2019-2020人教版数学八年级上册期末压轴题培优:全等三角形(含答案)

1．某中学八年级（5）班的学生到野外进行数学活动，为了测量一池塘两端A、B之间的距离，同学们设计了如下两种方案：

方案1：如图（1），先在平地上取一个可以直接到达A、B的点C，连接AC并延长AC至点D，连接BC并延长至点E，使DC＝AC，EC＝BC，最后量出DE的距离就是AB的长．

方案2：如图（2），过点B作AB的垂线BF，在BF上取C、D两点，使BC＝CD，接着过D作BD的垂线DE，交AC的延长线于E，则测出DE的长即为AB间的距离

问：（1）方案1是否可行？并说明理由；

（2）方案2是否可行？并说明理由；

（3）小明说：“在方案2中，并不一定需要BF⊥AB，DE⊥BF，将“BF⊥AB，DE⊥BF”换成条件　AB∥DE　也可以．”你认为小明的说法正确吗？如果正确的话，请你把小明所说的条件补上．

解：（1）在△ABC和△DEC中，

，

∴△ABC≌△DEC（SAS），

∴AB＝DE；

（2）∵BF⊥AB，DE⊥BF，

∴∠B＝∠BDE，

在△ABC和△DEC中，

，

∴△ABC≌△DEC（ASA），

∴AB＝DE；

（3）只需AB∥DE即可，

∵AB∥DE，

∴∠B＝∠BDE，

在△ABC和△DEC中，

，

∴△ABC≌△DEC（ASA），

∴AB＝DE，

故答案为：AB∥DE．

2．小明用大小相同高度为2cm的10块小长方体垒了两堵与地面垂直的木墙AD，BE，当他将一个等腰直角三角板ABC如图垂直放入时，直角顶点C正好在水平线DE上，锐角顶点A和B分别与木墙的顶端重合，求两堵木墙之间的距离．

解：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，

∴∠ADC＝∠CEB＝90°，

∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，

∴∠BCE＝∠DAC，

在△ADC和△CEB中，

，

∴△ADC≌△CEB（AAS）；

由题意得：AD＝EC＝6cm，DC＝BE＝14cm，

∴DE＝DC+CE＝20（cm），

答：两堵木墙之间的距离为20cm．

3．某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师带领下不用涉水过河就测得的宽度，他们是这样做的：

①在河流的一条岸边B点，选对岸正对的一棵树A：

②沿河岸直走20m有一树C．继续前行20m到达D处；

③从D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走；④测得DE的长为5米．

（1）河的宽度是　5　米．

（2）请你说明他们做法的正确性．

证明：（1）由题意知，DE＝AB＝5米，即河的宽度是5米．

故答案是：5．

（2）如图，由题意知，在Rt△ABC和Rt△EDC中，

∴Rt△ABC≌Rt△EDC（ASA）

∴AB＝ED．

即他们的做法是正确的．

4．小明想知道一堵墙上点A的高度（AO⊥OD），但又没有直接测量的工具，于是设计了下面的方案，请你先补全方案，再说明理由．

第一步：找一根长度大于OA的直杆，使直杆靠在墙上，且顶端与点A重合，记下直杆与地面的夹角∠ABO；

第二步：使直杆顶端竖直缓慢下滑，直到∠　OCD　＝∠　ABO　．标记此时直杆的底端点D；

第三步：测量　OD　的长度，即为点A的高度．

说明理由：

解：OCD，ABO，OD；

理由：在△AOB与△DOC中，，

∴△AOB≌△DOC（AAS），

∴OA＝OD．

故答案为：OCD，ABO，OD．

5．如图，点C、E分别在直线AB、DF上，小华想知道∠ACE和∠DEC是否互补，但是他没有带量角器，只带了一副三角板，于是他想了这样一个办法：首先连结CF，再找出CF的中点O，然后连结EO并延长EO和直线AB相交于点B，经过测量，他发现EO＝BO，因此他得出结论：∠ACE和∠DEC互补，而且他还发现BC＝EF．小华的想法对吗？为什么？

解：∵O是CF的中点，

∴CO＝FO（中点的定义）

在△COB和△FOE中

，

∴△COB≌△FOE（SAS）

∴BC＝EF（对应边相等）

∠BCO＝∠F（对应角相等）

∴AB∥DF（内错角相等，两直线平行）

∴∠ACE和∠DEC互补（两直线平行，同旁内角互补），

6．如图，操场上有两根旗杆间相距12m，小强同学从B点沿BA走向A，一定时间后他到达M点，此时他测得CM和DM的夹角为90°，且CM＝DM，已知旗杆AC的高为3m，小强同学行走的速度为0.5m/s，则：

（1）请你求出另一旗杆BD的高度；

（2）小强从M点到达A点还需要多长时间？

解：（1）∵CM和DM的夹角为90°，

∴∠1+∠2＝90°，

∵∠DBA＝90°，

∴∠2+∠D＝90°，

∴∠1＝∠D，

在△CAM和△MBD中，，

∴△CAM≌△MBD（AAS），

∴AM＝DB，AC＝MB，

∵AC＝3m，

∴MB＝3m，

∵AB＝12m，

∴AM＝9m，

∴DB＝9m；

（2）9÷0.5＝18（s）．

答：小强从M点到达A点还需要18秒．

7．某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的：

①在河流的一条岸边B点，选对岸正对的一棵树A；

②沿河岸直走20m有一树C，继续前行20m到达D处；

③从D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走；

④测得DE的长为5米．

求：（1）河的宽度是多少米？

（2）请你证明他们做法的正确性．

（1）解：河的宽度是5m；

（2）证明：由作法知，BC＝DC，∠ABC＝∠EDC＝90°，

在Rt△ABC和Rt△EDC中，

，

∴Rt△ABC≌Rt△EDC（ASA），

∴AB＝ED，

即他们的做法是正确的．

8．某中学七年级同学到野外开展数学综合实践活动，在营地看到一池塘，同学们想知道池塘两端的距离．有一位同学设计了如下测量方案，设计方案：先在平地上取一个可直接到达A，B的点E（AB为池塘的两端），连接AE，BE，并分别延长AE至D，BE至C，使ED＝AE，EC＝BE．测出CD的长作为AB之间的距离．他的方案可行吗？请说明理由．若测得CD为10米，则池塘两端的距离是多少？

解：在△AEB和△DEC中

∴△AEB≌△DEC（SAS）；

∴AB＝CD＝10米（全等三角形的对应边相等）．

答；池塘两端的距离是10米．

9．如图，一条河流MN旁边有两个村庄A，B，AD⊥MN于D．由于有山峰阻挡，村庄B到河边MN的距离不能直接测量，河边恰好有一个地点C能到达A，B两个村庄，与A，B的连接夹角为90°，且与A，B的距离也相等，测量C，D的距离为150m，请求出村庄B到河边的距离．

解：如图，过点B作BE⊥MN于点E，

∵∠ADC＝∠ACB＝90°，

∴∠A＝∠BCE（同角的余角相等）．

在△ADC与△CEB中，

．

∴△ADC≌△CEB（AAS）．

∴BE＝CD＝150m．即村庄B到河边的距离是150米．

10．如图，小明站在乙楼BE前方的点C处，恰好看到甲、乙两楼楼顶上的点A和E重合为一点，若B、C相距30米，C、D相距60米，乙楼高BE为20米，小明身高忽略不计，则甲楼的高AD是多少米？

解：∵AD⊥DC，EB⊥BC，

∴AD∥BE，

∴∠AEF＝∠C，

∵B、C相距30米，C、D相距60米，

∴EF＝DB＝BC＝30米，

∵∠AFE＝∠EBC＝90°，

∴△AEF≌△ECB（ASA），

∴AF＝BE，

∵DF＝BE，

∴AD＝2BE＝2×20＝40（米）．

答：甲楼的高AD是40米．

11．茗茗用同种材料制成的金属框架如图所示，已知∠B＝∠E，AB＝DE，BF＝EC，其中△ABC的周长为24cm，CF＝3cm，则制成整个金属框架所需材料的长度为多少？

解：∵BF＝EC，

∴BF+FC＝CE+FC，

即BC＝EF，

∵在△ABC和△DEF中，

∴△ABC≌△DEF（SAS），

∴AC＝DF，

∵△ABC的周长为24cm，CF＝3cm，

∴制成整个金属框架所需这种材料的长度为24×2﹣3＝45cm．

12．如图，某地在山区修建高速公路时需挖通一条隧道，为估计这条隧道的长度需测出这座山A、B间的距离，结合所学知识或方法，设计测量方案你能给出什么好的方法吗？

解：选择一合适的地点O，连接AO、BO，测出AO和BO的长度，延长AO、BO至A′、B′，使OA′＝OA，OB′＝OB，连接A′B′，这样就构成两个三角形，

在△AOB和△A′OB′中，

，

∴△AOB≌△A′OB′（SAS），

∴AB＝A′B′．

13．生活中处处有数学．

（1）如图（1）所示，一扇窗户打开后，用窗钩AB将其固定，这里所运用的数学原理是　三角形具有稳定性　；

（2）如图（2）所示，在新修的小区中，有一条“Z”字形绿色长廊ABCD，其中AB∥CD，在AB，BC，CD三段绿色长廊上各修一小凉亭E，M，F，且BE＝CF，点M是BC的中点，在凉亭M与F之间有一池塘，不能直接到达，要想知道M与F之间的距离，只需要测出线段ME的长度，这样做合适吗？请说明理由．

解：（1）如图1所示，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是：三角形的稳定性．

故答案为：三角形具有稳定性；

（2）合适，理由如下：

∵AB∥CD，

∴∠B＝∠C，

∵点M是BC的中点，

∴MB＝MC，

在△MEB与△MCF中

，

∴△MEB≌△MFC（SAS），

∴ME＝MF，

∴想知道M与F之间的距离，只需要测出线段ME的长度．

14．如图所示的A、B是两根呈南北方向排列的电线杆，A、B之间有一条小河，小刚想估测这两根电线杆之间的距离，于是小刚从A点开始向正西方向走了20步到达一棵大树C处，接着又向前走了20步到达D处，然后他左转90°直行，当他看到电线杆B、大树C和他自己现在所处的位置E恰在同一条直线上时，他从D位置走到E处恰好走了100步，利用上述数据，小刚测出了A、B两根电线杆之间的距离．

（1）请你根据上述的测量方法在原图上画出示意图；

（2）如果小刚一步大约60厘米，请你求A、B两根电线杆之间的距离．

解：（1）根据题意画出图形，如图所示．

（2）由题可知∠BAC＝∠EDC＝90°，60cm＝0.6m，

AC＝20×0.6＝12m，DC＝20×0.6＝12m，DE＝100×0.6＝60m，

∵点E、C、B在一条直线上，

∴∠DCE＝∠ACB．

∵∠BAC＝∠EDC＝90°，AC＝DC，∠DCE＝∠ACB，

∴△ABC≌△DEC，

∴AB＝DE．

∵DE＝60m，

∴AB＝60m，

答：A、B两根电线杆之间的距离大约为60m．

15．（1）如图1：在四边形ABC中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF＝60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系并证明． （提示：延长CD到G，使得DG＝BE）

（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；

（3）如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西20°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东60°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进.1小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．（可利用（2）的结论）

解：（1）EF＝BE+DF；

证明：

如图1，延长FD到G，使DG＝BE，连接AG，

在△ABE和△ADG中，

，

∴△ABE≌△ADG（SAS），

∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，

∵∠EAF＝∠BAD，

∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，

∴∠EAF＝∠GAF，

在△AEF和△GAF中，

，

∴△AEF≌△GAF（SAS），

∴EF＝FG，

∵FG＝DG+DF＝BE+DF，

∴EF＝BE+DF；

（2）EF＝BE+DF仍然成立．

证明：如图2，延长FD到G，使DG＝BE，连接AG，

∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADG＝180°，

∴∠B＝∠ADG，

在△ABE和△ADG中，

，

∴△ABE≌△ADG（SAS），

∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，

∵∠EAF＝∠BAD，

∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，

∴∠EAF＝∠GAF，

在△AEF和△GAF中，

，

∴△AEF≌△GAF（SAS），

∴EF＝FG，

∵FG＝DG+DF＝BE+DF，

∴EF＝BE+DF；

（3）如图3，连接EF，延长AE、BF相交于点C，

∵∠AOB＝20°+90°+（90°﹣60°）＝140°，

∠EOF＝70°，

∴∠EOF＝∠AOB，

又∵OA＝OB，

∠OAC+∠OBC＝（90°﹣20°）+（60°+50°）＝180°，

∴符合探索延伸中的条件，

∴结论EF＝AE+BF成立，

即EF＝1×（60+80）＝140（海里）．

答：此时两舰艇之间的距离是140海里．