北极航线模型_2000年全国大学生数学建模竞赛C题参赛论文改进

　作者简介:何波,(1978—

),男,四川隆昌人,阿坝师专数学系98级学生。北极航线模型

———2000年全国大学生数学建模竞赛C 题参赛论文改进

何波　龙兵　龚奇

(阿坝师专数学系98级学生,四川汶川　623000)

【摘　要】本文讨论了北京和底特律之间的两条飞行航线所用时间。对于球形状的假设,建立了两个优化模型。模型一假设地球为球体,利用大圆弧的极小性质,对局部最小航线和全局最小航线进行了模拟;模型二似设球为旋转椭球体,我们根据模型的特点给出了一个较为合理的近似算法。两个模型的结果相当接近,新航线比原航线至少要节约3194小时。结合实际情况,我们适当地解释了“北京和底特律的飞行时间可节约4小时”的估计。

【关键词】数学建模　椭球体　曲面距离　测地线　近似测地线

中图分类号:Q14114　文献标识码:A 　文章编号:1008—414(2001)01—101-06

Models of the Arctic Air -line

He Bo 　Long Bing 　G ong Qi

Abstoact :The paper is mainly concerned with the time it takes to fly along the two .Beijing -to -Detroit Air -line.Based on the ball -shaped hypothesis ,it presents two optimal models.Model/presents that the earth is a spheroid ,and it makes Stimulations of the partial mininum air -line and the whole mininum air -line b yviotue of the feature of the smallness of an arc ‘s limit value ;whereas model 2su pposes the earth to be a s pinning ellipsoid ,and it gives a reasonable approximate calculation.The resucts of these two models are quite near.It would take at least 3.94hours less to fly along the new air -line than to fly along the original air -line .Considered the practical situation .it is estimated that 4hour can be saved when it comes to the flight between .Beijing and Detroit.

K ey Words :mathematical modelling ,ellipsoid ,camber distance

　　一、问题的重述

航线的选取是影响飞行时间的重要因素,北京至底特律的民航航线原来途经太平洋上空,且需中途降落加油。现在准备在北极上空开辟新航线,以节省飞行时间。如何解释新航线比原航线飞行时间的节约情况。　　二、模型的假设

Ⅰ、飞行航线不考虑地形、天气、航线冲突等外界因素的影响;

2001年第1期No.1　2001　　　　　　　阿坝师范高等专科学校学报JOURNAL OF ABA TEACHERS COLL EGE 　　　　　　　

2001年5月

May 　　2001

　　三、符号及常量说明

v:飞行的平均速度　　　　　　　　　　h:飞行的平均高度

r0:球体半径R0:r0+h

r1:椭球体赤道半径R1:r1+h

r2:椭球体午线半径R2:r2+h

(Φ0i,γ0i):地理坐标(Φ2,γ2):转化后坐标

p(Φi,γi):椭球体上点的坐标μ,u:p(Φ,γ)的测地离心度

ΔT

:原航线中a i-1、a i间飞行时间T:新航线飞行时间

i

t:飞机起降额外时间β:新航线飞行时间

a:切割椭圆的长半轴b:切割椭圆的短半轴

D(a i,a j):a i、a j间球面最短距离

d(a i,a j):在球面上a i、a j间所有可能距离之一

L(p1,p2):椭球面上两点p1,p2的近似最短距离

I(a i,a j):椭球面上两点a i,a j间所有可能距离之一

　　四、问题的分析

飞行时间分为两部分:

一是以平均980千米/小时的正常速度飞行所用的时间;二是起降时由于变速所需的额外时间。两种对地球形状的假设下,航线均在离地面高度为h的球面或椭球面上,即对于球体:　　　　　　　R0=r0+h,

对于椭球体:

　　赤道半径:R1=r1+h,

　　子午线短半轴:R2=R2+h,

为了方便描述,我们对地理坐标作如下处理:

纬度:

　　Φi=　Φoi,　　　　　在北半球;

　　-(Φoi)其它,

经度:

　　λj=λ0i,在东半球;

360-λoi,其它。

假设北京、底特律所在点分别为a0,a11,在Internet的网站上查找到地理坐标分别为(北纬39192度,东经116133度),(北纬4212度,西经83108度)。原航线飞经的地区,纬度跨较小,照点的分布情况,我们应认为:飞行过程中经过地区的经度递增(或递减),也就是若从北京飞往底特律,中途顺次经过a1,a2,……,a10。

五、模型的建立及求解

航线从a0→a n+1,途径a1,a i,……,a n点。设原航线中a i-1、a i间飞行时间为Δt i,i=1,2,

……,n 0a o →a n +1两地新航线飞行时间为Τd +t 0,则节约时间为Σ1i =1Δi +Τ0,新航线用时为Τa +t o ,则节约时间为Σh i =1ΔT i -

t d .

根据分析,建立如下基本模型:

max ,　Σh i =1ΔΤi -Τ0s.t.T d >0,

ΔT i >0,i =1,2,……,n +1.

我们引入如下理论:

引理1①:曲面上局部范围内,测地线是两点间的最短线。由此,显然推出:

定理1:曲面上顺次经过点序列的路程,以这些点作为拐点的逐段测地线之和最短。

定理1②:曲面上一条曲线为测地线的充要条件是这条曲线上每点的主法线向量与曲面在这点的法线平行。

(一)模型一:假设地球为球体。

设球面上a i ,a j ,两点间所有可能距离为d (a i ,a j )。针对具体情况,我们建立模型一如下:

max ,　Σh k =1

ΔΤi -Τ0s.t.

T d =d (a 0,a n +1)>0,

ΔT I =d (a i -1,a i )>0,i =1,2,……,n +1.

在此情况下,易由引理得局部测地线为较短的大圆弧。对于计算我们使用引理3③:两点

的大圆弧α满足:

cos α=sin Φ1・sin Φ2+cos Φ1cos Φ2cos (λ1-λ2).

据此可知,地球面最短距即本模型最优解为:

D (a i ,a j )=R 0・cos -1[sin Φ1・sin Φ2+cos Φ2cos (λ1-λ2)].

模型一的算法如下:

Step1:顺次输入点的坐标;Step2:计算球面距离;

Step3:计算并输出原航线逐段球面距离之和、共用时间;Step4:计算并输出新航线的球面距离、所用时间;Step5:计算并输出节约路程、时间。(二)模型二:假设地球为椭球体。

如果我们能得出椭球面上任意两点间的测地线公式,那么就能求出最短距离,但要用到较多和微分几何知识,这超出了我们的知识范围,因此较可行的办法是设计一个近似算法。下文中椭球面距离均指在近似算法下的意义。

设球面上两点间所有可能距离为I (a i ,a j )。针对具体情况,我们建立如下模型:

max.　

Σh i =1Δi -Τd 3

01第1期　　　　　　　　　　　　　何波　龙兵　龚奇:北极航线模型　　　　　　　　　　　　　

s.t.

T d=l(a0,a n+1)>0,

ΔT

=l(a i-1,a i)>0,i=1,2,……,n+1.

I

按经纬度的定义,我们以旋转椭球中心为原点,北极点为Z同方向,地理坐标(0,0)为X 轴方向,地理坐标(0,90)为Y轴方向,建立空间直角坐标系,则ρ(Φ,λ)的空间坐标为:　　　x=R1・cosΦ・cosλ,

y=R1・cosΦ・sinλ,

z=R2・sinΦ.

下面,根据引理2来讨论旋转椭球体表面的测地线,设椭球面上两点p1(Φ1,λ1),p2(Φ2,λ

)间的测地线方程为F(p1,p2)。我们得到如下结果:

2

定理2:旋转椭球面上两点p1(Φ1,λ1),p2(Φ2,λ2)间测地线F(p1,p2)为平面曲线,当且仅当λ

=λ2,或Φ1=Φ2=0

1

证:因为旋转椭球由一生成椭圆绕轴旋转半周而成,首先考虑点的纬度特性,将z=0平面投影到X′轴上,如图对于p点,凡过p的测地线与Z轴有一交点,设为(0,z0)。

由引理可知,两条直线

法线:

X′/-R1・cosΦ=(z-z0)/(z0-R2sinΦ)

切面投影线:

X′cosΦ/R1+z sinΦ/R2=0

正交。

故z0=(R2-R21/R2)sinΦ。回到椭球面上:

(1)Φ1≠Φ2时,z1≠z2,仅当λ1=λ2时z01,z0i,p1p2在同一平面上;

(2)当Φ1=Φ2时,z1=z2,仅可能为一条纬线的一部分,而纬线的切线与Z轴平行,仅当Φ1 =Φ2=0时,p1p2间诸点才与椭球相切。

综上所述,当且仅当λ1=λ2或Φ1=Φ2=0时,p1,p2间测地线为平面曲线。

我们难以处理一般空间曲线的求长,考虑用一条平面曲线去近似替代旋转椭球表面的测地线。这条平面曲线当两点经度相同或同处在赤道上时就是严格的测定地线,我们称它为近似测地线。

在定理2的证明中,我们看到不同纬度的点主法线与Z轴的交点不同,所以平面化的一个较可行的办法是选择个合理的Z轴与平面的交点。

定义:对于旋转椭球表面上一点p(λ,Φ),其主法线和Z轴的交点到原点的距离与北极点到原点的距离的比值U=(1-R12/R22)sinΦ,称为p点的测地离心度。

p1、p2间近似测地线的离心度我们选择μ1,μ2的平均,以替代整条测地线的离心度。即

μ=(1-R2

/R22)(sinΦ1+Φ2)/2,

1

这样就把任意的测定地线平面化了,接着,我们来处理这条平面曲线。

其所在平面过p1、p2、(0,0,μR2)三点,方程为

AR2x+BR2y+CR1z-CμR1R2=0,

其中

A =cos Φ1sin λ1(sin Φ2-μ)-μs Φ2sin λ2(sin

Φ1-μ),B =cos Φ2sin λ2(sin Φ1-μ)-cos Φ2sin λ1(sin Φ2-μ),C =cos Φ1cos Φ2sin (λ2-λ1).

它与Z =平面的夹角满足:

cos α=R 1|C|/(A 2R 22+B 2R 22+C 2R 2

1)由近似测地线所在椭圆方程:

AR 2x +BR 2y +CR 1z -C

μR 1R 2=0,x 2/R 21+y 2/R 12+z 2/R 2

2=0

可知该椭圆的两条轴的长度分别为:

a =R (1-μ2)R 21+R 22ctg 2

α

R 21+R 22ctg 2

α

=R 1R 2

R 12tg 2α+R 22(1-μ2)(R 21tg 2α+R 22

)cos

α我们在该椭圆平面上建立新坐标系OX ″Y ″,以近似测定地线椭圆的中心为原点,两条半轴

的方向分别为x ″,y ″方向。这样便于求解夹角。该原点在空间坐标系中坐标满足

z d =μR 21R 2/(R 21+R 22ctg 2

α

)x d =-Az d /(A 2+B 2tg α)

y d =Bz d /(

A 2+

B 2tg α)

OX ″在原坐标下方向为{B ,-A ,0},　_OP i

(i =1,2)为{x i -d ,y i -y d ,z i -z d

},故　_OX ″与　

_OP i 的夹角满足:

cos βi

=B (x i -d )-A (y i -y d )

A 2+

B 2(x i -d )2+(y i -y d )2+(z i -z d )2

那么旋转椭球体上两点p 1,p 2间近似曲面距离满足:

L (p 1,p 2)=

∫β2β1

α2

sin 2

t +b 2

cos 2

t

dt

该公式计算椭圆积分,客观上的使其不能化简为初等函数,因此也不能直接用计算机

实现。我们根据参数方程黎曼和的实质,将积分区间均争为足够多的小区间,此时,小区间上的椭圆弧可近似认为是圆孤。这些圆弧均以椭圆中心为圆心,分别以小区间端点到椭圆中心的躏离的平均值为半径,夹角即原椭圆板夹角,然后累加这些圆弧的长度,近似计算出这个积分式。我们称此方法为椭圆积分的圆弧逼近法。

模型二的算法如下:

Step1:顺次输入点的坐标;

Step2:同圆弧逼近法计算椭球面距离;

Step3:计算并输出原航线逐段球面距离之和、共用时间;Step4:计算并输出新航线的球面距离、所用时间;Step5:计算并输出节约路程、时间。

5

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六、模型的检验及误差分析

1、计算结果:

　　将题目所给数据和在Internet上查得的北京、底特律的坐标数据输入程序1和程序2,其结果如下:

原航线长度原航线时间新航线长度新航线时间节约时间

(km)(h)(km)(h)(h)

模型11453413214183106711731013194

模型2145061601418010638194101863195

两个模型的计算结果相当接近,“节约时间”的偏差不到一分钟,这说明我们的模型是十分有效的。

2、误差分析及解释:

模型二折衷了整条测地线的要求,用Z轴上一点与椭球面两点所在平面与椭球相交的椭圆弧线近似替代测地线,存在误差,但由于假设的地球表面为扁型旋转椭球面,且长短半轴的比值很接近1,所以带来的误差是能够接受的。我们用圆周率的近似值以及模型二中的椭圆积分的原函数是非初等函数,采用了近似计算,与真实值有微小误差。算结果是根据理想航线得出的,而实际中的航线会因为地形、航线冲突而作安排,且数据只给出途径的某些离散点的地理坐标,在无从得知航线实现细节的情况下,我们计算的长度和时间会比实际值要低一些,新航线的设计同样也存在这样一来的情况。此外,我们应该认为两条航线真实值与计算结果的比值大致相等。所以,新航线比原航线节约的飞行时间稍大于3195小时。这和加拿大空中交通管制局的估计“北京和底特律的飞行时间可节约4小时”相当吻合。

此外,若计算上中途加油的停留时间和起降额外时间,实际节约时间显然不止4小时。

　　七、模型的评价及推广

在模型的求解中,模型一有充分的理论依据,所得结果是在此假设下最优的。模型二的角答因为我们的微分几何知识不够,只能求出较优解。如果在类似问题中所讨论旋转椭球长短轴太悬殊,那么这个近似算法误差较大。该近似算法的计算中存在变量替换,是否能得到较简单的公式或者更好的近似算法,仍是有待我们继续探讨的问题。

本模型容易推广到其它近似与求面的曲面表面路径的最优化问题,如航海航线的计算等。

参考文献:

　　[1]苏步青等,微分几何,人民教育出版社会,北京,1980,P140,P155;

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　　[5]柳承茂,MA TLAB5.X入门与应用,科学出版社会,北京,1999;

　　[6]谢云,张志让等,数学实验,科学出版社,北京,1999。