《微积分》复习题参

关于10级《微积分》（经管类）第二学期期末统考的通知

通知要点

★考试的重点内容与要求★考试的形式与试卷结构★题型示例与答案

一、考试的重点内容与要求

考试的范围是《微积分》（第三版·赵树嫄主编）第六、七、八、九章，以下按各章顺序分四个部分明确考试的重点与要求：

1、定积分及其应用

理解定积分的定义（含两点补充规定：当时，；当时，）。理解定积分的几何意义与定积分的基本性质。掌握变上限的定积分及其导数的定理求函数的导数。掌握牛顿—莱布尼茨公式。掌握定积分的第一、二类换元法及分部积分法。会用定积分求平面图形的面积与旋转体的体积。会求无限区间上的广义积分。 

2、无穷级数

理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解级数的基本性质（含级数收敛的必要条件）。熟悉几何级数（即等比级数）（叫公比）、调和级数与级数的敛散性，掌握正项级数的比较判别法及比值判别法。了解交错级数的莱布尼茨判别法，了解任意项级数的绝对收敛与条件收敛概念，以及绝对收敛与收敛的关系。 

了解幂级数及其收敛域、和函数等概念，掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法，了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质，会利用函数、、等的麦克劳林展开式将一些简单的函数展开成的幂级数。

注意到无穷级数的内容不易掌握，因此复习时应有多次反复。还应注意知识间的联系，例如常数项级数与幂级数之间，前者是后者的基础，后者是前者的发展，两者的一些公式与方法是相通的。

3、多元函数微积分

（1）了解空间解析几何的一些有关知识，如空间直角坐标系、曲面方程概念，平面、球面、圆柱

面、旋转抛物面、马鞍面等的方程及其图形等。

（2）了解多元函数的概念，二元函数的定义域、几何意义及极限与连续概念。掌握二元函数的偏导数、全微分的求法，会求简单函数的二阶偏导数。会求复合函数和隐函数的一阶偏导数，如设，而，求偏导数；设，而，求全导数；由方程确定，求；由方程确定，求等等。

（3）理解二元函数极值与条件极值的概念，会求二元函数的极值，了解求条件极值的拉格朗日乘数法，会求解一些比较简单的最大值与最小值的应用问题。

复习这部分内容要与上学期的求导公式与求导法则联系起来，特别是复合函数的求导法则要十分熟练，经验表明，学好这部分内容“基础是一阶、矛盾是高阶、关键是动手”。

（4）二重积分

理解二重积分的概念、熟悉二重积分的性质，掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）。

4、微分方程

了解微分方程、阶、解、通解、初始条件和特解等概念。掌握可分离变量方程、一阶线性方程、齐次方程的解法。会用降阶法求解二阶方程：。

最后我们指出，上述四个部分的内容是本次统考的基本内容，考生应结合课本的例题与教师布置的习题抓好落实；同时也要注意各部分知识间的联系与运用，促进自身数学素质的提高。

二、考试的形式与试卷结构

1、考试形式为闭卷、笔试，满分100分，考试时间为120分钟。

2、试卷内容比例：定积分及其应用约30%，无穷级数约23%，多元函数微积分约30%，微分方程约17%。

3、试卷题型比例：填空题15%，单项选择题15%，计算题49%，解答题21%。

三、题型示例与答案

第一部分：题型示例

（一）填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。把答案写在横线上。）

1、定积分_____________.

解：原式=== =

2、设是连续函数，且，则______________.

解：两边同时求导得

由      

3、设，则______________.

解：由再次微分得

4、幂级数的收敛半径______________.

解：由R=== 

5、设区域，则_____________.

解： 由题意可知  

即== =

               ===

（二）单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

1、设则（ B   ）

A．        B．        

 C．        D． 

解：因为=

所以由题刻知原式=

2、设级数收敛，则下列级数中收敛的是（  D    ）

A．           B．         

C．      D． 

解：乘以一个常数不改变其收敛性

3、下列级数中收敛的是（  A   ）

A．       B．          

C．       D． 

解：根据分母最高次幂减去分子最高次幂可以判断

4、设区域D是单位圆在第一象限的部分，则二重积分（  C    ）

A．                        B． 

C．                           D． 

解：确定则或者则

5、微分方程满足初始条件的特解为是（  A    ）

A．               B．         

 C．             D． 

解：因为所以有   

       则

（三）计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分）

1、计算定积分。

解：原式====

2、计算定积分。

解：令  则

则且

3、求微分方程的通解。

解：由原式可得

两边变形得

得即所以

4、求方程满足初始条件的特解。

解：由题意可知令  

 则==

则    

5、判定级数的敛散性。

解:原式=   ==0 所以原级数收敛

6、用间接方法将函数展开成的幂级数，并指出展式成立的区间。

解：利用由题意可得 

 由

所以   

7、计算二重积分，其中D是由圆周及轴所围成的右半闭区域。

解：由题意可得

所以与y轴所围成的右半闭区域可以表示为

即

  即

因为原式==

==== =

（四）解答题（本大题共3小题，每小题7分，共21分）

1、设由方程确定隐函数，求全微分。

解：令则       

=

2、求表面积为而体积为最大的长方体的体积。

解：设长方体的长宽高分别为x、y、z体积为v则

     令

由，，， 

可得再由

得到   

3．求的值，使两曲线与所围成的平面图形的面积等于。

解：令则

=

注：此试题解答过程全部由陈佳奇同学负责，可能解答过程还不够详细，大家谅解下哈。但希望能够给大家一个参考，最后祝大家考出好成绩。

第二部分：答案

（一）1.        2.          3.       4.      5.    

（二）1.B  2.D  3.A  4.C  5.A

（三）1.  2.   3.  4.   5.  6.收敛  7.  

（四）1.  2. 正方体棱长为，   3.。