福建省泉州市惠安县荷山中学高二数学下学期期中试题 理解析

一、选择题（每小题5分，共60分）

1．复数的值是（    ）

    A．                B．            C．                D． 

2．用反证法证明命题：“已知，为实数，则方程至少有一个实根”时，要做的假设是（    ）

    A．方程没有实根            B．方程至多有一个实根

    C．方程至多有两个实根        D．方程恰好有两个实根

3．名学生报名参加体操、美术、计算机、航模课外兴趣小组，每人选报一种，则不同的报名种数有（    ）

    A．                B．                C．                D． 

4．定积分的值为（    ）

    A．            B．                C．                D． 

5．若曲线在点处的切线方程是，则（    ）

    A．，         B．，    C．，     D．， 

6．函数在区间上的最小值为（    ）

    A．                 B．                 C．                 D． 

7．四个人从左到右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（    ）

    A．                B．                C．                D． 

8．函数，已知在时取得极值，则（    ）

    A．                B．                 C．                 D． 

9．已知函数在其定义域内是增函数，则实数的取值范围为（    ）

    A．         B．         C．             D． 

10．函数的导函数的图象如图所示，给出下列命题：

    是函数的极值点；  是函数的最小值点；

    在区间上单调递增； 在处切线的斜率小于零．

以上正确命题的序号是（  ）

    A．                 B．                 C．                 D．  

11．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（    ）

    A．            B．             C．             D． 

12．设函数，关于的方程有三个不同的实数解，则实数的取值范围是

 A．     B．     C．       D．

二、填空题（每小题4分，共16分）

13．曲线在点处的切线方程为____________________．

14．从进入决赛的名选手中决出名一等奖，名二等奖，名三等奖，则可能的决赛结果共有_____种．（用数字作答）

15．如图，直线与函数的图象围成的封闭图形（阴影部分）的面积是_____________．

16观察下列等式：

，，，……，

据此规律，第个等式为_________________________________________．

三、解答题

17.（本小题满分12分）

     ()设复数满足，其中为虚数单位，求复数.        

(实数取何值时，复数,()是实数；（）是纯虚数.    

18．（本题满分12分）已知．

    （）若在处的切线方程为，求与的值；

    （）求．

19．（本小题满分12分）

    甲、乙、丙、丁四名同学报名参加三个智力竞赛项目，每个人都要报名参加．分别求在下列情况下不同的报名方法的种数：

    （）每个项目都要有人报名；

    （）甲、乙报同一项目，丙不报项目；

    （）甲不报项目，且、项目报名的人数相同；

20．（本小题满分12分）

已知在时有极大值，在时有极小值．

（）求，，的值；（）求在区间上的最大值和最小值．

21．（本小题满分12分）设函数．

（）若在时有极值，求实数的值和的极大值；

（）若在定义域上是增函数，求实数的取值范围．

22. （本小题满分12分）设函数.N，

（Ⅰ）当时，求的单调区间；

（Ⅱ）求证：≥；

（Ⅲ）当时，若≥对于任意恒成立，求实数的取值范围.

2016年春季惠安荷山中学高二年数学（理）期中考试卷

参

一、选择题

13．；    

14．60；

15． ；

16． 

三、解答题

17.（本小题满分12分）    

解：()设                     …………4分

()当为实数时，解得或                     …………8分

当为纯虚数时，解得                       …………12分

18．（本题满分12分）

解：．

（）依题意：，解得，；

（）设，则，解得，，即，

∴．

19．（本小题满分12分）

    解：（）每个项目都要有人报名，共有种；

    （）甲、乙报同一项目，丙不报项目，共有种；

    （）甲不报项目，且、项目报名的人数相同，

        若、项目各有一人，有种；

        若、项目各有两人，有种，

    所以甲不报项目，且、项目报名的人数相同共有18种．

20．（本小题满分12分）

解：（）由条件知

     ….4分

   （）

21．（本小题满分12分）

解：(1)定义域为， 

由题意知在时有极值，则，

经检验，当时，在时有极值，满足题意

（2）在上是增函数对于上恒成立

     即对于上恒成立

    对于上恒成立

   综上                                            …………….12分

22. （本小题满分12分）

（Ⅰ）解：当时，，.

当时，；当时，.

的单调递减区间为，的单调递增区间为.

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得，若，则当时，取得极小值，即最小值.

      ，即≥

      ≥，当且仅当时等号成立.

（Ⅲ）解：当时，，

由（Ⅱ）知≥，当且仅当时等号成立.

    ≥，

当≥，即≥时，≥（≥），单调递增，而，

当≥时，≥.

      又由，可得，即

   当时，，

当时，，单调递减，

而，此时

     综上可得，实数的取值范围为.