定义域和值域的专题讲解常用方法学生版

求函数解析式的一般方法有：

（1）直接法：根据题给条件，合理设置变量，寻找或构造变量之间的等量关系，列出等式，解出y。

（2）待定系数法：若明确了函数的类型，可以设出其一般形式，然后代值求出参数的值；

（3）换元法：若给出了复合函数f［g（x）］的表达式，求f（x）的表达式时可以令t＝g（x），以换元法解之；

（4）构造方程组法：若给出f（x）和f（－x），或f（x）和f（1/x）的一个方程，则可以x代换－x（或1/x），构造出另一个方程，解此方程组，消去f（－x）（或f（1/x））即可求出f（x）的表达式；

（5）根据实际问题求函数解析式：设定或选取自变量与因变量后，寻找或构造它们之间的等量关系，列出等式，解出y的表达式；要注意，此时函数的定义域除了由解析式限定外，还受其实际意义限定。

求函数定义域

（1）函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示；

（2）常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置，位置决定了自变量的范围，最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题；

（3) 如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析式外，还受实际意义，如时间变量一般取非负数，等等；

（4）对复合函数y＝f［g（x）］的定义域的求解，应先由y＝f（u）求出u的范围，即g（x）的范围，再从中解出x的范围I1；再由g（x）求出y＝g（x）的定义域I2，I1和I2的交集即为复合函数的定义域；

（5）分段函数的定义域是各个区间的并集；

（6）含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论，若参数在不同的范围内定义域不一样，则在叙述结论时分别说明；

（7）求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论，但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集，作为该函数的定义域；

一：求函数解析式

 1、换元法：题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式，可将内函数用一个变量代换。

例1、已知，试求。

   2、构造方程组法：对同时给出所求函数及与之有关的复合函数的条件式，可以据此构造出另一个方程，联立求解。

例2、（1）已知，试求；

  （2）已知，试求；

例3、求下列函数的解析式：

  （1）已知是二次函数，且，求；

  （2）已知，求，，；

  （3）已知，求；

  （4）已知，求。

【题后思考】求函数解析式常见的题型有：

（1）解析式类型已知的，如本例⑴，一般用待定系数法。对于二次函数问题要注意一般式，顶点式和标根式的选择；

（2）已知求的问题，方法一是配凑法，方法二是换元法，如本例（2）（3）；

（3）函数方程问题，需建立关于的方程组，如本例（4）。若函数方程中同时出现，，则一般将式中的用代替，构造另一方程。

特别注意：求函数的解析式时均应严格考虑函数的定义域。

二：求函数定义域

1、由函数解析式求函数定义域：由于解析式中不同的位置决定了变量不同的范围，所以解题时要认真分析变量所在的位置；最后往往是通过解不等式组确定自变量的取值集合。

例1、求的定义域。

例2、求下列函数的定义域：

（1）；  （2）

2、求分段函数的定义域：对各个区间求并集。

例3、已知函数由下表给出，求其定义域

例5、若函数f（2x）的定义域是［－1，1］，求f（log2x）的定义域。

三：求函数的值域与最值

求函数的值域和最值的方法十分丰富，下面通过例题来探究一些常用的方法；随着高中学习的深入，我们将学习到更多的求函数值域与最值的方法。

1、分离变量法

例.求函数的值域。

2、配方法

例.求函数y＝2x2＋4x的值域。

3、判别式法

例.求函数的值域。

4、单调性法

例. 求函数，x∈［4，5］的值域。

5、换元法

例. 求函数的值域。

 求下列函数的值域：

（1）      （2）

（3）                 （4）

【模拟试题】(答题时间：30分钟)

一. 选择题

1、函数y＝f（x）的值域是［－2，2］，则函数y＝f（x＋1）的值域是（  ）

A. ［－1，3］  B. ［－3，1］  C. ［－2，2］  D. ［－1，1］

2、已知函数f（x）＝x2－2x，则函数f（x）在区间［－2，2］上的最大值为（    ）

A. 2    B. 4  C. 6  D. 8

3、一等腰三角形的周长为20，底边长y是关于腰长x的函数，那么其解析式和定义域是（    ）

A. y＝20－2x（x≤10）     B. y＝20－2x（x<10）

C. y＝20－2x（4≤x<10）    D. y＝20－2x（54、二次函数y＝x2－4x＋4的定义域为［a，b］（aA. ［0，4］   B. ［1，4］   C. ［1，3］   D. ［3，4］

5、函数y＝f（x＋2）的定义域是［3，4］，则函数y＝f（x＋5）的定义域是（  ）

A. ［0，1］   B. ［3，4］   C. ［5，6］   D. ［6，7］

6、函数的值域是（    ）

7、（2007安徽）图中的图像所表示的函数的解析式是（    ）

二. 填空题

8、若f（x）＝（x＋a）3对任意x∈R都有f（1＋x）＝－f（1－x），则f（2）＋f（－2）＝       ；

9、若函数的值域为，则其定义域为                   ；

三. 解答题

10、求函数的定义域。

11、已知，若f（a）＝3，求a的值。

12、已知函数f（x）满足2f（x）－f（－x）＝－x2＋4x，试求f（x）的表达式。

习题讲解：

1.定义在R上的函数f(x)满足f(x)= ，则f（2009）的值为(      )

A.-1          B. 0         C.1         D. 2

2.设函数则不等式的解集是（  ）        

A       B       

C        D 

3.已知函数是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则的值是

A.  0               B.            C. 1                 D. 

4.若是奇函数，则            ．     

5.已知函数若，则           .                    

6.记的反函数为，则方程的解        ．

知识要点

1、奇偶函数定义：

（1）偶函数

一般地，对于函数f（x）的定义域内的任意一个x，都有f（－x）=f（x），那么f（x）就叫做偶函数．

（2）奇函数

一般地，对于函数f（x）的定义域内的任意一个x，都有f（－x）=－f（x），那么f（x）就叫做奇函数．

注意：

①函数是奇函数或偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；

②奇偶函数的定义域的特征：关于原点对称。

③由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．

④奇函数若在时有定义，则

2、根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。

3、具有奇偶性的函数的图象的特征

偶函数的图象关于y轴对称；

奇函数的图象关于原点对称．

说明：一般地，奇函数的图象关于原点对称，反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数。偶函数的图象关于轴对称，反过来，如果一个函数的图象关于轴对称，那么这个函数是偶函数。

4、判断函数奇偶性的格式步骤：

首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；

确定f（－x）与f（x）的关系；

作出相应结论：

若f（－x） = f（x） 或 f（－x）－f（x） = 0，则f（x）是偶函数；

若f（－x） =－f（x） 或 f（－x）＋f（x） = 0，则f（x）是奇函数．

5、判断函数的奇偶性也可以用下列性质

在公共定义域内，

（1）两个奇函数的和为奇函数；两个奇函数的积为偶函数．

（2）两个偶函数的和为偶函数；两个偶函数的积为偶函数．

（3）一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数．

（4） 函数f （x）与同奇或同偶．

【典型例题】

一、判断函数的奇偶性

例1、判断函数的奇偶性时易犯的错误

（1）因忽视定义域的特征致错

1、①；②f （x）=x2+（x+1）0

（2）因缺乏变形意识或方法致错．

2、判断的奇偶性．

（3） 因忽视f （x）=0致错．

3、判断函数的奇偶性．

二、函数的奇偶性与单调性的关系

例2、已知：函数在上是奇函数，而且在上是增函数，

证明：在上也是增函数。

例3、为上的奇函数，当时，，当x<0时，求

例4、（1）已知的定义域为，且，试判断的奇偶性。

（2）函数的定义域为，且对于一切实数都有，试判断的奇偶性。

【模拟试题】（答题时间：50分钟）

一、选择题

1、已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）=－f（x），则，f（6）的值为 （     ） 

A. －1            B. 0            C.    1            D. 2 

2、若奇函数f（x）在[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f（x）在[－7，－3]上是（   ） 

A. 增函数且最小值为－5        B. 增函数且最大值为－5 

C. 减函数且最小值为－5        D. 减函数且最大值为－5

3、y=f（x）是定义在R上的偶函数，则下列坐标所表示的点在y=f（x）的图象上的是（   ）

A. （a，－f（a））    　        B. （－a，f（a））

C. （－a，－f（－a））        D. （－a，－f（a））

4、已知y＝f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）＝x（1＋x），当x＜0时，f（x）等于

[  ]

A. －x（1－x）    B. x（1－x）    C. －x（1＋x）    D. x（1＋x）

5、函数y=f（x）与y=g（x）的图象如图所示，则函数y=f（x）·g（x）的图象可能为（    ）

 6、设是上的任意函数，下列叙述正确的是（   ）

A、是奇函数；                 B、是奇函数；

C、是偶函数；                 D、是偶函数

二、填空题

7、设函数为奇函数，则实数          。

8、已知函数y=f （x）满足f （x+y）+f （x－y）=2f （x） f （y） （x∈R，y∈R），且f （0）≠0，那么f （x）是__________函数（填奇、偶）．

9、已知函数，若，则的值为          。

三、解答题

10、已知：函数在上是奇函数，而且在上是增函数，

证明：在上也是增函数。

11、为上的奇函数，当时，，求的解析式。

12、已知函数；

（1）判断函数的奇偶性；

（2）若在区间上是增函数，求实数的取值范围。

（一）函数单调性的定义

1. 增函数与减函数

一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，

如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说f（x）在区间D上是增函数。

如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）>f（x2），那么就说f（x）在区间D上是减函数。

注意：

①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；

②必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1＜x2时，总有f（x1）＜f（x2）或 f（x1）＞f（x2）。

2. 函数的单调性的定义

如果函数y＝f（x）在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间。

3. 判断函数单调性的方法和步骤

利用定义证明函数f（x）在给定的区间D上的单调性的一般步骤：

①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；

②作差f（x1）－f（x2）；

③变形（通常是因式分解和配方）；

④定号（即判断差f（x1）－f（x2）的正负）；

⑤下结论（即指出函数f（x）在给定的区间D上的单调性）。

（二）函数最大（小）值的定义

1. 最大值与最小值

一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足：

（1）对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；

（2）存在x0∈I，使得f（x0）＝M

那么，称M是函数y＝f（x）的最大值。

一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足：

（1）对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；

（2）存在x0∈I，使得f（x0）＝M

那么，称M是函数y＝f（x）的最小值。 

注意：

①函数的最大（小）值首先应该是某一个函数值，即存在x0∈I，使得f（x0）＝M；

②函数的最大（小）值应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x∈I，都有f（x）≤M（f（x）≥M）。

2. 利用函数的单调性判断函数的最大（小）值的方法

①利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值

②利用图象（数形结合法）求函数的最大（小）值

③利用函数的单调性判断函数的最大（小）值

如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y＝f（x）在x＝b处有最大值f（b）；

如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y＝f（x）在x＝b处有最小值f（b）。

知识点一：函数的单调性与最值

例1：判断函数在区间上的单调性，并用定义证明。

例2：已知是奇函数，它在上是增函数，且，试问在上是增函数还是减函数？并证明你的结论。

例3：已知，求函数的最值。

例4：已知函数是增函数，定义域为，且，，求满足的的取值范围。

例5：已知是奇函数，且当时，，求当时的解析式。

一、选择题

1. 已知函数为偶函数，则的值是（    ）

A. 1               B. 2                C. 3               D. 4

2. 若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（    ）

A.            B. 

C.           D. 

3. 如果奇函数在区间上是增函数且最大值为，那么在区间上是（    ）

A. 增函数且最小值是             B. 增函数且最大值是

C. 减函数且最大值是             D. 减函数且最小值是

4. 设是定义在上的一个函数，则函数在上一定是（    ）

A. 奇函数                         B. 偶函数   

C. 既是奇函数又是偶函数           D. 非奇非偶函数

5. 下列函数中，在区间上是增函数的是（    ）

A.         B.       C.         D. 

6. 函数（    ）

A. 是奇函数又是减函数             B. 是奇函数但不是减函数  

C. 是减函数但不是奇函数            D. 不是奇函数也不是减函数

二、填空题

7. 设奇函数的定义域为，若当时，的图象如下图，则不等式的解是        。

8. 已知，则函数的值域是               。     

9. 若函数是偶函数，则的递减区间是         。

10. 下列四个命题

（1）有意义；     

（2）函数是其定义域到值域的映射；

（3）函数的图象是一条直线；

（4）函数的图象是抛物线，其中正确命题的个数是____________。

11. 函数的值域是________________。

三、解答题

13. 已知函数的定义域为，且同时满足下列条件：

（1）是奇函数；

（2）在定义域上单调递减；

（3）求的取值范围。

14. 利用函数的单调性求函数的值域。

15. 已知函数。

（1）当时，求函数的最大值和最小值；

（2）求实数的取值范围，使在区间上是单调函数。