新数学高考模拟试卷(带答案)

一、选择题

1．已知在ABC 中，::3:2:4sinA sinB sinC =，那么cosC 的值为（ ） A ．14- B ．14 C ．23- D ．23

2．某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是

A ．13

B ．12

C ．23

D ．34 3．在ABC ∆中，60A =︒，45B =︒，32BC =，则AC =（ ） A ．32 B ．3 C ．23 D ．43

4．如图是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到第14次的考试成绩依次记为1214,,A A A ，下图是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图，那么算法流程图输出的结果是（ ）

A ．7

B ．8

C ．9

D ．10 5．函数()1ln 1y x x

=-+的图象大致为( ) A ． B ．

D ．

6．已知向量()3,1a =，b 是不平行于x 轴的单位向量，且3a b ⋅=，则b =（ ）

A ．31,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭

B ．13,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭

C ．133,4⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭

D ．()1,0

7．函数()2

3x f x x

+=的图象关于( ) A ．x 轴对称

B ．原点对称

C ．y 轴对称

D ．直线y x =对称 8．设,a b R ∈，“0a =”是“复数a bi +是纯虚数”的（ ）

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件 9．某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n 名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7，那么从高三学生中抽取的人数为（ ）

A ．7

B ．8

C ．9

D ．10

10．设A （3，3，1），B （1，0，5），C （0，1，0），AB 的中点M ，则CM = A ．53 B ．532 C ．53 D ．13 11．在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个长方形的面积等于其他十个小长方形面积的和的，且样本容量是160，则中间一组的频数为（ ）

A ．32

B ．0.2

C ．40

D ．0.25

12．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为[)[)[)20,40,40,60,60,80,[80,100].若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是( )

A ．45

B ．50

C ．55

D ．

二、填空题

13．设α 为第四象限角，且sin3sin αα＝135

，则 2tan ＝α ________.

14．曲线2

1y x x =+在点（1，2）处的切线方程为______________． 15．i 是虚数单位，若复数()()12i a i -+是纯虚数，则实数a 的值为 .

16．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若1sin 3

α=，则cos()αβ-=___________. 17．函数()23s 34f x in x cosx =+-（0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦

）的最大值是__________． 18．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为________．

19．已知样本数据，，的均值，则样本数据，，

的均值为 ．

20．如图，圆C （圆心为C ）的一条弦AB 的长为2，则AB AC ⋅=______．

三、解答题

21．已知直线35:{132

x t l y t =+

=+（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=. （1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）设点的直角坐标为3)，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求MA MB ⋅的值.

22．“微信运动”是手机APP 推出的多款健康运动软件中的一款，大学生M 的微信好友中有400位好友参与了“微信运动”．他随机抽取了40位参与“微信运动”的微信好友（女20人，男20人）在某天的走路步数，经统计，其中女性好友走路的步数情况可分为五个类别：A 、02000步，（说明：“02000”表示大于或等于0，小于2000，以下同理），B 、20005000步，C 、50008000步，D 、800010000步，E 、

1000012000步，且A 、B 、C 三种类别的人数比例为1:4:3，将统计结果绘制如图所示的柱形图；男性好友走路的步数数据绘制如图所示的频率分布直方图．

（Ⅰ）若以大学生M 抽取的微信好友在该天行走步数的频率分布，作为参与“微信运动”的所有微信好友每天走路步数的概率分布，试估计大学生M 的参与“微信运动”的400位微信好友中，每天走路步数在20008000的人数；

（Ⅱ）若在大学生M 该天抽取的步数在800010000的微信好友中，按男女比例分层抽取6人进行身体状况调查，然后再从这6位微信好友中随机抽取2人进行采访，求其中至少有一位女性微信好友被采访的概率．

23．在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l 的参数方程为12312x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩

（t 为参数）.在以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,且与直角坐标系长度单位相同的极坐标系中,曲线C 的极坐标方程是22sin 4πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭

. （1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；

（2）设点()0,1P -.若直l 与曲线C 相交于两点,A B ,求PA PB +的值.

24．△ABC 在内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a=bcosC+csinB ．

（Ⅰ）求B ；

（Ⅱ）若b=2，求△ABC 面积的最大值.

25．商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量

(单位：千克)与销售价格(单位：元/千克)满足关系式，其中，为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．

(1) 求的值；

(2) 若商品的成品为3元/千克, 试确定销售价格的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大

【参】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

1．A

解析：A

【解析】

【分析】

【详解】

::sin :sin :sin 3:2:4a b c A B C == ，不妨设3,2,4a k b k c k ===，,

则()()()

2223241cos 2324

k k k C k k +-==-⨯⨯ ，选A. 2．B

解析：B

【解析】

试题分析：由题意，这是几何概型问题，班车每30分钟发出一辆，到达发车站的时间总长度为40，等车不超过10分钟的时间长度为20，故所求概率为

201402

=，选B. 【考点】几何概型

【名师点睛】这是全国卷首次考查几何概型,求解几何概型问题的关键是确定“测度”,常见的测度有长度、面积、体积等. 3．C

解析：C

【解析】

【分析】

在三角形中，利用正弦定理可得结果.

【详解】

解：在ABC ∆中， 可得sin sin BC AC A B

=,

60sin 45

AC

，即222

，

解得AC =

故选C.

【点睛】

本题考查了利用正弦定理解三角形的问题，解题的关键是熟练运用正弦定理公式.

4．C

解析：C

【解析】

【分析】

根据流程图可知该算法表示统计14次考试成绩中大于等于90的人数，结合茎叶图可得答案．

【详解】

根据流程图所示的顺序，可知该程序的作用是累计14次考试成绩超过90分的次数．根据茎叶图可得超过90分的次数为9.

故选：C ．

【点睛】

本题主要考查了循环结构，以及茎叶图的认识，解题的关键是弄清算法流程图的含义，属于基础题．

5．A

解析：A

【解析】

【分析】

确定函数在定义域内的单调性，计算1x =时的函数值可排除三个选项．

【详解】

0x >时，函数为减函数，排除B ，10x -<<时，函数也是减函数，排除D ，又1x =时，1ln 20y =->，排除C ，只有A 可满足．

故选：A.

【点睛】

本题考查由函数解析式选择函数图象，可通过解析式研究函数的性质，如奇偶性、单调性、对称性等等排除，可通过特殊的函数值，函数值的正负，函数值的变化趋势排除，最后剩下的一个即为正确选项．

6．B

解析：B

【解析】

【分析】

设()(),0b x y y =≠，根据题意列出关于x 、y 的方程组，求出这两个未知数的值，即可得出向量b 的坐标.

【详解】

设(),b x y =，其中0y ≠

，则3a x y b ⋅=+

=

由题意得2210x y y y ⎧+=+=

≠⎪⎩，解得12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩

13,22b ⎛= ⎝⎭. 故选：B.

【点睛】

本题考查向量坐标的求解，根据向量数量积和模建立方程组是解题的关键，考查方程思想

的应用以及运算求解能力，属于基础题.

7．C

解析：C

【解析】

【分析】

求函数的定义域，判断函数的奇偶性即可．

【详解】

解：()f x = 0x ∴≠解得0x ≠

()f x ∴的定义域为()

(),00,D =-∞+∞，D 关于原点对称.

任取x D ∈，都有()()f x f x x

-===， ()f x ∴是偶函数，其图象关于y 轴对称，

故选：C .

【点睛】

本题主要考查函数图象的判断，根据函数的奇偶性的定义判断函数的奇偶性是解决本题的关键．

8．B

解析：B

【解析】

【分析】

【详解】

当a=0时，如果b=0，此时0a bi +=是实数，不是纯虚数，因此不是充分条件；而如果a bi +已经是纯虚数，由定义实部为零，虚部不为零可以得到a=0，因此是必要条件，故选B

【考点定位】

本小题主要考查的是充分必要条件，但问题中又涉及到了复数问题，复数部分本题所考查的是纯虚数的定义

9．D

解析：D

【解析】

试题分析：因为210:270:3007:9:10,=所以从高二年级应抽取9人，从高三年级应抽取10人.

考点：本小题主要考查分层抽样的应用.

点评：应用分层抽样，关键是搞清楚比例关系，然后按比例抽取即可.

试题分析：先求得M（2,3

2

，3）点坐标，利用两点间距离公式计算得CM

53

，故选

C．

考点：本题主要考查空间直角坐标系的概念及空间两点间距离公式的应用．

点评：简单题，应用公式计算．

11．A

解析：A

【解析】

试题分析：据已知求出频率分布直方图的总面积；求出中间一组的频率；利用频率公式求出中间一组的频数．

解：设间一个长方形的面积S则其他十个小长方形面积的和为4S，所以频率分布直方图的总面积为5S

所以中间一组的频率为

所以中间一组的频数为160×0.2=32

故选A

点评：本题考查频率分布直方图中各组的面积除以总面积等于各组的频率．注意频率分布直方图的纵坐标是．

12．B

解析：B

【解析】

根据频率分布直方可知成绩低于60分的有第一、二组数据，

在频率分布直方图中，对应矩形的高分别为0.005，0.01，每组数据的组距为20，

则成绩低于60分的频率P=(0.005+0.010)×20=0.3.

又因为低于60分的人数是15人，

所以该班的学生人数是15÷0.3=50.

本题选择B选项.

二、填空题

13．－【解析】因为＝＝＝＝＝4cos2α－1＝2(2cos2α－1)＋1＝2cos2α＋1＝所以cos2α＝又α是第四象限角所以sin2α＝－tan2α＝－点睛：三角函数求值常用方法：异名三角函数化为同

解析：－3 4

【解析】

因为3sin sin αα＝()2sin sin ααα+ ＝22sin cos cos sin sin ααααα

+ ＝()22221sin cos cos sin sin αααα

α+-

＝24sin cos sin sin αααα

- ＝4cos 2α－1＝2(2cos 2α－1)＋1＝2cos 2α＋1

＝135，所以cos 2α＝45

. 又α是第四象限角，所以sin 2α＝－

35，tan 2α＝－34. 点睛：三角函数求值常用方法：异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化．

14．【解析】设则所以所以曲线在点处的切线方程为即点睛:求曲线的切线方程是导数的重要应用之一用导数求切线方程的关键在于求出斜率其求法为：设是曲线上的一点则以为切点的切线方程是若曲线在点处的切线平行于轴（即 解析：1y x =+

【解析】

设()y f x =，则21()2f x x x '=-

，所以(1)211f '=-=， 所以曲线21y x x

=+在点(1,2)处的切线方程为21(1)y x -=⨯-，即1y x =+． 点睛:求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出斜率，其求法为：设00(,)P x y 是曲线()y f x =上的一点，则以P 为切点的切线方程是000()()y y f x x x '-=-．若曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．

15．【解析】试题分析：由复数的运算可知是纯虚数则其实部必为零即所以考点：复数的运算

解析：2-

【解析】

试题分析：由复数的运算可知

，()()12i a i -+是纯虚

数，则其实部必为零，即

，所以. 考点：复数的运算. 16．【解析】试题分析：因为和关于轴对称所以那么（或）所以【考点】同角三角函数诱导公式两角差的余弦公式【名师点睛】本题考查了角的对称关系以

及诱导公式常用的一些对称关系包含：若与的终边关于轴对称则若与的终边 解析：79

- 【解析】

试题分析：因为α和β关于y 轴对称，所以2,k k Z αβππ+=+∈，那么

1sin sin 3βα==，cos cos αβ=-=（或cos cos βα=-=）， 所以()2227cos cos cos sin sin cos sin 2sin 19

αβαβαβααα-=+=-+=-=-. 【考点】同角三角函数，诱导公式，两角差的余弦公式

【名师点睛】本题考查了角的对称关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含：若α与β的终边关于y 轴对称，则2,k k Z αβππ+=+∈ ，若α与β的终边关于x 轴对称，则2,k k Z αβπ+=∈，若α与β的终边关于原点对称，则2,k k Z αβππ-=+∈. 17．1【解析】【详解】化简三角函数的解析式可得由可得当时函数取得最大值1

解析：1

【解析】

【详解】

化简三角函数的解析式，

可得()22311cos cos 44

f x x x x x =--=-++=

2(cos 12

x --+， 由[0,]2x π∈，可得cos [0,1]x ∈，

当cos x =时，函数()f x 取得最大值1． 18．8【解析】分析：先判断是否成立若成立再计算若不成立结束循环输出结果详解：由伪代码可得因为所以结束循环输出点睛：本题考查伪代码考查考生的读图能力难度较小

解析：8

【解析】

分析：先判断6I <是否成立，若成立，再计算I S ，若不成立，结束循环，输出结果.详解：由伪代码可得3,2;5,4;7,8I S I S I S ======，因为76>，所以结束循环，输出8.S =

点睛：本题考查伪代码，考查考生的读图能力，难度较小.

19．11【解析】因为样本数据x1x2⋅⋅⋅xn 的均值x=5所以样本数据2x1+12x2+1⋅⋅⋅

2xn+1的均值为2x+1=2×5+1=11所以答案应填：11考点：均值的性质 解析：

【解析】 因为样本数据，，的均值，所以样本数据，，的均值为，所以答案应填：． 考点：均值的性质．

20．2【解析】【分析】过点C 作CD ⊥AB 于D 可得Rt △ACD 中利用三角函数的定义算出再由向量数量积的公式加以计算可得的值【详解】过点C 作CD ⊥AB 于D 则D 为AB 的中点Rt △ACD 中可得cosA==2故答

解析：2

【解析】

【分析】

过点C 作CD⊥AB 于D ，可得1AD AB 12==，Rt△ACD 中利用三角函数的定义算出1cos A AC = ，再由向量数量积的公式加以计算，可得AB AC ⋅的值． 【详解】

过点C 作CD ⊥AB 于D ，则D 为AB 的中点．

Rt △ACD 中，1AD AB 12

==， 可得cosA=11,cosA AD AB AC AB AC AB AC AB AC AC AC

=∴⋅=⋅=⋅⋅==2． 故答案为2

【点睛】

本题已知圆的弦长，求向量的数量积．着重考查了圆的性质、直角三角形中三角函数的定义与向量的数量积公式等知识，属于基础题．

三、解答题

21．（1）

；（2）.

【解析】

【分析】

【详解】

试题分析：（1）在方程=2cos ρθ两边同乘以极径ρ可得2=2cos ρρθ，再根据

222=,cos x y x ρρθ+=，代入整理即得曲线C 的直角坐标方程；（2）把直线的参数方程代入圆的直角坐标方程整理，根据韦达定理即可得到MA MB ⋅的值.

试题解析：（1）=2cos ρθ等价于2=2cos ρρθ①

将222

=,cos x y x ρρθ+=代入①既得曲线C 的直角坐标方程为 2220x y x +-=，②

（2

）将5212x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩

代入②得2180t ++=， 设这个方程的两个实根分别为12,,t t

则由参数t 的几何意义既知，1218MA MB t t ⋅==.

考点：圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化及直线参数方程的应用.

22．（Ⅰ）见解析（Ⅱ）

35． 【解析】

【分析】

（Ⅰ）所抽取的40人中，该天行走20008000~步的人数：男12人，女14人，由此能求出400位参与“微信运动”的微信好友中，每天行走20008000~步的人数．

（Ⅱ）该天抽取的步数在800010000~的人数：男6人，女3人，共9人，再按男女比例分层抽取6人，则其中男4人，女2人，由此能求出其中至少有一位女性微信好友被采访的概率．

【详解】

（Ⅰ）由题意，所抽取的40人中，该天行走20008000~步的人数：男12人，女14人， 所以400位参与“微信运动”的微信好友中，每天行走20008000~步的人数约为20026040

⨯=人； （Ⅱ）该天抽取的步数在800010000~的人数中，根据频率分布直方图可知，男生人数所占的频率为0.1520.3⨯=，所以男生的人数为为200.36⨯=人，根据柱状图可得，女生人数为3人，再按男女比例分层抽取6人，则其中男4人，女2人．再从这6位微信好友

中随机抽取2人进行采访，基本事件总数2615n C ==种，

至少1个女性的对立事件是选取中的两人都是男性， ∴其中至少有一位女性微信好友被采访的概率：2426315

C P C =-=． 【点睛】

本题主要考查了频率分布直方图的应用，以及古典概型及其概率的求解，以及分层抽样等知识的综合应用，其中解答中认真审题，正确理解题意，合理运算求解是解答此类问题的

关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．

23．（110y --=，22(1)(1)2x y -+-=；（2）1.

【解析】

【分析】

（1）利用代入法消去参数方程中的参数可求直线l 的普通方程，极坐标方程展开后，两边同乘以ρ，利用222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+== ，即可得曲线C 的直角坐标方程；（2）直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，利用韦达定理、直线参数方程的几何意义即可得结果.

【详解】

（1）将直线l 的参数方程消去参数t 并化简，得

直线l 10y --=.

将曲线C 的极坐标方程化为2ρθθ⎫=⎪⎪⎝⎭

. 即22sin 2cos ρρθρθ=+.∴x 2+y 2=2y+2x. 故曲线C 的直角坐标方程为()()2

2112x y -+-=.

（2）将直线l 的参数方程代入()()22112x y -+-=中，得 22

112222t ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

.

化简，得(2130t t -++=.

∵Δ>0，∴此方程的两根为直线l 与曲线C 的交点A ，B 对应的参数t 1，t 2.

由根与系数的关系，得121t t +=，123t t =，即t 1，t 2同正.

由直线方程参数的几何意义知,

12121PA PB t t t t +=+=+=.

【点睛】

本题主要考查参数方程和普通方程的转化、极坐标方程和直角坐标方程的转化以及直线参数方程的应用，属于中档题. 消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法；极坐标方程化为直角坐标方程，只要将cos ρθ和sin ρθ换成x 和y 即可.

24．（Ⅰ）B=

4

π1 【解析】

【分析】

【详解】

(1)∵a=bcosC+csinB

∴由正弦定理知sinA=sinBcosC+sinCsinB ①

在三角形ABC 中，A=－(B+C)

∴sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC ②

由①和②得sinBsinC=cosBsinC

而C ∈(0，)，∴sinC≠0，∴sinB=cosB

又B(0，)，∴B=

(2) S △ABC 12=ac sin B 24=ac ， 由已知及余弦定理得：4＝a 2+c 2﹣2ac cos 4π≥2ac ﹣2ac 22⨯， 整理得：ac 422

≤-，当且仅当a ＝c 时，等号成立， 则△ABC 面积的最大值为12412222

22⨯⨯=⨯⨯-（22+）2=+1． 25．(1)因为时，所以；

(2)由(1)知该商品每日的销售量

，所以商场每日销售该商品所获得的利润：222()(3)[10(6)]210(3)(6),363

f x x x x x x x =-+-=+--<<-； /2()10[(6)2(3)(6)]30(4)(6)f x x x x x x =-+-----，令/()0f x =得4x =函数在(3,4)上递增，在(4,6)上递减，

所以当

时函数取得最大值 答：当销售价格时,商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大值为42. 【解析】

(1)利用销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．把x=5,y=11代入

,解关于a 的方程即可求a..

(2)在（1）的基础上，列出利润关于x 的函数关系式，

利润=销售量⨯（销售单价－成品单价），然后利用导数求其最值即可.