高一不等式及其解法

 [类题通法]

利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围．解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围．

一、选择题

1．设a，b∈[0，＋∞)，A＝＋，B＝，则A，B的大小关系是(　　)

A．A≤B　　　　　　　　    B．A≥B

C．A＜B      D．A＞B

2．若m＜0，n＞0且m＋n＜0，则下列不等式中成立的是(　　)

A．－n＜m＜n＜－m      B．－n＜m＜－m＜n

C．m＜－n＜－m＜n      D．m＜－n＜n＜－m

3．(2015·西安检测)设α∈，β∈，那么2α－的取值范围是(　　)

A.              B.           C．(0，π)         D. 

4．在所给的四个条件：①b>0>a；②0>a>b；③a>0>b；④a>b>0中，能推出<成立的有(　　)

A．1个                  B．2个           C．3个                D．4个

5．若<<0，则下列结论不正确的是(　　)

A．a2C．a＋b<0      D．|a|＋|b|>|a＋b|

6．已知a，b，c，d均为实数，有下列命题：

①若ab＞0，bc－ad＞0，则－＞0；

②若ab＞0，－＞0，则bc－ad＞0；

③若bc－ad＞0，－＞0，则ab＞0.

其中正确命题的个数是(　　)

A．0                      B．1                   C．2      D．3

二、填空题

7．已知a，b，c∈R，有以下命题：

①若a>b，则ac2>bc2；②若ac2>bc2，则a>b；

③若a>b，则a·2c>b·2c.

其中正确命题的序号是__________．

8．若1＜α＜3，－4＜β ＜2，则α－|β|的取值范围是________．

9．已知a＋b＞0，则＋与＋的大小关系是________．

10．已知存在实数a满足ab2>a>ab，则实数b的取值范围是________．

第二节一元二次不等式及其解法

(基础送分型考点——自主练透)[必备知识]

设一元二次不等式为ax2＋bx＋c＞0(a≠0)，其中Δ＝b2－4ac，x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根且x1＜x2.

(1)当a＞0时，若Δ＞0，则不等式的解集为{x|x＜x1，或x＞x2}；

若Δ＝0，则不等式的解集为；

若Δ＜0，则不等式的解集为R.

(2)当a＜0时，若Δ＞0，则不等式的解集为{x|x1＜x＜x2}；

若Δ＝0，则不等式的解集为∅；

若Δ＜0，则不等式的解集为∅.

[题组练透]

解下列不等式：

(1)－3x2－2x＋8≥0；               (2)x2－4ax－5a2＞0(a≠0)．

[类题通法]

1．解一元二次不等式的一般步骤

(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式．

(2)判：计算对应方程的判别式．

(3)求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根．

(4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集．

2．解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据

(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．

(2)当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系．

(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．

[提醒]　当不等式中二次项的系数含有参数时，不要忘记讨论其等于0的情况．

(常考常新型考点——多角探明)[必备知识]

一元二次不等式恒成立的条件

(1)不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔或

(2)不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔或

[多角探明]

一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系．在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换．对于一元二次不等式恒成立问题，常根据二次函数图象与x轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的取值范围.

　　归纳起来常见的命题角度有：

(1)形如f(x)≥0(x∈R)确定参数的范围；(2)形如f(x)≥0(x∈[a，b])确定参数范围；

(3)形如f(x)≥0(参数m∈[a，b]

1．已知不等式mx2－2x－m＋1＜0，是否存在实数m对所有的实数x，不等式恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

角度二：形如f(x)≥0(x∈[a，b])确定参数范围

2．设函数f(x)＝mx2－mx－1(m≠0)，若对于x∈[1,3]，f(x)＜－m＋5恒成立，求m的取值范围．

角度三：形如f(x)≥0(参数m∈[a，b])确定x的范围

3．对任意m∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零，求x的取值范围．         

[类题通法]

恒成立问题及二次不等式恒成立的条件

(1)解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．

(2)对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方；恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方．

(重点保分型考点——师生共研)

[典题例析]

甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每小时可获得利润是100元．

(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，求x的取值范围；

(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润．

 [类题通法]

求解不等式应用题的四个步骤

(1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系．

(2)引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型．

(3)解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中自变量的实际意义．

(4)回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果．

[演练冲关]

某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x成(1成＝10%)，售出商品数量就增加x成(要求售价不能低于成本价)．

(1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式y＝f(x)，并写出定义域；

(2)若要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x的取值范围．

一、选择题

1．不等式组的解集为(　　)

A．{x|－21}

2．不等式≤x－2的解集是(　　)

A．(－∞，0]∪(2,4]      B．[0,2)∪[4，＋∞)

C．[2,4)      D．(－∞，2]∪(4，＋∞)

3．已知f(x)＝ax2－x－c，不等式f(x)＞0的解集为{x|－2＜x＜1}，则函数y＝f(－x)的图象为(　　)

4．如果关于x的不等式5x2－a≤0的正整数解是1,2,3,4，那么实数a的取值范围是(　　)

A．[80,125)      B．(80,125)

C．(－∞，80)      D．(125，＋∞)

5．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售价每件应定为(　　)

A．12元       B．16元      C．12元到16元之间        D．10元到14元之间

6．若不等式x2＋ax－2>0在区间[1,5]上有解，则a的取值范围是(　　)

A.      B. 

C．(1，＋∞)      D. 

二、填空题

7．不等式|x(x－2)|>x(x－2)的解集是________．

8．若不等式(1－a)x2－4x＋6＞0的解集是{x|－3＜x＜1}，则a的值为________．