2021年湖南省湘西土家族苗族自治州中考数学真题-(1)

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，请将每个小题所给四个选项中唯一正确选项的代号填涂在答题卡相应的位置上）

1．2021的相反数是（　　）

A．1202 B．﹣2021 C． D．﹣

2．计算﹣1+3的结果是（　　）

A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4

3．据悉，在2021年湘西州“三独”比赛中，某校11名参赛同学的成绩各不相同，按照成绩，取前5名进入决赛．如果小红知道了自己的比赛成绩，要判断自己能否进入决赛，小红还需知道这11名同学成绩的（　　）

A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差

4．下列计算结果正确的是（　　）

A．（a3）2＝a5 B．（﹣bc）4÷（﹣bc）2＝﹣b2c2    

C．a÷b•＝ D．1+＝

5．工厂某零件如图所示，以下哪个图形是它的俯视图（　　）

A． B．    

C． D．

6．如图，在菱形ABCD中，E是AC的中点，EF∥CD，交AD于点F，如果EF＝5.5，那么菱形ABCD的周长是（　　）

A．11 B．22 C．33 D．44

7．如图，在△ECD中，∠C＝90°，AB⊥EC于点B，AB＝1.2，EB＝1.6，BC＝12.4，则CD的长是（　　）

A．14 B．12.4 C．10.5 D．9.3

8．如图，面积为18的正方形ABCD内接于⊙O，则的长度为（　　）

A．9π B．π C．3π D．π

9．如图所示，小英同学根据学习函数的经验，自主尝试在平面直角坐标系中画出了一个解析式为y＝的函数图象．根据这个函数的图象，下列说法正确的是（　　）

A．图象与x轴没有交点    

B．当x＞0时，y＞0    

C．图象与y轴的交点是（0，﹣）    

D．y随x的增大而减小

10．已知点M（x，y）在第一象限，且x+y＝12，点A（10，0）在x轴上，当△OMA为直角三角形时，点M的坐标为（　　）

A．（10，2），（8，4）或（6，6） B．（8，4），（9，3）或（5，7）    

C．（8，4），（9，3）或（10，2） D．（10，2），（9，3）或（7，5）

二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分，请将正确答案填写在答题卡相应的横线上）

11．（﹣）2＝　              　．

12．北京时间2021年2月10日19时52分，中国首次火星探测任务“天问一号”探测器实施近火捕获制动，顺利进入近火点，高度约400000m，成为我国第一颗人造火星卫星．其中，400000用科学记数法可以表示为 　 　．

13．因式分解：a2﹣2a＝　       　．

14．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 　 　．

15．实数m，n是一元二次方程x2﹣3x+2＝0的两个根，则多项式mn﹣m﹣n的值为 　 　．

16．若式子+1的值为零，则y＝　 　．

17．如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为AB、CD，若CD∥BE，∠1＝20°，则∠2的度数是 　 　．

18．古希腊数学家把1，3，6，10，15，21，…这样的数叫做三角形数，因为它的规律性可以用如图表示．根据图形，若把第一个图形表示的三角形数记为a1＝1，第二个图形表示的三角形数记为a2＝3，…，则第n个图形表示的三角形数an＝　 　.（用含n的式子表达）

三、解答题（本大题共8小题，共78分，每个题目都要求在答题卡的相应位置写出计算、解答或证明的主要步骤）

19．计算：（﹣2）0﹣﹣|﹣5|+4sin45°．

20．解不等式组：，并在数轴上表示它的解集．

21．如图，在△ABC中，点D在AB边上，CB＝CD，将边CA绕点C旋转到CE的位置，使得∠ECA＝∠DCB，连接DE与AC交于点F，且∠B＝70°，∠A＝10°．

（1）求证：AB＝ED；

（2）求∠AFE的度数．

22．光明中学筹划举行朗诵、合唱等一系列校园主题庆祝活动（活动代号如下表），要求每位学生自主选择参加其中一个活动项目．为此，学校从全体学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查．根据统计的数据，绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）．

（1）该校此次调查共抽取了 　 　名学生；

（2）请补全条形统计图（画图后标注相应的数据）；

（3）若该校共有2000名学生，请根据此次调查结果，估计该校有多少名学生参加舞蹈活动．

23．有诗云：东山雨霁画屏开，风卷松声入耳来．一座楼阁镇四方，团结一心建家乡．1987年为庆祝湘西自治州成立三十周年，湘西州在花果山公园内修建了一座三层楼高的“一心阁”民族团结楼阁．芙蓉学校数学实践活动小组为测量“一心阁”CH的高度，在楼前的平地上A处，观测到楼顶C处的仰角为30°，在平地上B处观测到楼顶C处的仰角为45°，并测得A、B两处相距20m，求“一心阁”CH的高度．（结果保留小数点后一位，参考数据：≈1.41，＝1.73）

24．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D．

（1）求证：AC平分∠DAB；

（2）若AD＝8，tan∠CAB＝，求：边AC及AB的长．

25．2020年以来，新冠肺炎的蔓延促使世界各国在线教育用户规模不断增大．网络教师小李抓住时机，开始组建团队，制作面向A、B两个不同需求学生群体的微课视频．已知制作3个A类微课和5个B类微课需要4600元成本，制作5个A类微课和10个B类微课需要8500元成本．又把做好的微课出售给某视频播放网站，每个A类微课售价1500元，每个B类微课售价1000元．该团队每天可以制作1个A类微课或者1.5个B类微课，且团队每月制作的B类微课数不少于A类微课数的2倍（注：每月制作的A、B两类微课的个数均为整数）．假设团队每月有22天制作微课，其中制作A类微课a天，制作A、B两类微课的月利润为w元．

（1）求团队制作一个A类微课和一个B类微课的成本分别是多少元？

（2）求w与a之间的函数关系式，并写出a的取值范围；

（3）每月制作A类微课多少个时，该团队月利润w最大，最大利润是多少元？

26．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+4经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）连接BC，求直线BC的解析式；

（3）请在抛物线的对称轴上找一点P，使AP+PC的值最小，求点P的坐标，并求出此时AP+PC的最小值；

（4）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使得以A、C、M、N四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

一、选择题（每小题4分，10个小题共40分.）

1．2021的相反数是（　　）

A．2021 B．﹣2021 C． D．

2．下列运算正确的是（　　）

A．+＝ B．a3•a2＝α6    

C．（a3）2＝a6 D．a2﹣b2＝（a﹣b）2

3．将一副直角三角板按如图所示的方式放置，使用30°角的三角板的直角边和含45°角的三角板的直角边垂直，则∠1的度数为（　　）

A．45° B．60° C．70° D．75°

4．一个不透明的袋子中装有2个白球和3个黑球，这些球除了颜色外无其他差别，从中摸出3个球，下列事件属于必然事件的是（　　）

A．至少有1个球是白色球 B．至少有1个球是黑色球    

C．至少有2个球是白球 D．至少有2个球是黑色球

5．由4个棱长均为1的小正方形组成如图所示的几何体，这个几何体的表面积为（　　）

A．18 B．15 C．12 D．6

6．若关于x的一元二次方程x2﹣ax+6＝0的一个根是2，则a的值为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

7．如图，抛物线L1：y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴只有一个公共点A（1，0），与y轴交于点B（0，2），虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移两个单位长度得抛物线L2，则图中两个阴影部分的面积和为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

8．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，若以AC为直径的⊙O交AB于点D，则CD的长为（　　）

A． B． C． D．5

9．已知直线y＝﹣x+1与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P是第一象限内的点，若△PAB为等腰直角三角形，则点P的坐标为（　　）

A．（1，1）    

B．（1，1）或（1，2）    

C．（1，1）或（1，2）或（2，1）    

D．（0，0）或（1，1）或（1，2）或（2，1）

10．如图，在边长为2的正方形ABCD中，若将AB绕点A逆时针旋转60°，使点B落在点B′的位置，连接BB′，过点D作DE⊥BB′，交BB′的延长线于点E，则B′E的长为（　　）

A． B． C． D．

二、填空题（每个小题3分，10个小题共30分）

11．目前我国建成世界上规模最大的社会保障体系，截止2020年12月底，基本医疗保险覆盖超过13亿人，覆盖94.6%以上的人口．在这里，1300000000用科学记数法表示为 　        　．

12．分解因式：4ax2﹣4ay2＝　             　．

13．黔东南州某校金今年春季开展体操活动，小聪收集、整理了成绩突出的甲、乙两队队员（各50名）的身高得到：平均身高（单位：cm）分别为：＝160，＝162．方差分别为：S2甲＝1.5，S2乙＝2.8．现要从甲、乙两队中选出身高比较整齐的一个队参加上一级的体操比赛，根据上述数据，应该选择 　   　．（填写“甲队”或“乙队”）

14．如图，BD是菱形ABCD的一条对角线，点E在BC的延长线上，若∠ADB＝32°，则∠DCE的度数为 　   　度．

15．已知在平面直角坐标系中，△AOB的顶点分别为点A（2，1）、点B（2，0）、点O（0，0），若以原点O为位似中心，相似比为2，将△AOB放大，则点A的对应点的坐标为 　              　．

16．不等式组的解集是 　                　．

17．小明很喜欢专研问题，一次数学杨老师拿来一个残缺的圆形瓦片（如图所示）让小明求瓦片所在圆的半径，小明连接瓦片弧线两端AB，量的弧AB的中心C到AB的距离CD＝1.6cm，AB＝6.4cm，很快求得圆形瓦片所在圆的半径为 　 　cm．

18．如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为20πcm，侧面积为240πcm2，则这个扇形的圆心角的度数是 　    　度．

19如图，若反比例函数y＝的图象经过等边三角形POQ的顶点P，则△POQ的边长为 　　．

20如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数图象经过点（1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1、x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论：①abc＞0；②2a+b＜0；③4a﹣2b+c＞0；④当x＝m（1＜m＜2）时，am2+bm＜2﹣c；⑤b＞1，其中正确的有 　　．（填写正确的序号）

三、解答题（6个小题，共80分）

21（1）计算：2cos30°﹣2﹣1﹣；

（2）先化简：，然后x从0、1、2三个数中选一个你认为合适的数代入求值．

22某校开展了知识竞赛，竞赛得分为整数，王老师为了解竞赛情况，随机抽取了部分参赛学生的得分并进行整理，绘制成不完整的统计图表．

（1）上表中的m＝　　，n＝　　，p＝　　．

（2）这次抽样调查的成绩的中位数落在哪个组？请补全频数分布直方图．

（3）已知该校有1000名学生参赛，请估计竞赛成绩在90分以上的学生有多少人？

（4）现要从E组随机抽取两名学生参加上级部门组织的党史知识竞赛，E组中的小丽和小洁是一对好朋友，请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到小丽和小洁的概率．

23如图，PA是以AC为直径的⊙O的切线，切点为A，过点A作AB⊥OP，交⊙O于点B．

（1）求证：PB是⊙O的切线；

（2）若AB＝6，cos∠PAB＝，求PO的长．

24黔东南州某销售公司准备购进A、B两种商品，已知购进3件A商品和2件B商品，需要1100元；购进5件A商品和3件B商品，需要1750元．

（1）求A、B两种商品的进货单价分别是多少元？

（2）若该公司购进A商品200件，B商品300件，准备把这些商品全部运往甲、乙两地销售．已知每件A商品运往甲、乙两地的运费分别为20元和25元；每件B商品运往甲、乙两地的运费分别为15元和24元．若运往甲地的商品共240件，运往乙地的商品共260件．

①设运往甲地的A商品为x（件），投资总运费为y（元），请写出y与x的函数关系式；

②怎样调运A、B两种商品可使投资总费用最少？最少费用是多少元？（投资总费用＝购进商品的费用+运费）

25在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD．

【探究发现】

（1）如图①，若∠BAD＝120°，∠ABC＝∠ADC＝90°．求证：AD+AB＝AC；

【拓展迁移】

（2）如图②，若∠BAD＝120°，∠ABC+∠ADC＝180°．

①猜想AB、AD、AC三条线段的数量关系，并说明理由；

②若AC＝10，求四边形ABCD的面积．

26如图，抛物线y＝ax2﹣2x+c（a≠0）与x轴交于A、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），抛物线的顶点为D．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P在抛物线的对称轴上，点Q在x轴上，若以点P、Q、B、C为顶点，BC为边的四边形为平行四边形，请直接写出点P、Q的坐标；

（3）已知点M是x轴上的动点，过点M作x的垂线交抛物线于点G，是否存在这样的点M，使得以点A、M、G为顶点的三角形与△BCD相似，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．