初二(初升高)尖子生拔高训练——因式分解方法(1)

一、知识梳理

1.分解因式

（1）把一个多项式化成几个整式的__________,这种变形叫做把这个多项式分解因式。

（2）因式分解与整式乘法是互逆关系。

注意：因式分解与整式乘法的区别和联系:

整式乘法是把几个整式相乘,化为一个多项式；

因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘。

2.提公共因式法

（1）如果一个多项式的各项含有________,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式。这种分解因式的方法叫做提公因式法。如: ab＋ac＝a（b＋c）

（2）概念内涵:

①因式分解的最后结果应当是“积”；

②公因式可能是单项式,也可能是多项式；

③提公因式法的理论依据是乘法对加法的分配律,即: ma＋mb－mc＝m（a＋b－c）

3.运用公式法

（1）如果把乘法公式反过来,就可以用来把某些多项式分解因式。这种分解因式的方法叫做运用公式法。

（2）主要公式：

平方差公式：____________________ 

完全平方公式: ____________________

(3)易错点：

因式分解要分解到底。如就没有分解彻底。

4.因式分解的思路与解题步骤:

(1)先看各项有没有公因式,若有,则先______________；

(2)再看能否使用公式法；

(3)用分组分解法,即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的；

(4)因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积,否则不是因式分解；

(5)因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内______________.

参：

1. (1) 积的形式

2.(1) 公因式

3.(2) ,

4.(1) 提取公因式(5) 不能再分解为止

二、典例讲解

1.因式分解的定义

【例1】（2014安徽省中考）下面的多项式中，能因式分解的是(    )

A.m2+n            B.m2-m+1            C.m2-n            D.m2-2m+1

【解析】在进行因式分解时，首先是提公因式，然后考虑用公式，（两项考虑用平方差公式，三项用完全平方公式，当然符合公式才可以.）如果项数较多，要分组分解，分解到每个因式不能再分为止。因此，根据多项式特点和公式的结构特征，对各选项分析判断后利用排除法求解。

【答案】D

练习1.（2014四川凉山一中月考）下列多项式能分解因式的是【    】

A．      B．    C．       D． 

【答案】C

练习2.（2014贵州黔南三中周测）下列多项式中，不能用公式法分解因式的是【    】

A．         B．        C．        D．

【答案】D

2.利用提取公因式的方法分解因式

【例2】多项式m(n－2)－m2(2－n)分解因式等于（   ）

A．(n－2)(m＋m2)            B．(n－2)(m－m2)

C．m(n－2)(m＋1)                D．m(n－2)(m－1)

【解析】相反的项要变形，然后找到各项的公共部分，提出即可。

【答案】C

练习3. （     ）

【答案】a2+2a+6

练习4. 

【答案】（1-a）

练习5．3ab2＋a2b＝_______.

【答案】ab(3b+a)

3.公式法分解因式

【例3】（2014江苏无锡实验中学期中）分解因式（x﹣1）2﹣2（x﹣1）+1的结果是（   ）

     A．    （x﹣1）（x﹣2）        B．    x2        C．    （x+1）2        D．    （x﹣2）2

【解析】把x﹣1看做一个整体，观察发现符合完全平方公式，直接利用完全平方公式进行分解即可：

（x﹣1）2﹣2（x﹣1）+1=（x﹣1﹣1）2=（x﹣2）2。

【答案】D

练习6. （2014湖北恩施一中期中）a4b﹣6a3b+9a2b分解因式得正确结果为（   ）

A．a2b（a2﹣6a+9）      B．a2b（a﹣3）（a+3）      

C．b（a2﹣3）2             D．a2b（a﹣3）2

【答案】D

练习7.  下列分解因式正确的是（   ）

A．3x2－6x＝x(3x－6)                      B．－a2＋b2＝(b＋a)(b－a)

C．4x2－y2＝(4x＋y)(4x－y)                 D．4x2－2xy＋y2＝(2x－y)2

【答案】B

练习8.（2014内蒙古呼和浩特中考）下列各因式分解正确的是（   ）

A．﹣x2+（﹣2）2=（x﹣2）（x+2）        B．x2+2x﹣1=（x﹣1）2        

C．4x2﹣4x+1=（2x﹣1）2                D．x2﹣4x=x（x+2）（x﹣2）

【答案】C

4.两两分组分解因式

【例4】

【解析】这个式子有四项考虑分组的方法分解因式，找有公因式的项分一组，所以一三分一组，二四分一组，再提取公因式就可以了。

【答案】原式=（7x2+xy）-（3y+21x）

=x（7x+y）-3（7x+y）

=（x-3）（7x+y）

练习9．对2m+mp+np+2n运用分组分解法分解因式，分组正确的是（）

A. (2m+2n +np)+mp       B. (2m+np) +(2n+mp)

C.(2m+2n)+（mp+np）    D. (2m+2n +mp)+np

【答案】C

练习10．分解因式：

【答案】（5x2-1）（x-3）

练习11.多项式x2－ax－bx＋ab可分解因式为（   ）

A.－(x＋a)(x＋b)         B.(x－a)(x＋b)

C.(x－a)(x－b)           D.(x＋a)(x＋b)

【答案】C

5.一三分组分解因式 

【例5】

【解析】这是一个四项式，考虑分组分解因式，这个式子有两个平方项，所以考虑一三分组进行因式分解。

【答案】原式=1-（x2-4xy+4y2）=1-（x-2y）2=（1-x+2y）（1+x-2y）

练习12．把9－x2＋12xy－36y2分解因式为（   ）

A.(x－6y＋3)(x－6x－3)          B.－(x－6y＋3)(x－6y－3)

C.－(x－6y＋3)(x＋6y－3)        D.－(x－6y＋3)(x－6y＋3)

【答案】C

练习13. 因式分解：9x2－y2－4y－4＝__________. 

【答案】(3x+y+2)（3x-y-2）

6.因式分解的综合题

【例6】已知a＋b=0，求a3－2b3＋a2b－2ab2的值

【解析】先把原式进行因式分解，式子有四项考虑分解因式，再把a＋b=0代入即可求出结果。

【答案】原式= a3－2b3＋a2b－2ab2

= （a3＋a2b）－（2b3+2ab2）

=a2（a+b）-2b2（a+b）

=（a+b）（a2-2b2）

把a＋b=0代入，原式=0

练习14. 已知a.b.c为△ABC的三条边的长,当时，试判断△ABC属于哪一类三角形；

【答案】等腰三角形

练习15. （a+b）2-4（a+b-1）

 【答案】（a+b-2）2

练习16.已知a=k＋3，b=2k＋2，c=3k－1，求a2＋b2＋c2＋2ab－2bc－2ac的值

【答案】36

1.       ．

【答案】m(n+3)2

2. xy﹣x=        ．

【答案】x（y﹣1）

3. （2014海南省中考）=        .

【答案】 (x+1)(x-1)

4. （2014陕西省中考）        ．

【答案】xy(x-y)2

5. 2x2﹣10x=       ．

【答案】2x（x﹣5）

6. 2x2﹣10x=     ．

【答案】2x（x﹣5）

7. x2－36=         

【答案】（x＋6）（x－6）。

8. a2﹣9=    ．

【答案】（a+3）（a﹣3）。

9. 2x2－8＝    ．

【答案】2(x＋2)(x－2)。

10. x2﹣9=      ．

【答案】（x+3）（x﹣3）。

11. （2014江苏淮安中考）        。

【答案】 (a+1)2

12.分解因式：ax2－ay2 =        .

【答案】a（x＋y）（x－y）。

13.分解因式：=      ．

【答案】 (a-3)2

14.分解因式:＝        .

【答案】 (a+2b)(a-2b)

15.分解因式        .

【答案】 (x-y)(x+z)

 16．已知y2+my+16是完全平方式，则m的值是（  ）

    A．8            B．4            C．±8            D．±4

【答案】C

17．下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（  ）

A．x2-6x-9        B．a2-16a+32        C．x2-2xy+4y2        D．4a2-4a+1

【答案】D

18．已知9x2-6xy+k是完全平方式，则k的值是________．

【答案】y2

19．9a2+（________）+25b2=（3a-5b）2

【答案】-30ab  

20．把下列各式分解因式：

①a2+10a+25                    ②m2-12mn+36n2  

 【答案】①（a+5）2；②（m-6n）2

21．已知x=-19，y=12，求代数式4x2+12xy+9y2的值．

 【答案】 4  

22．你知道数学中的整体思想吗？解题中，若把注意力和着眼点放在问题的整体上，多方位思考.联想.探究，进行整体思考.整体变形，从不同的方面确定解题策略，能使问题迅速获解．

    你能用整体的思想方法把下列式子分解因式吗？

（x+2y）2-2（x+2y）+1                   

【答案】（x+2y-1）2； 

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1．下列各式属于正确分解因式的是（  ）

    A．1+4x2=（1+2x）2            B．6a-9-a2=-（a-3）2

C．1+4m-4m2=（1-2m）2        D．x2+xy+y2=（x+y）2

【答案】B

2．把x4-2x2y2+y4分解因式，结果是（  ）

A．（x-y）4        B．（x2-y2）4        C．[（x+y）（x-y）]2         D．（x+y）2（x-y）2

【答案】D

3．-4x2+4xy+（_______）=-（_______）．

【答案】-y2；2x-y  

4．已知a2+14a+49=25，则a的值是_________．

【答案】-2或-12  

5.分解因式：2x2－4x＋2=       

【答案】2（x－1）2

6.分解因式：=        ．

【答案】x (x+y)

7.分解因式：3a2b+6ab2=    ．

【答案】3ab（a+2b）。

8.分解因式：8a2﹣2=        ．

【答案】2（2a+1）（2a﹣1）。

9.分解因式：x3﹣x=    ．

【答案】x（x+1）（x﹣1）

10.分解因式：a2﹣2a=      ．

【答案】a（a﹣2）

11.因式分解：m2﹣mn=       ．

【答案】m（m﹣n）

12.分解因式：x2﹣5x =        ．

【答案】x（x﹣5）

13.因式分解：x3﹣x=      ．

【答案】x（x+1）（x﹣1）

14.分解因式：3m2﹣6mn+3n2=      ．

【答案】3（m﹣n）2

15.已知P=3xy﹣8x+1，Q=x﹣2xy﹣2，当x≠0时，3P﹣2Q=7恒成立，则y的值为      ．

【答案】2

16.分解因式：3a2﹣12=    ．

【答案】3（a+2）（a﹣2）。

17.分解因式：          

【答案】ab(b+2)(b-2)

18.（2014四川广元一中期末）分解因式：=      

【答案】3m(m-3n)2

19.因式分解：=        

【答案】 (x+3)(x-3)

20.分解因式：x3-6x2+9x=        

【答案】x(x-3)2

21.(1)xy3-2x2y2+x3y                (2)（x2+4y2）2-16x2y2

【答案】(1)xy（x-y）2；(2)（x+2y）2（x-2y）2  

22．已知│x-y+1│与x2+8x+16互为相反数，求x2+2xy+y2的值．

 【答案】49