指数与指数函数概念

一.知识要点：

1．指数运算

 (1) 根式的定义：若一个数的次方等于，则这个数称的次方根。

即若          则称的次方根（，

①当为奇数时，次方根记作          ；

②当为偶数时，负数无   次方根，而正数有  两个次方根且互为相反数，

记作          

（2）根式性质：①；   ②当为奇数时，；

③当为偶数时，。

（3）幂运算法则：① N*)     ②；

                       n个

③Q，4）、N*  且。

（4）幂运算性质：  ①、R；

②、R）；  ③R）。

2.指数函数：

(1) 指数函数定义：函数         称指数函数，函数的定义域为         ；函数的值域为         

(2)指数函数图像：

性质：

①指数函数的图象都经过点         ，且图象都在         象限；

②当时函数为         ，当时函数为         （单调性）

③指数函数都以轴为渐近线（当时，图象向左无限接近轴，当时，图象向右无限接近轴）；

④对于相同的，函数的图象关于      对称。

⑤函数值的变化特征：（同向取大，异向取小）

二.基础练习：

1、下列函数是指数函数的是                              （ 填序号）

（1）     （2）     （3）     （4）。

2. 已知下列不等式，比较m、n的大小

(1)2m＜2n                              (2)0.2m＞0.2n                   

 (3)am＜an（0＜a＜1）                   (4)am＞an（a＞1）             

3、计算下列各式（式中字母都是正数）：

（1）； 

（2）；  

（3）    

4、的大小顺序为     变为同幂、或图像法      

5、a＜0,则   ()a，0.2)a，2a的大小顺序为  图像法或做商比较      

6、已知实数a、b满足等式，下列五个关系式： 

①0＜b＜a;②a＜b＜0;③0＜a＜b;④b＜a＜0;⑤a=b. 

其中不可能成立的关系式有①  ②  ③  ④ 

7、设函数，解方程  。

8、若函数 解不等式。

9、当x＞0时，函数f(x)=(a2-1)x的值总大于1，求实数a的取值范围。

10、已知a=,b=9.求：  的值

指数函数性质的应用

例6.求下列函数的定义域、值域及其单调区间： 

（1）f(x)=3;       （2）g(x)=-(.

例7.设a＞0,f(x)=是R上的偶函数. 

（1）求a的值； （2）求证：f(x)在（0，+∞）上是增函数. 

题型3：综合应用

例8.要使函数y=1+2x+4xa在x∈（-，1］上y＞0恒成立，求a的取值范围. 

例9.已知函数f(x)=( 

（1）求f(x)的定义域； （2）讨论f(x)的奇偶性； （3）证明：f(x)＞0. 

例10.已知f（x）=. 

（1）判断函数奇偶性；（2）判断f（x）的单调性； （3）求f（x）的值域. 

能 力 训 练 题

一、填空题

1.化简下列各式（其中各字母均为正数）:

（1）         （2）

2．求值：.

3．设mn>0，x=，化简：A=.

4.已知下列不等式，比较m、n的大小

(1)2m＜2n                              (2)0.2m＞0.2n                   

 (3)am＜an（0＜a＜1）                  (4)am＞an（a＞1）             

5.设函数f(x)=a-|x|(a＞0,且a≠1),f(2)=4,则                   

6.若函数f(x)=ax-1 (a＞0,a≠1)的定义域和值域都是［0，2］，则实数a等于        

7.函数(，且)的图象必经过点               

8.函数y=ax（a＞0,且a≠1）在［1，2］上的最大值比最小值大，则a的值是            

二、解答题 

9.(x)=-x2+2ax与g(x)=(a+1)1-x在区间［1，2］上都是减函数，则a的取值范围是           

10.求下列函数的单调递增区间： （1）y=(   (2)y=2. 

11.若函数y=4x-3·2x+3的定义域为集合A，值域为［1，7］，集合B=（-∞，0］∪［1，2］，

则集合A与集合B的关系为                  

12.已知函数f(x)=（ax-a-x） (a＞0，且a≠1). 

（1）判断f(x)的单调性； 

（2）验证性质f(-x)=-f(x),当x∈(-1,1)时，并应用该性质求满足f(1-m)+f(1-m2)＜0的实数m的范围.