湖北省孝感市汉川市2021-2022学年九年级上学期期中数学试题

九年级数学试卷

一、精心选一选，相信自己的判断!（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，不涂、错涂或涂的代号超过一个，一律得0分）

1．下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ）

A．    B．    C．    D．

2．方程化为一般形式且二次项系数为正整数系数后，常数项是（    ）

A．5    B．4    C．-81    D．81

3．如图，将绕点逆时针旋转60°后得到，若，，则的度数为（    ）

A．25°    B．35°    C．45°    D．55°

4．关于二次函数的最大值或最小值，下列说法正确的是（    ）

A．有最大值4    B．有最小值4    C．有最大值6    D．有最小值6

5．用配方法解方程时，原方程变形正确的是（    ）

A．    B．    C．    D．

6．由二次函数可知，其中结论正确的是（    ）

A．其图象的对称轴为直线    B．其图象的开口向下

C．当时，y随x的增大而增大    D．其顶点坐标为

7．在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为3m，那么它的下部应设计为多高?设它的下部设计高度为x m，根据题意，列方程正确的是（    ）

A．    B．    C．    D．

8．如图，正方形ABCD的边长为2，点P和点Q分别从点B和点C出发，沿射线BC向右运动，且速度相同，过点Q作，垂足为H，连接PH，设点P运动的距离为，的面积为S，则能反映S与x之间的函数关系的图象大致为（    ）

A．B．    C    D．

二、细心填一填，试试自己的身手!（本大题共8小题，每小题3分，共24分．请将结果直接填写在答题卡相应位置上）

9．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则c的值是______．

10．点A和点B关于原点成中心对称，已知点A的坐标是，则点B的坐标是______．

11．已知一元二次方程的两根分别为，，则的值为______．

12．已知点、在二次函数的图象上，若，则，的大小关系为______．（用“<”连接）．

13．如图，已知点P是等边内一点，，，．将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到AQ，连接PQ，CQ．则的面积为______．

14．某种型号的微机，原售价7200元/台，经连续两次降价后，现售价为3528元/台，则平均每次降价的百分率为______．

15．如图，在中，已知，，，将绕原点旋转90°，则旋转后点的对应点的坐标是______．

16．已知二次函数（a、b、c为常数，且）图象的对称轴为直线，其图象如图所示．则下列结论：

①；②；③；④若为任意实数，则有；⑤当图象经过点时，方程的两根为，，则．其中错误的结论有______．（只填序号）

三、用心做一做（本大题共8小题，满分72分．请认真读题，冷静思考．解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把解题过程写在答题卡相应题号的位置）．

17．（本题满分6分=3分×2）

解下列方程：

（1）    （2）

18．（本题满分8分=4分+4分）

已知抛物线．

（1）求抛物线的顶点坐标；

（2）求抛物线与x轴的交点坐标，并写出x为何值时，函数值大于0？

19．（本题满分8分=3分+5分）

如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，已知的三个顶点，，．

（1）将以点C为旋转中心旋转180°，得到，请画出；

（2）平移，使点A的对应点坐标为，请画出平移后对应的；若绕某一点旋转可得到，请直接写出旋转中心的坐标．

20．（本题满分8分=4分+4分）

关于x的一元二次方程的实数根是和．

（1）求k的取值范围：

（2）如果且为整数，求k的值．

21．（本题满分9分=5分+4分）

下图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……，第n行有n个点……．

请你根据上述材料解答下列问题：

（1）若三角点阵中前n行的点数和是300，求n的值；

（2）这个三角点阵中前n行的点数之和能是600吗?如果能，求出n；如果不能，试用一元二次方程的知识说明理由．

22．（本题满分10分=6分+4分）

某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数解析式为．

（1）求雕塑高OA和落水点C，D之间的距离；

（2）若需要在OD上的点E处竖立雕塑EF，，，，请通过计算说明顶部F是否会碰到水柱?

23．（本题满分10分=4分+4分+2分）

在等腰直角三角形ABC中，，点E、F分别为AB，AC的中点，H为线段EF上一动点（不与点E，F重合），将线段AH绕点A逆时针方向旋转90°得到AG，连接GC，HB．

（1）如图1，求证：；

（2）如图2，连接GF，HG，HG交AF于点Q．

①点H在运动的过程中，求证：；

②若，当为等腰三角形时，EH的长为______．

24．（本题满分13分=3分+5分+5分）

如图，若抛物线（a、b、c为常数，且）与直线l交于点，，与x轴另一交点为．

（1）则抛物线的解析式为______；

（2）若将直线AC绕点A逆时针旋转90°交抛物线于点P．

①求点P的坐标，此时的值为______；

②若M是抛物线上一动点，过点M作x轴的垂线，垂足为N，连接BM，是否存在点M使？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

2021－2022学年度上学期期中质量测评

九年级数学参

一、选择题：

9．4   10．（－3，4) 11．－2   12．

13．6   14．30%   15．或   16．⑤

三、解答题：

17．解：（1）

（x＋2）（x＋8）＝0，x＋2＝0或x＋8＝0，解得：，

（2）

，，，

18．解：（1）

∴抛物线的顶点坐标为：（1，4）．

（2）令，解得，

∴抛物线与x轴的交点坐标为（－1，0），（3，0）

∴当时，函数值大于0． 

19．解：（1）如图，为所作； 

（2）如图，为所作； 旋转中心的坐标为（0，－1）．

20．解：（1）∵方程有实数根和，∴，解得．故k的取值范围是． 

（2）根据一元二次方程根与系数的关系，得，， ∵，

∴，解得． 又由（1）知，∴．∵k为整数，∴k的值为－1和0．

21．解：（1）∵三角点阵中前n行的点数和是300，∴1＋2＋3＋…＋n＝300，

则，得，解得（不合题意，舍去），

答：当n＝24时，三角点阵中前n行的点数和是300． 

（2）三角点阵中前n行的点数和不能是600．理由如下： 

若1＋2＋3＋…＋n＝600，则，得， ，

∴此方程无正整数解，所以三角点阵中前n行的点数和不能是600．

22．解：（1）由题意得，A点在图象上，当x＝0时，

∴ 由题意得，D点在图象上，令y＝0，得 

解得：，（不合题意，舍去）∴OD＝11，CD＝22（m）

（2）∵OE＝10m，当x＝10时，，∴不会碰到水柱． 

23．解：（1）证明：由旋转得：，， ∵，∴，∴，∵， ∴； 

（2）①证明：在等腰直角三角形ABC中，，∴， ∵点E，F分别为AB，AC的中点，∴EF是的中位线，∴，，，∴，，， ∵，，∴，∴，∴； ②或2． 

24．解：（1）

（2）①作点C关于x轴的对称点，则，作直线与抛物线交与点P，则点P为所求，

设直线的解析式为，

由题意得：，解得：，

∴直线的解析式为，

将直线和抛物线的解析式联立得：，解得（舍去）或，

∴点P的坐标为（4，5）； ∴此时

②存在点M使． 设点，∵，∴，∴，

解得或，（舍去）

当时，，∴，当，，∴，∴存在符合条件的点M，M的坐标为，．

注意：1．按照评分标准分步评分，不得随意变更给分点；

2．第17题至第24题的其它解法，只要思路清晰，解法正确，都应按步骤给予相应分数．