高三数学一轮复习直线与圆的位置关系学案

【复习目标】

能够利用几何法解决与圆有关的综合性问题，如：最值问题、范围问题以及求解圆的方程；

渗透数形结合的思想，充分利用圆的几何性质（如垂径定理），简化运算.

【课前预习】

1.圆上的点到直线x－y =3的距离的最大值为                      （     ）

A．          B．         C．        D．0

2.若圆上有且只有两个点到直线4x－3y=2的距离等于1，则半径r范围是  （     ）A．（4,6）         B．             C．           D．[4,6]

3.对于k∈R，直线(3k+2)x－ky－2=0与圆的位置关系是 （     ）

A．相交     B．相切      C．相离       D．可能相交，也可能相切，但不可能相离

4.设点是圆上任一点，若不等式恒成立，则的取值范围是（     ）A． B．     C．      D．

【典型例题】

考点一　直线与圆的位置关系

【例1】 已知直线l：y＝kx＋1，圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝12.

(1)试证明：不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点；

(2)求直线l被圆C截得的最短弦长.   

【训练1】直线y＝－x＋m与圆x2＋y2＝1在第一象限内有两个不同的交点，则m的取值范围是(　　)

A.(，2)          B.(，3)

C.          D. 

考点二　圆的切线、弦长问题

[微题型1]　有关弦长问题

【例2－1】 (1)在平面直角坐标系xOy中，直线x＋2y－3＝0被圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4截得的弦长为________.

(2)(2015·全国Ⅰ卷)已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点.

①求k的取值范围；

②若·＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.

 [微题型2]　有关切线问题

【例2－2】 (1)(2014·江西卷)在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为(　　)

A.π          B.π

C.(6－2)π          D.π

(2)(2015·山东卷)过点P(1，)作圆x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则·＝________.

【训练2】 (1)过点(3，1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________.

(2)过原点O作圆x2＋y2－6x－8y＋20＝0的两条切线，设切点分别为P，Q，则线段PQ的长为________.

考点三　圆与圆的位置关系

【例3】 (1)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为(　　)

A.内切      B.相交    C.外切      D.相离

(2)过两圆x2＋y2＋4x＋y＝－1，x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0的交点的圆中面积最小的圆的方程为________.

考点四 综合性问题　

【例4】 已知与曲线C：相切的直线交x轴、y轴于A、B两点，O为原点，|OA|=，|OB|=b(>2,b>2).

求证：(-2)(b-2)=2；

求线段AB中点的轨迹方程；

求△AOB面积的最小值。

【例5】 已知圆及点P(7,4)，由P点向该圆引两条切线，M、N为切点，Q(x,y)是圆上任一点。

求弦MN所在的直线方程；

求的最大、最小值；

求2x－y的最大、最小值。

【课后巩固】

1.设M是圆上的点，则M点到直线3x+4y-2=0的最短距离是  (     )

A．9             B．8             C．5                D．2

2.若圆与直线 (a>0,b>0)相切，则ab的最小值为           （     ）

A．1             B．2             C．             D．不存在

3.过点P(1,-2)的直线与圆相交于A、B两点，则弦AB中点M的轨迹方程是                           。

4.已知直线：x－y+3=0及圆C：，令圆C在x轴同侧移动且与x轴相切。

圆心在何处时，圆在直线上截得的弦最长？

C在何处时，l与y轴的交点把弦分成1﹕2？

5．过点M（3，0）作直线与圆x2 + y2 =16交于A、B两点，求直线l的倾斜角，使△AOB的面积最大，并求这个最大值.

6.从圆外一点P(x1,y1)，向圆引切线，切点为M，O 为原点，且有|PM|=|PO|，求使|PM|最小的P点坐标.

7.已知圆，圆内有定点，圆周上有两个动点A、B满足，求矩形顶点的轨迹方程．