2017中考数学复习圆与圆2.doc

知识考点：

1、掌握两圆的内外公切线长的性质和求切线长的方法（转化为解直角三角形）。

2、掌握有关两圆的内、外公切线的基本图形，以及这类问题添加辅助线的方法，会结合圆的切线的性质解决有关两圆公切线的问题。

精典例题：

【例1】如图，⊙O1与⊙O2外切于P，AB是两圆的外公切线，切点为A、B，我们称△PAB为切点三角形，切点三角形具有许多性质，现总结如下：

（1）△PAB是直角三角形，并且∠APB＝900；

（2）△PAB的外接圆与连心线O1O2相切；

（3）以O1O2为直径的圆与Rt△PAB的斜边AB相切；

（4）斜边AB是两圆直径的比例中项；

（5）若⊙O1、⊙O2的半径为、，则PA∶PB∶AB＝∶∶；

（6）内公切线PC平分斜边AB；

（7）△CO1O2为直角三角形。

这些结论虽然在证题时仍需证明，但有了这些基本结论作基础，可帮助你迅速找到解题思路，可以提高解题速度，下面用一个具体的例子来说明。

如图2，⊙A和⊙B外切于P，CD为两圆的外公切线，C、D分别为切点，PT为内公切线，PT与CD相交于点T，延长CP、DP分别与两圆相交于点E、F，又⊙A的半径为9，⊙B的半径为4。

（1）求PT的长；

（2）求证：；

（3）试在图中找出是线段PA和PB比例中项的线段，并加以证明。

分析：图中的基本图形是切点三角形，易证T为CD的中点，∠CPD＝900，PT即为外公切线长的一半，CF、DE分别为两圆直径，且互相平行，问题就解决了。

略解；（1）作BG⊥AC于G，则CD＝BG＝

∴PT＝CT＝TD＝CD＝6

证明（2）PT＝CD，∴∠CPD＝900

∴CF、DE分别是⊙A和⊙B的直径

  又∵CD切两圆于C、D，∴FC⊥CD，ED⊥CD

∴CF∥DE，∴，∴

（3）图中是PA和PB比例中项的线段有PT、CT、DT（证明略）

【例2】如图，⊙O和⊙内切于点B，⊙经过O，⊙O的弦AE切⊙于点C，AB交⊙于D。

（1）求证：；

（2）设AB＝10cm，DC＝cm，求AC和BC的长。

分析：两圆相切，常见辅助线是作两圆公切线，作连心线，本题添了这两种辅助线，问题便迎刃而解了。

（1）证明：过B作两圆的公切线BT，证△BCD∽△BEC即可；

（2）解：连结并延长，连结OD

         ∵⊙O与⊙内切，∴O、、B三点共线

         ∴BO为⊙的直径

         ∴OD⊥BD，∴AD＝BD＝AB＝5 cm

         ∵AC切⊙于C，∴∠4＝∠5，又∠A＝∠A

         ∴△ACD∽△ABC，∴

         ∴， cm

探索与创新：

【问题一】如图，AB为半⊙O的直径，⊙O1与半圆内切于，与AB相切于，⊙O2与半圆内切于，与AB相切于，请比较∠AC1D1与∠AC2D2的大小。

分析：显然O、O1、共线，O、O2、共线，又∵O1D1⊥AB，O2D2⊥AB

∴∠A1C1D1＝∠AC1O－∠OC1D1＝（∠OO1B－∠OOD1）＝∠O1D1O＝×900＝450；∠AC2D2＝∠AC2O＋∠OC2D2＝（∠C2OB＋∠OO2D2）＝×900＝450，故∠AC1D1＝∠AC2D2。

【问题二】如图，已知圆心A（0，3），⊙A与轴相切，⊙B的圆心在轴的正半轴上，且⊙A与⊙B外切于点P，两圆的公切线MP交轴于点M，交轴于点N。

（1）若sin∠OAB＝，求直线MP的解析式及经过M、N、B三点的抛物线的解析式；

（2）若⊙A的位置大小不变，⊙B的圆心在轴的正半轴上移动，并使⊙A与⊙B始终外切，过M作⊙B的切线MC，切点为C，在此变化过程中探究：

①四边形OMCB是什么四边形？对你的结论加以证明；

②经过M、N、B三点的抛物线内是否存在以BN为腰的等腰三角形？若存在，表示出来；若不存在，请说明理由。

解：（1）提示：先求出M（0，－2）、N（，0），再用待定系数法易得直线MP的解析式：，过M、N、B三点的抛物线的解析式为；

（2）①四边形OMCB是矩形，证明如下：

     在⊙A不动，⊙A运动变化过程中，恒有∠BAO＝∠MAP，OA＝AP，∠AOB＝∠APM＝900，∴△AOB≌△APM，∴PB＝PM，AB＝AM，∴PB＝OM，而PB＝BC，OM＝BC。由切线长定理知MC＝MP，∴MC＝OB，∴四边形MOBC是平行四边形，又∵∠MOB＝900，∴四边形MOBC是矩形。

②存在，由上证明可知，Rt△MON≌Rt△BPN，∴BN＝MN。因此存在过M、N、B三点的抛物线内有以BN为腰的等腰三角形MNB存在。由抛物线的轴对称性可知，在抛物线上必有一点与M关于其对称轴对称，∴BN＝，这样得到满足条件的三角形有两个，△MNB和△。

跟踪训练：

一、选择题：

1、如果两圆的半径分别为、，外公切线长为，那么这两个圆（    ）

    A、相交          B、外切          C、外离          D、外切或外离

2、两圆外切，它们的两条外公切线互相垂直，大圆的半径是，小圆的半径是，则等于（    ）

    A、              B、          C、2          D、

3、已知⊙O1和⊙O2外切于点P，过点P的直线AB分别交⊙O1、⊙O2于A、B。已知⊙O1和⊙O2的面积比为3∶1，则AP∶PB＝（    ）

    A、3∶1            B、6∶1 

C、9∶1            D、∶1

4、如图，⊙O1和⊙O2外切于点A，外公切线BC与⊙O1、⊙O2分别切于B、C，与连心线O1O2交于P，若∠BPO1＝300，则⊙O1和⊙O2的半径之比为（    ）

    A、1∶2        B、3∶1                C、2∶3            D、3∶4

二、填空题：

1、两圆的外公切线长为，内公切线长为，若圆心距是20，则两圆的半径分别是          。

2、如图，⊙O1和⊙O2外切于点C，AB是外公切线，A、B是切点，若AB＝5，BC＝3，则⊙O1的半径为          。

3、如图，⊙O1和⊙O2外切于点C，AB是外公切线，A、B是切点，两圆半径分别为9cm、4 cm，则AC∶BC＝          。

4、如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，现给出四个命题：

①若AC是⊙O2的切线，且交⊙O1于C，AD是⊙O1的切线，且交⊙O2于D，则：；

②连结AB，O1O2，若O1 A＝15 cm，O2 A＝20 cm，AB＝24 cm，则O1O2＝25 cm；

③若CA是⊙O1的直径，DA是⊙O2的一条非直径的弦，且点D、B不重合，则C、B、D三点不在同一条直线上；

④若过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点D，直线DB交⊙O1于点C，直线CA交⊙O2于点E，连结则。

则正确命题的序号是              （填序号）。

5、两外切，其半径分别为4和3，这两个圆的连心线与一条外公切线所夹锐角的正切值为      。

6、如上页图，⊙O1与⊙O2外切于A，⊙O1的弦BC延长切⊙O2于D，BA交⊙O2于E，若∠BDE＝1100，则∠BAC＝          。

三、计算或证明题：

1、如图，已知矩形ABCD，⊙O1与⊙O2外切，⊙O1与AD、AB、AC相切，⊙O2与BC、CD相切。

（1）若AB＝18，BC＝25，求⊙O2的半径；

（2）若连心线O1O2与BC的夹角为300，O1O2＝12，求矩形ABCD的面积。

2、如图，已知⊙O1与⊙O2外切于P，外公切线AB分别切⊙O1于A，切⊙O2于B，且AB＝，∠A O1O2＝600，求两圆的半径及O1O2的长。

3、如图，已知⊙O与⊙P相交于A、B两点，点P在⊙O上，⊙O的弦AC切⊙P于点A，CP及其延长线交⊙P于D、E，过点E作EF⊥CE交CB的延长线于F。

（1）求证：BC是⊙P的切线；

（2）若CD＝2，CB＝，求EF的长；

（3）若设＝PE∶CE，是否存在实数，使△PBD恰好是等边三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。

跟踪训练参

一、选择题；DBDB

二、填空题：

    1、6，4；2、；3、3∶2；4、①②③④；5、；6、400

三、计算或证明题：

1、略解：（1）易知⊙O1的半径为9，设小圆半径为，连结O1O2、O1E、O2F，作O2M⊥O1E于M，则，解得；（2）矩形ABCD的面积为；

2、，。

3、（1）证BP⊥CB；（2）；（3）存在。