华中科技大学2004年《数学分析》试题解答

解 由（），得

．

2．

证明 将、在点（）用Taylor公式展开并相减，则得

（），由于，因此得

．

此不等式可以改进为：（），因为时，上式．

3． 证明

4． 

证明  （反证法），假设不是在上的最大值。由于，存在，当时，。

考察闭区域，显然，由已知在上连续，从而在上取得最大值，设为。显然在上，总有，因而必有：。当时，，因此

是在上的最大值。由假设，。

这与已知矛盾，可知假设不真。

5．设处处有．证明：曲线位于任一切线之上方，且与切线有唯一公共点．

证明 设为曲线上任一点，在该点处曲线的切线方程为

对曲线上任意点，按Taylor公式展开，得

由知，当时， ，而为唯一公共点．得证．

6．求，是取反时针方向的单位圆周．

解的参数方程： 

7．

证明，当

因此，（）是严格单调减函数。

8．设级数收敛，证明．

证明  由收敛知，在上一致收敛，从而左连续，即．对，有，

于是．

9．设在上连续，其零点为，．证明：积分收敛级数收敛．

证明  ，若收敛，则

，即收敛。

若不收敛，同理可知不收敛。

10．设，在上连续，（），当时，在上一致收敛于．证明：至少存在一点，使得．

证明 由在上一致收敛于，得知在上连续，且数列收敛于，即，由于，得，至少存在一点

，使得．

注 或用反证法：若对，有，由的连续性得，与上面相同证法，推出矛盾．