数值分析习题第八章

1.设方程组

（1）考察用Jacobi迭代法，Gauss-Seidel迭代法解此方程组的收敛性；

（2）用Jacobi迭代法，Gauss-Seidel迭代法解此方程组，要求当时迭代终止。

解：（1）因此方程组的系数矩阵

是对角优势矩阵，故其Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代均收敛。

（2）此方程组的Jacobi迭代格式为

取初值进行迭代计算，得近似解为

此方程组G-S迭代格式为

取初值，迭代8次达到精度要求，近似解为

5.设方程组

（1）       （2）

试考察解此方程组的Jacobi迭代法及Gauss-Seidel迭代法的收敛性。

解：（1）

则Jacobi迭代矩阵

所以解此方程组Jacobi迭代法不收敛。

Gauss-Seidel迭代矩阵

因，故此方程组的G-S迭代法收敛。

（2）

则Jacobi迭代矩阵

即解此方程组的Jacobi迭代法收敛。

Gauss-Seidel迭代矩阵

所以，即解此方程组的G-S迭代法不收敛。

8.设方程组

（1）求解此方程组的Jacobi迭代法的迭代矩阵B0的谱半径；

（2）求解此方程组的Gauss-Seidel迭代法的迭代矩阵B0的谱半径；

（3）考察解此方程组的Jacobi迭代法及Gauss-Seidel迭代法的收敛性。

解：

（1）解此方程组的Jacobi迭代阵

（2）解此方程组的G-S迭代阵

（3）由（1）、（2）计算可知，，故解此方程组的Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代都收敛。