2019年湖北省襄阳市中考数学试卷和答案

一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其标号在答题卡上涂黑作答

1．（3分）计算|﹣3|的结果是（　　）

A．3    B．    C．﹣3    D．±3

【答案】A．

2．（3分）下列运算正确的是（　　）

A．a3﹣a2＝a    B．a2•a3＝a6    C．a6÷a2＝a3    D．（a2）﹣3＝a﹣6

【答案】D．

3．（3分）如图，直线BC∥AE，CD⊥AB于点D，若∠BCD＝40°，则∠1的度数是（　　）

A．60°    B．50°    C．40°    D．30°

【答案】B．

4．（3分）某正方体的平面展开图如图所示，则原正方体中与“春”字所在的面相对的面上的字是（　　）

A．青    B．来    C．斗    D．奋

【答案】D．

5．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）

A．    B．    

C．    D．

【答案】B．

6．（3分）不等式组的解集在数轴上用阴影表示正确的是（　　）

A．    B．    

C．    D．

【答案】C．

7．（3分）如图，分别以线段AB的两个端点为圆心，大于AB的一半的长为半径画弧，两弧分别交于C，D两点，连接AC，BC，AD，BD，则四边形ADBC一定是（　　）

A．正方形    B．矩形    C．梯形    D．菱形

【答案】D．

8．（3分）下列说法错误的是（　　）

A．必然事件发生的概率是1    

B．通过大量重复试验，可以用频率估计概率    

C．概率很小的事件不可能发生    

D．投一枚图钉，“钉尖朝上”的概率不能用列举法求得

【答案】C．

9．（3分）《九章算术》是我国古代数学名著，卷七“盈不足”中有题译文如下：今有人合伙买羊，每人出5钱，会差45钱；每人出7钱，会差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x人，所列方程正确的是（　　）

A．5x﹣45＝7x﹣3    B．5x+45＝7x+3    C．＝    D．＝

【答案】B．

10．（3分）如图，AD是⊙O的直径，BC是弦，四边形OBCD是平行四边形，AC与OB相交于点P，下列结论错误的是（　　）

A．AP＝2OP    B．CD＝2OP    C．OB⊥AC    D．AC平分OB

【答案】A．

二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分.把答案填在答题卡的相应位置上

11．（3分）习总指出，善于学习，就是善于进步．“学习强国”平台上线后的某天，全国大约有1.2亿人在平台上学习．1.2亿这个数用科学记数法表示为　1.2×108　．

【答案】1.2×108．

12．（3分）定义：a*b＝，则方程2*（x+3）＝1*（2x）的解为　x＝1　．

【答案】x＝1．

13．（3分）从2，3，4，6中随机选取两个数记作a和b（a＜b），那么点（a，b）在直线y＝2x上的概率是　　．

【答案】．

14．（3分）如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加下列条件中的一个：①∠A＝∠D，②AC＝DB，③AB＝DC，其中不能确定△ABC≌△DCB的是　②　（只填序号）．

【答案】②．

15．（3分）如图，若被击打的小球飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有的关系为h＝20t﹣5t2，则小球从飞出到落地所用的时间为　4　s．

【答案】4．

16．（3分）如图，两个大小不同的三角板放在同一平面内，直角顶点重合于点C，点D在AB上，

∠BAC＝∠DEC＝30°，AC与DE交于点F，连接AE，若BD＝1，AD＝5，则＝　　．

【答案】．

三、解答题：本大题共9个小题，共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，并且写在答题卡上每题对应的答题区域内。

17．（6分）先化简，再求值：（﹣1）÷，其中x＝﹣1．

【答案】解：（﹣1）÷

＝（﹣）÷

＝×

＝，

当x＝﹣1时，原式＝＝．

18．（6分）今年是中华人民共和国建国70周年，襄阳市某学校开展了“我和我的祖国”主题学习竞赛活动．学校3000名学生全部参加了竞赛，结果所有学生成绩都不低于60分（满分100分）．为了了解成绩分布情况，学校随机抽取了部分学生的成绩进行统计，得到如下不完整的统计表．根据表中所给信息，解答下列问题：

（2）这组数据的中位数落在　70≤x＜80　范围内；

（3）判断：这组数据的众数一定落在70≤x＜80范围内，这个说法　正确　（填“正确”或“错误”）；

（4）这组数据用扇形统计图表示，成绩在80≤x＜90范围内的扇形圆心角的大小为　72°　；

（5）若成绩不小于80分为优秀，则全校大约有　900　名学生获得优秀成绩．

【答案】解：（1）调查学生总数：15÷0.3＝50（名），

70≤x＜80的频数：50﹣15﹣10﹣5＝20，即a＝20

80≤x＜90的频率：1﹣0.3﹣0.4﹣0.1＝0.2，即b＝0.2，

故答案为20，0.2；

（2）共50名学生，中位数落在“70≤x＜80”范围内；

（3）“70≤x＜80”范围内，频数最大，因此这组数据的众数落在70≤x＜80范围内，

故答案为正确；

（4）成绩在80≤x＜90范围内的扇形圆心角：＝72°，

故答案为72°；

（5）获得优秀成绩的学生数：＝900（名），

故答案为900．

19．（6分）改善小区环境，争创文明家园．如图所示，某社区决定在一块长（AD）16m，宽（AB）9m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路，其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草．要使草坪部分的总面积为112m2，则小路的宽应为多少？

【答案】解：设小路的宽应为xm，

根据题意得：（16﹣2x）（9﹣x）＝112，

解得：x1＝1，x2＝16．

∵16＞9，

∴x＝16不符合题意，舍去，

∴x＝1．

答：小路的宽应为1m．

20．（6分）襄阳卧龙大桥横跨汉江，是我市标志性建筑之一．某校数学兴趣小组在假日对竖立的索塔在桥面以上的部分（上塔柱BC和塔冠BE）进行了测量．如图所示，最外端的拉索AB的底端A到塔柱底端C的距离为121m，拉索AB与桥面AC的夹角为37°，从点A出发沿AC方向前进23.5m，在D处测得塔冠顶端E的仰角为45°．请你求出塔冠BE的高度（结果精确到0.1m．参考数据sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.41）．

【答案】解：在Rt△ABC中，tanA＝，

则BC＝AC•tanA≈121×0.75＝90.75，

由题意得，CD＝AC﹣AD＝97.5，

在Rt△ECD中，∠EDC＝45°，

∴EC＝CD＝97.5，

∴BE＝EC﹣BC＝6.75≈6.8（m），

答：塔冠BE的高度约为6.8m．

21．（7分）如图，已知一次函数y1＝kx+b与反比例函数y2＝的图象在第一、第三象限分别交于A（3，4），B（a，﹣2）两点，直线AB与y轴，x轴分别交于C，D两点．

（1）求一次函数和反比例函数的解析式；

（2）比较大小：AD　＝　BC（填“＞”或“＜”或“＝”）；

（3）直接写出y1＜y2时x的取值范围．

【答案】解：（1）把A（3，4）代入反比例函数y2＝得，

4＝，解得m＝12，

∴反比例函数的解析式为y2＝；

∵B（a，﹣2）点在反比例函数y2＝的图象上，

∴﹣2a＝12，解得a＝﹣6，

∴B（﹣6，﹣2），

∵一次函数y1＝kx+b的图象经过A（3，4），B（﹣6，﹣2）两点，

∴，解得，

∴一次函数的解析式为y1＝x+2；

（2）由一次函数的解析式为y1＝x+2可知C（0，2），D（﹣3，0），

∴AD＝＝2，BC＝＝2，

∴AD＝BC，

故答案为＝；

（3）由图象可知：y1＜y2时x的取值范围是x＜﹣6或0＜x＜3．

22．（8分）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆⊙O相交于点D，过D作直线DG∥BC．

（1）求证：DG是⊙O的切线；

（2）若DE＝6，BC＝6，求优弧的长．

【答案】（1）证明：连接OD交BC于H，如图，

∵点E是△ABC的内心，

∴AD平分∠BAC，

即∠BAD＝∠CAD，

∴＝，

∴OD⊥BC，BH＝CH，

∵DG∥BC，

∴OD⊥DG，

∴DG是⊙O的切线；

（2）解：连接BD、OB，如图，

∵点E是△ABC的内心，

∴∠ABE＝∠CBE，

∵∠DBC＝∠BAD，

∴∠DEB＝∠BAD+∠ABE＝∠DBC+∠CBE＝∠DBE，

∴DB＝DE＝6，

∵BH＝BC＝3，

在Rt△BDH中，sin∠BDH＝＝＝，

∴∠BDH＝60°，

而OB＝OD，

∴△OBD为等边三角形，

∴∠BOD＝60°，OB＝BD＝6，

∴∠BOC＝120°，

∴优弧的长＝＝8π．

23．（10分）襄阳市某农谷生态园响应国家发展有机农业，大力种植有机蔬菜．某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查，这两种蔬菜的进价和售价如下表所示：

（2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100kg进行销售，其中甲种蔬菜的数量不少于20kg，且不大于70kg．实际销售时，由于多种因素的影响，甲种蔬菜超过60kg的部分，当天需要打5折才能售完，乙种蔬菜能按售价卖完．求超市当天售完这两种蔬菜获得的利润额y（元）与购进甲种蔬菜的数量x（kg）之间的函数关系式，并写出x的取值范围；

（3）在（2）的条件下，超市在获得的利润额y（元）取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出2a元，乙种蔬菜每千克捐出a元给当地福利院，若要保证捐款后的盈利率不低于20%，求a的最大值．

【答案】解：（1）由题意可得，

，解得，，

答：m的值是10，n的值是14；

（2）当20≤x≤60时，

y＝（16﹣10）x+（18﹣14）（100﹣x）＝2x+400，

当60＜x≤70时，

y＝（16﹣10）×60+（16﹣10）×0.5×（x﹣60）+（18﹣14）（100﹣x）＝﹣x+580，

由上可得，y＝；

（3）当20≤x≤60时，y＝2x+400，则当x＝60时，y取得最大值，此时y＝520，

当60＜x≤70时，y＝﹣x+580，则y＜﹣60+580＝520，

由上可得，当x＝60时，y取得最大值，此时y＝520，

∵在（2）的条件下，超市在获得的利润额y（元）取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出2a元，乙种蔬菜每千克捐出a元给当地福利院，且要保证捐款后的盈利率不低于20%，

∴，

解得，a≤1.8，

即a的最大值是1.8．

24．（10分）（1）证明推断：如图（1），在正方形ABCD中，点E，Q分别在边BC，AB上，DQ⊥AE于点O，点G，F分别在边CD，AB上，GF⊥AE．

①求证：DQ＝AE；

②推断：的值为　1　；

（2）类比探究：如图（2），在矩形ABCD中，＝k（k为常数）．将矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点E处，得到四边形FEPG，EP交CD于点H，连接AE交GF于点O．试探究GF与AE之间的数量关系，并说明理由；

（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接CP，当k＝时，若tan∠CGP＝，GF＝2，求CP的长．

【答案】（1）①证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝DA，∠ABE＝90°＝∠DAQ．

∴∠QAO+∠OAD＝90°．

∵AE⊥DH，

∴∠ADO+∠OAD＝90°．

∴∠QAO＝∠ADO．

∴△ABE≌△DAQ（ASA），

∴AE＝DQ．

②1．

（2）解：结论：＝k．

理由：如图2中，作GM⊥AB于M．

∵AE⊥GF，

∴∠AOF＝∠GMF＝∠ABE＝90°，

∴∠BAE+∠AFO＝90°，∠AFO+∠FGM＝90°，

∴∠BAE＝∠FGM，

∴△ABE∽△GMF，

∴＝，

∵∠AMG＝∠D＝∠DAM＝90°，

∴四边形AMGD是矩形，

∴GM＝AD，

∴＝＝＝k．

（3）解：如图2﹣1中，作PM⊥BC交BC的延长线于M．

∵FB∥GC，FE∥GP，

∴∠CGP＝∠BFE，

∴tan∠CGP＝tan∠BFE＝＝，

∴可以假设BE＝3k，BF＝4k，EF＝AF＝5k，

∵＝，FG＝2，

∴AE＝3，

∴（3k）2+（9k）2＝（3）2，

∴K＝1或﹣1（舍弃），

∴BE＝3，AB＝9，

∵BC：AB＝2：3，

∴BC＝6，

∴BE＝CE＝3，AD＝PE＝BC＝6，

∵∠BEF＝∠FEP＝∠PME＝90°，

∴∠FEB+∠PEM＝90°，∠PEM+∠EPM＝90°，

∴∠FEB＝∠EPM，

∴△FBE∽△EMP，

∴＝＝，

∴＝＝，

∴EM＝，PM＝，

∴CM＝EM＝EC＝﹣3＝，

∴PC＝＝．

25．（13分）如图，在直角坐标系中，直线y＝﹣x+3与x轴，y轴分别交于点B，点C，对称轴为x＝1的抛物线过B，C两点，且交x轴于另一点A，连接AC．

（1）直接写出点A，点B，点C的坐标和抛物线的解析式；

（2）已知点P为第一象限内抛物线上一点，当点P到直线BC的距离最大时，求点P的坐标；

（3）抛物线上是否存在一点Q（点C除外），使以点Q，A，B为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】解：（1）y＝﹣x+3，令x＝0，则y＝3，令y＝0，则x＝6，

故点B、C的坐标分别为（6，0）、（0，3），

抛物线的对称轴为x＝1，则点A（﹣4，0），

则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣6）（x+4）＝a（x2﹣2x﹣24），

即﹣24a＝3，解得：a＝﹣，

故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+3…①；

（2）过点P作y轴的平行线交BC于点G，作PH⊥BC于点H，

将点B、C坐标代入一次函数表达式并解得：

直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，

则∠HPG＝∠CBA＝α，tan∠CAB＝＝＝tanα，则cosα＝，

设点P（x，﹣x2+x+3），则点G（x，﹣x+3），

则PH＝PGcosα＝（﹣x2+x+3+x﹣3）＝﹣x2+x，

∵＜0，故PH有最小值，此时x＝3，

则点P（3，）；

（3）①当点Q在x轴上方时，

则点Q，A，B为顶点的三角形与△ABC全等，此时点Q与点C关于函数对称轴对称，

则点Q（2，3）；

②当点Q在x轴下方时，

Q，A，B为顶点的三角形与△ABC相似，则∠ACB＝∠Q′AB，

当∠ABC＝∠ABQ′时，

直线BC表达式的k值为﹣，则直线BQ′表达式的k值为，

设直线BQ′表达式为：y＝x+b，将点B的坐标代入上式并解得：

直线BQ′的表达式为：y＝x﹣3…②，

联立①②并解得：x＝6或﹣8（舍去6），

故点Q（Q′）坐标为（﹣8，﹣7）（舍去）；

当∠ABC＝∠ABQ′时，

同理可得：直线BQ′的表达式为：y＝x﹣…③，

联立①③并解得：x＝6或﹣10（舍去6），

故点Q（Q′）坐标为（﹣10，﹣12），

由点的对称性，另外一个点Q的坐标为（12，﹣12）；

综上，点Q的坐标为：（2，3）或（12，﹣12）或（﹣10，﹣12）．