可得m＝，可见m与半径r的平方成正比，故ma∶mb＝4∶1，再根据左手定则判知两粒子都带负电，故选B.

题组二　对质谱仪和回旋加速器原理的理解

4.如图3所示，回旋加速器是加速带电粒子的装置，其核心部分是分别与高频交流电源两极相连接的两个D形金属盒，两盒间的狭缝中形成周期性变化的电场，使粒子在通过狭缝时都能得到加速，两D形金属盒处于垂直于盒底的匀强磁场中，D形盒半径为R.用该回旋加速器加速质子(质量数为1，核电荷数为1)时，匀强磁场的磁感应强度为B，高频交流电周期为T.(粒子通过狭缝的时间忽略不计)则(　　)

图3

A．质子在D形盒中做匀速圆周运动的周期为2T

B．质子被加速后的最大速度可能超过

C．质子被加速后的最大速度与加速电场的电压大小无关

D．不改变B和T，该回旋加速器也能用于加速α粒子(质量数为4，核电荷数为2)

答案　C

解析　回旋加速器中的粒子在磁场中运动的周期和高频交流电的周期相等，故A错误；当粒子从D形盒中出来时的最大速度为vm＝，故B错误；根据qvmB＝，得vm＝，与加速的电压无关．故C正确．根据T＝，知质子换成α粒子，比荷发生变化，则在磁场中运动周期发生变化，回旋加速器粒子在磁场中运动的周期和高频交流电的周期相等，故需要改变磁感应强度或交流电的周期．故D错误．

5.质谱仪是一种测定带电粒子质量和分析同位素的重要工具，它的构造原理如图4所示，离子源S产生的各种不同正离子束(速度可看为零)，经加速电场加速后垂直进入有界匀强磁场，到达记录它的照相底片P上，设离子在P上的位置到入口处S1的距离为x，可以判断(　　)

图4

A．若离子束是同位素，则x越大，离子质量越大

B．若离子束是同位素，则x越大，离子质量越小

C．只要x相同，则离子质量一定相同

D．只要x相同，则离子的比荷一定相同

答案　AD

解析　由动能定理qU＝mv2.离子进入磁场后将在洛伦兹力的作用下发生偏转，由圆周运动的知识，有：x＝2r＝，故x＝，分析四个选项，A、D正确，B、C错误．

题组三　带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动

6.如图5所示，在x>0、y>0的空间中有恒定的匀强磁场，磁感应强度的方向垂直于xOy平面向里，大小为B.现有一质量为m、电荷量为q的带电粒子，从x轴上到原点的距离为x0的P点，以平行于y轴的初速度射入此磁场，在磁场作用下沿垂直于y轴的方向射出此磁场．不计重力的影响．由这些条件可知(　　)

图5

A．不能确定粒子通过y轴时的位置

B．不能确定粒子速度的大小

C．不能确定粒子在磁场中运动所经历的时间

D．以上三个判断都不对

答案　D

解析　带电粒子以平行于y轴的初速度射入此磁场，在磁场作用下沿垂直于y轴的方向射出此磁场，故带电粒子一定在磁场中运动了周期，从y轴上距O为x0处射出，回旋角为90°，由r＝可得v＝＝，可求出粒子在磁场中运动时的速度大小，另有T＝＝，可知粒子在磁场中运动所经历的时间，故选D.

7.如图6所示，直角三角形ABC中存在一匀强磁场，两个相同的带电粒子先后沿AB方向从A点射入磁场，分别从AC边上的P、Q两点射出，则(　　)

图6

A．从P点射出的粒子速度大

B．从Q点射出的粒子速度大

C．从P点射出的粒子，在磁场中运动时间长

D．两粒子在磁场中运动时间一样长

答案　BD

解析　根据带电粒子在匀强磁场中的运动特点，分别画出从P、Q出射的粒子的轨迹如图：

由图可知从Q出射的粒子的轨道半径更大一些，由qvB＝m可知，R＝，所以从Q点射出的粒子速度大，A错，B对；粒子在磁场中运动的周期满足T＝，与速度v无关，所以两个粒子周期相同，又因为轨迹对应的圆心角相等，所以两粒子在磁场中运动时间t＝T一样长，C错、D对．正确答案为B、D.

8．如图7所示，在边界PQ上方有垂直纸面向里的匀强磁场，一对正、负电子同时从边界上的O点沿与PQ成θ角的方向以相同的速度v射入磁场中，则关于正、负电子，下列说法正确的是(　　)

图7

A．在磁场中的运动时间相同

B．在磁场中运动的轨道半径相同

C．出边界时两者的速度相同

D．出边界点到O点的距离相等

答案　BCD

9.如图8所示，平面直角坐标系的第Ⅰ象限内有一匀强磁场垂直于纸面向里，磁感应强度为B.一质量为m、电荷量为q的粒子以速度v从O点沿着与y轴夹角为30°的方向进入磁场，运动到A点(图中未画出)时速度方向与x轴的正方向相同，不计粒子的重力，则(　　)

图8

A．该粒子带正电

B．A点与x轴的距离为

C．粒子由O到A经历时间t＝

D．运动过程中粒子的速度不变

答案　BC

解析　根据粒子的运动方向，由左手定则判断可知粒子带负电，A项错；运动过程中粒子做匀速圆周运动，速度大小不变，方向变化，D项错；粒子做圆周运动的半径r＝，周期T＝，从O点到A点速度的偏向角为60°，即运动了T，所以由几何知识求得点A与x轴的距离为，粒子由O到A经历时间t＝，B、C两项正确．

10．长为l的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，板间距离也为l，极板不带电．现有质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力)，从两极板间边界中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是(　　)

A．使粒子的速度v<

B．使粒子的速度v>

C．使粒子的速度v>

D．使粒子的速度答案　AB

解析　如图所示，带电粒子刚好打在极板右边缘时，有r＝(r1－)2＋l2

又r1＝，

所以v1＝

粒子刚好打在极板左边缘时，有r2＝＝，v2＝

综合上述分析可知，选项A、B正确．

11．如图9所示，MN是磁感应强度为B的匀强磁场的边界．一质量为m、电荷量为q的粒子在纸面内从O点射入磁场．若粒子速度为v0，最远能落在边界上的A点．下列说法正确的有(　　)

图9

A．若粒子落在A点的左侧，其速度一定小于v0

B．若粒子落在A点的右侧，其速度一定大于v0

C．若粒子落在A点左、右两侧d的范围内，其速度不可能小于v0－

D．若粒子落在A点左、右两侧d的范围内，其速度不可能大于v0＋

答案　BC

解析　带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，qv0B＝，所以r＝，当带电粒子从不同方向由O点以速度v0进入匀强磁场时，其轨迹是半径为r的圆，轨迹与边界的交点位置最远是离O点2r的距离，即OA＝2r，落在A点的粒子从O点垂直入射，其他粒子则均落在A点左侧，若落在A点右侧则必须有更大的速度，选项B正确．若粒子速度虽然比v0大，但进入磁场时与磁场边界夹角过大或过小，粒子仍有可能落在A点左侧，选项A、D错误．若粒子落在A点左右两侧d的范围内，设其半径为r′，则r′≥，代入r＝，r′＝，解得v≥v0－，选项C正确．

12.如图10所示，一个质量为m、电荷量为－q、不计重力的带电粒子从x轴上的P(a,0)点以速度v，沿与x轴正方向成60°的方向射入第一象限内的匀强磁场中，并恰好垂直于y轴射出第一象限，求：

图10

(1)匀强磁场的磁感应强度B；

(2)穿过第一象限的时间．

答案　(1)　(2) 

解析　(1)作出带电粒子做圆周运动的圆心和轨迹，由图中几何关系知：

Rcos 30°＝a，

得：R＝

Bqv＝m

得：B＝＝.

(2)运动时间：

t＝×＝.

13．如图11，在某装置中有一匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直于xOy所在纸面向外．某时刻在x＝l0、y＝0处，一质子沿y轴负方向进入磁场；同一时刻，在x＝－l0、y＝0处，一个α粒子进入磁场，速度方向与磁场垂直．不考虑质子与α粒子的相互作用，设质子的质量为m，电荷量为e.则：

图11

(1)如果质子经过坐标原点O，它的速度为多大？

(2)如果α粒子与质子经最短时间在坐标原点相遇，α粒子的速度应为何值？方向如何？

答案　(1)eBl0/2m

(2) eBl0/4m，方向与x轴正方向的夹角为

解析　(1)质子的运动轨迹如图所示，

其圆心在x＝l0/2处，

其半径r1＝l0/2.

又r1＝mv/eB，

可得v＝eBl0/2m.

(2)质子从x＝l0处到达坐标原点O处的时间为tH＝TH/2，

又TH＝2πm/eB，

可得tH＝πm/eB.

α粒子的周期为Tα＝4πm/eB，

可得tα＝Tα/4

两粒子的运动轨迹如图所示

由几何关系得rα＝l0，

又2evαB＝，

解得vα＝eBl0/4m，

方向与x轴正方向的夹角为.