天津市第一中学2017届高三上学期第三次月考数学(文)试题

数学（文科）学科试卷

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设全集{|6}U x N x =∈≤，{1,3,5}A =，{4,5,6}B =，则()U C A B ∩等于（ ） A ．{4,6} B ．{5} C ．{1,3} D ．{0,2}

2.4张卡片上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为偶数的概率是（ ） A ．

12 B ．13 C ．23 D ．34

3.“1a =”是“函数()||f x x a =-在区间[1,)+∞上为增函数”的（ ）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件 4.执行程序框图，该程序运行后输出的k 的值是（ ）

A ． 6

B ．5 C. 4 D ．3

5.已知双曲线22

122:1(0,0)x y C a b a b

-=>>的离心率为2，若抛物线22:2(0)

C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距离为2，则抛物线2C 的方程为（ ）

A ．2

x y =

B ．2x y = C.28x y = D ．216x y = 6.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(,0)-∞上单调递增，若实数a 满足

|1|(2)(a f f ->，则a 的取值范围是（ ）

A ．1(,)2-∞

B ．13(,)(,)22-∞+∞∪ C. 13(,)22 D ．3(,)2

+∞ 7.函数()sin(2)(||)2

f x x π

ϕϕ=+<

的图象向左平移

6

π

个单位后关于原点对称，则函数()f x 在[0,]2

π

上的最小值为（ ）

A ．2-

．12- C.12 D ．2

8.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，

2221

()(|||2|3)2

f x x a x a a =-+--，若x R ∀∈，(1)()f x f x -≤，则实数a 的取值范

围为（ ）

A ．11[,]66-

B ．[66-

C.11[,]33- D ．[33

-

第Ⅱ卷（共110分）

二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）

9.已知,a b R ∈，i 是虚数单位，若(1)(1)i bi a +-=，则

a

b

的值为_________. 10.若曲线ln y ax x =+在点(1,)a 处的切线方程为2y x b =+，则b =________. 11.一个几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积为________3

cm .

12.圆心在直线270x y -+=上的圆C 与x 轴交于两点(2,0)A -、(4,0)B -，则圆C 的方程为__________.

13.在ABC ∆中，90BAC ∠=

，1AB =，2AC =，13BD BC = ，13

AE AB =

，DE 的

延长线交CA 的延长线于点F ，则AD AF

•的值为 ．

14.已知m R ∈，函数2|21|,1,

()log (1),1,

x x f x x x +<⎧=⎨

->⎩，2()221g x x x m =-+-，若函数

(())y f g x m =-有6个零点，则实数m 的取值范围是 ．

三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

15.（本小题满分13分）

在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c

，已知2cos 2c B a =. （1）求角C 的大小； （2）若2

cos 3

B =

，求cos A 的值. 16.（本小题满分13分）

某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产1桶甲产品需耗A 原料3千克，B 原料1千克，生产1桶乙产品需耗A 原料1千克，B 原料3千克.每生产一桶甲产品的利润为400元，每生产一桶乙产品的利润为300元，公司在生产这两种产品的计划中，每天消耗A B 、原料都不超过12千克.设公司计划每天生产x 桶甲产品和y 桶乙产品. （1）用,x y 列出满足条件的数学关系式；

（2）该公司每天需生产甲产品和乙产品各多少桶时才使所得利润最大，最大利润是多少？ 17. （本小题满分13分）

如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是梯形，//AB CD ，60DAB ∠=

，

2AB AD CD ==，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且PAD ∆为等腰直角三角形，90APD ∠= ，M 为AP 的中点

.

（1）求证：AD PB ⊥； （2）求证：//DM 平面PCB ； （3）求PB 与平面ABCD 所成角的大小.

18. （本小题满分13分）

设n S 为数列{}n a 的前n 项和，且对任意*

n N ∈时，点(,)n n a S 都在函数11

()22

f x x =-

+的图象上.

（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设33

log (12)102

n n b S =

-+，求数列{}n b 的前n 项和n T 的最大值. 19. （本小题满分14分）

在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，点(2,

1)在

椭圆C 上.

（1）求椭圆C 的方程；

（2）设直线l 与圆22:2O x y +=相切，与椭圆C 相交于,P Q 两点. ①若直线l 过椭圆C 的右焦点F ，求OPQ ∆的面积； ②求证：OP OQ ⊥. 20. （本小题满分14分）

已知函数32

()()f x ax bx b a x =++-（a b 、是不同时为零的常数），导函数为'()f x .

（1）当1

3

a =

时，若存在[3,1]x ∈--，使得'()0f x >成立，求b 的取值范围； （2）求证：函数'()y f x =在(1,0)-内至少有一个零点；

（3）若函数()f x 为奇函数，且在1x =处的切线垂直于直线230x y +-=，关于x 的方程

1

()4

f x t =-，在[1,](1)t t ->-上有且只有一个实数根，求实数t 的取值范围.

参

一、选择题

1-4:ABAC 5-8: DCAB

二、填空题

9. 2 10. -1 11. 16 12. 22(3)(2)5x y ++-= 13. 49-

14. 3

(0,)5

三、解答题

15.解：（1）∵2cos 2B a =，

∴222

222a c b c a ac

+-⨯

=，

∴2

2

2

2

2a c b a +-=，

∴2

2

2

c a b =+，

∴cos C ==

， ∴6

C π

=

.

（2）cos cos()A B C π=--

cos()6

B π

π=--

cos()6B π

5=-

5cos cos sin sin 66B B ππ5=+．

∵2

cos 3

B =，

∴sin B ==

原式2123236

=-

+⨯=． 16.解：（1）设每天生产甲产品x 桶，乙产品y 桶， 则,x y 满足条件的数学关系式为

312,312,0,0,

x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪

⎨

≥⎪⎪≥⎩ 该二元一次不等式组表示的平面区域（可行域）如下：

（2）设利润总额为z 元，则目标函数为：400300z x y =+. 如图，作直线:4003000l x y +=，即430x y +=. 当直线43300z y x =-

+经过可行域上的点A 时，截距300

z

最大，即z 最大. 解方程组312,312,x y x y +=⎧⎨

+=⎩得3,

3,x y =⎧⎨=⎩

，即(3,3)A ，

代入目标函数得max 2100z =

.

且90APD ∠=

， ∴PA PD =， ∴PG AD ⊥.

∵AB AD =，且60DAB ∠=

，

∴ABD ∆是等边三角形， ∴BG AD ⊥.

又PG BG G =∩， ∴AD ⊥平面PBG ， ∴AD PB ⊥.

（2）取PB 的中点N ，连结,MN CN . ∵,M N 分别是,PA PB 的中点，

∴//MN AB ，1

2MN AB =. 又//AB CD ，1

2

CD AB =，

∴//MN CD ，MN CD =. ∴四边形MNCD 是平行四边形， ∴//DM CN .

又CN ⊂平面PCB ，DM ⊄平面PCB ，∴//DM 平面PCB .

（3）∵侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧面PAD 底面ABCD AD =，又PG AD ⊥， ∴PG ⊥底面ABCD ，

∴PBG ∠为PB 与平面ABCD 所成的角.

设CD a =，则PG a =，BG =. 在Rt PBG ∆中，

∵tan PG PBG BG ∠=

= ∴30PBG ∠=

，

∴PB 与平面ABCD 所成的角为30

.

18. 试题解析：（1）因为点(),n n a S 都在函数()11

22

f x x =-+的图象上．

所以11

22

n n S a =-+，

当1n =时，11111111

,223S a S a a +==∴= ，

当2n ≥时，1111

22

n n S a --=-+，

所以11111111

22222n n n n n n n a S S a a a a ---=-=-+-=-+，

11

3

n n a a -∴=，

{}n a ∴是公比为13，首项为13的等比数列，13n

n a ⎛⎫

∴= ⎪⎝⎭

（2）因为{}n a 是公比为13，首项为1

3的等比数列，

所以1111133112313

n n n S ⎛⎫

- ⎪⎛

⎫

⎝⎭==- ⎪⎝⎭

-，………………7分 ()333

log 12101022n n b S n ∴=-+=-÷，………………8分

n 132

n b b +-=- ，

∴数列{}n b 是以

172为首项，公差为3

2

-的等差数列，且单调递减…………9分 由1

00n n b b +≥⎧⎨<⎩，

所以()3

100231100

2n n ⎧-+≥⎪⎪⎨⎪-++<⎪⎩，即125633n <≤，………………10分

6n ∴=，………………11分

数列{}n b 的前n 项和的最大值为61175716222T ⎛⎫=+⨯= ⎪⎝⎭

．………………12分

19. 试题解析：解：（1

）由题意，得

22411c a a b

=+=，解得226,3a b ==． 所以椭圆的方程为22

163

x y +=．

（2）①椭圆C

的右焦点)

F

．

设切线方程为(

y k x =-

，即0kx y -=，

=

k =

y x =．

由方程组22

163x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩

解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩

或x y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

，

所以PQ =

． 因为O 到直线PQ

OPQ ∆

． 综上所述，OPQ ∆

． ②（i ）若直线PQ 的斜率不存在，则直线PQ

的方程为x

x =

当x

,P

Q

．

因为0OP OQ ⋅=

，所以OP OQ ⊥．

当x =时，同理可得OP OQ ⊥．

（ii ）若直线PQ 的斜率存在，设直线PQ 的方程为y kx m =+，即0kx y m -+=．

=2222m k =+．

将直线PQ 方程代入椭圆方程，得()

222124260k x kmx m +++-=．

设()()1122,,,P x y Q x y ，则有2121222

426

,1212km m x x x x k k

-+=-=++， 因为()()()()221212*********OP OQ x x y y x x kx m kx m k x x km x x m ⋅=+=+++=++++

()22

2222111m km k km m k k -⎛⎫

=+⨯+⨯-+ ⎪++⎝⎭

． 将22

22m k =+代入上式可得0OP OQ ⋅= ，所以OP OQ ⊥．

综上所述，OP OQ ⊥．

20. 试题解析：解：（1）当13a =时，()()2'2211233f x x bx b x b b b ⎛

⎫=++-=+-+- ⎪⎝

⎭，其对

称轴为直线x b =-． 当()'2,

30,b f -≥-⎧⎪⎨->⎪⎩

解得2615b <，

当()'210

b f -<-⎧⎪⎨->⎪⎩，无解，所以b 的取值范围为26,15⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭．

（2）因为()()'232f x ax bx b a =++-．

当0a =时，1

2

x =-，适合题意．

当0a ≠时，23210b b x x a a ++-=，令b

t a

=，则23210x tx t ++-=．

令()2321h x x tx t =++-，则11024h ⎛⎫

-=-< ⎪⎝⎭．

当1t >时，()010h t =->，所以()y h x =在1,02⎛⎫

- ⎪⎝⎭

内有零点；

当1t ≤时，()1210h t -=-≥>，所以()y h x =在11,2⎛

⎫-- ⎪⎝

⎭内有零点．

因此，当0a ≠时， ()y h x =在()1,0-内至少有一个零点． 综上可知，函数()'y f x =在()1,0-内至少有一个零点．

（3）因为()()32f x ax bx b a x =++-为奇函数，所以0b =，所以()3f x ax ax =-， 又()f x 在1x =处的切线垂直于直线230x y +-=，所以1a =， 即()3f x x x =-．………………10分

因为()'3f x x x ⎛= ⎝⎭⎝⎭，所以()f x 在,⎛⎫-∝+∝ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上是增函数，在

⎡⎢⎣

⎦上是减函数．由()0f x =解得1,0x x =±=．………………11分

当1t -<≤()104f t t ≥->，即31

04

t t t -≥->，解得t ≤≤

当0t <<时，()1

04

f t t >->，解得0t <<； 当0t =时，显然不成立；

当0t <≤

时，()104f t t ≤-<即31

04

t t t -<-<，解得0t <≤；

当t >

时，()1

04f t t <-<或14t f -==⎝⎭

t <<或t =．

所以，所求t 的取值范围是0t ≤<，或0t <<或t =．………………16分