湖南省娄底市双峰一中2016-2017学年高一(上)期末数学试卷(解析版).doc...

一、选择题（每小题5分，共12小题）

1．设集合M={x|1＜x＜5}，N={0，2，3，5}，则M∩N=（　　）

A．{x|2＜x＜4}    B．{0，2，3}    C．{2，3}    D．{x|2＜x＜3}

2．函数f（x）=|x|+1的图象是（　　）

A．    B．    C．    D．

3．函数的值域是（　　）

A．[0，+∞）    B．[0，2]    C．[0，2）    D．（0，2）

4．定义在R的奇函数f（x），当x＜0时，f（x）=﹣x2+x，则x＞0时，f（x）等于（　　）

A．x2+x    B．﹣x2+x    C．﹣x2﹣x    D．x2﹣x

5．幂函数f（x）=（m2﹣4m+4）x在（0，+∞）为减函数，则m的值为（　　）

A．1或3    B．1    C．3    D．2

6．函数f（x）=2x+x3﹣2在区间（0，2）内的零点个数是（　　）

A．0    B．1    C．2    D．3

7．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（　　）

A．8    B．    C．    D．16

8．设α为平面，a、b为两条不同的直线，则下列叙述正确的是（　　）

A．若a∥α，b∥α，则a∥b    B．若a⊥α，a∥b，则b⊥α

C．若α∥β，a⊂α，b⊂β则a∥b    D．若a∥α，a⊥b，则b⊥α

9．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线BA1与CC1所成的角为（　　）

A．30°    B．45°    C．60°    D．90°

10．若直线l1：2x+（m+1）y+4=0与直线l2：mx+3y﹣2=0平行，则m的值为（　　）

A．﹣2    B．﹣3    C．2或﹣3    D．﹣2或﹣3

11．A为圆O：x2+y2=1上的点，B为直线l：x+y﹣2=0上的点，则线段AB长度的最小值为（　　）

A．    B．2    C．﹣1    D．1

12．过点（1，2）总可以作两条直线与圆x2+y2+kx+2y+k2﹣15=0相切，则k的取值范围是（　　）

A．k＜﹣3或k＞2    B．k＜﹣3或2＜k＜

C．k＞2或﹣＜k＜﹣3    D．﹣＜k＜﹣3或2＜k＜

二、填空题（每小题5分，共4个小题）

13．直线l：5ax﹣5y﹣a+3=0（a∈R） 的图象必过定点　　．

14．设函数f（x）=，则f（f（﹣2））的值为　　．

15．若直线ax+2y﹣2=0与直线x+（a+1）y+1=0垂直，则a=　　．

16．当直线l：y=k（x﹣1）+2被圆C：（x﹣2）2+（y﹣1）2=5截得的弦最短时，则k=　　．

三、解答题：（第17小题10分，其余各小题12分）

17．计算

（1）（2）﹣9.60﹣（﹣3）+（1.5）﹣2   （2）log225•log32•log59．

18．已知f（x）=ax2﹣bx+2（a≠0）是偶函数，且f（1）=0．

（1）求a，b的值并作出y=f（x）图象；

（2）求函数y=f（x﹣1）在[0，3]上的值域．

19．某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R（x）=，其中x是仪器的月产量．（注：总收益=总成本+利润）

（1）将利润f（x）表示为月产量x的函数；

（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？

20．已知△ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣5=0，AC边上的高BH所在直线方程为x﹣2y﹣5=0．

（1）求AC边所在直线方程；

（2）求顶点C的坐标；

（3）求直线BC的方程．

21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC=45°，AD=AC=1，O为AC中点，PO⊥平面ABCD，PO=2，M为PD中点．

（Ⅰ）证明：PB∥平面ACM；

（Ⅱ）证明：AD⊥平面PAC；

（Ⅲ）求直线AM与平面ABCD所成角的正切值．

22．已知圆M：x2+（y﹣4）2=4，点P是直线l：x﹣2y=0上的一动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B．

（1）当切线PA的长度为时，求点P的坐标；

（2）若△PAM的外接圆为圆N，试问：当P在直线l上运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由．

（3）求线段AB长度的最小值．

2016-2017学年湖南省娄底市双峰一中高一（上）期末数学试卷

参与试题解析

一、选择题（每小题5分，共12小题）

1．设集合M={x|1＜x＜5}，N={0，2，3，5}，则M∩N=（　　）

A．{x|2＜x＜4}    B．{0，2，3}    C．{2，3}    D．{x|2＜x＜3}

【考点】交集及其运算．

【分析】利用交集定义求解．

【解答】解：∵集合M={x|1＜x＜5}，N={0，2，3，5}，

∴M∩N={2，3}．

故选：C．

2．函数f（x）=|x|+1的图象是（　　）

A．    B．    C．    D．

【考点】函数的图象．

【分析】由函数f（x）的解析式可得，当x=0时，函数f（x）取得最小值，结合所给的选项可得结论．

【解答】解：由于函数f（x）=|x|+1，故当x=0时，函数f（x）取得最小值．

结合所给的选项，只有D满足条件，

故选D．

3．函数的值域是（　　）

A．[0，+∞）    B．[0，2]    C．[0，2）    D．（0，2）

【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数的值域．

【分析】由题意先求定义域再求其值域．

【解答】解：∵函数的值域，

∴4﹣2x≥0，∴x≤2

当x=2时，y=0，∵0≤4﹣2x＜4，

∴0≤y＜2，

∴函数的值域为：[0，2），

故选C．

4．定义在R的奇函数f（x），当x＜0时，f（x）=﹣x2+x，则x＞0时，f（x）等于（　　）

A．x2+x    B．﹣x2+x    C．﹣x2﹣x    D．x2﹣x

【考点】函数奇偶性的性质．

【分析】当x＞0时，﹣x＜0，根据函数f（x）是定义在R的奇函数，可得f（x）=﹣f（﹣x），进而得到答案．

【解答】解：当x＞0时，﹣x＜0，

∵定义在R的奇函数f（x），当x＜0时，f（x）=﹣x2+x，

∴此时f（x）=﹣f（﹣x）=﹣[﹣（﹣x）2+（﹣x）]=x2+x，

故选：A

5．幂函数f（x）=（m2﹣4m+4）x在（0，+∞）为减函数，则m的值为（　　）

A．1或3    B．1    C．3    D．2

【考点】幂函数的性质．

【分析】根据幂函数的定义和单调性求m即可．

【解答】解：∵为幂函数

∴m2﹣4m+4=1，

解得m=3或m=1．

由当x∈（0，+∞）时为减函数，

则m2﹣6m+8＜0，

解得2＜m＜4．

∴m=3，

故选：C．

6．函数f（x）=2x+x3﹣2在区间（0，2）内的零点个数是（　　）

A．0    B．1    C．2    D．3

【考点】函数零点的判定定理．

【分析】令f（x）=0，即2x=2﹣x3，令g（x）=2x，h（x）=2﹣x3，画出这两个函数的图象，一目了然，问题得解．

【解答】解：令f（x）=0，

∴2x=2﹣x3，

令g（x）=2x，h（x）=2﹣x3，

如图示：

，

∴函数g（x）和函数h（x）有一个交点，

∴函数f（x）=2x+x3﹣2在区间（0，2）内的零点个数是1个，

故选：B．

7．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（　　）

A．8    B．    C．    D．16

【考点】由三视图求面积、体积．

【分析】几何体是三棱锥，结合直观图判断相关几何量的数据，把数据代入棱锥的体积公式计算．

【解答】解：由三视图知：几何体是三棱锥，如图：

其中SA⊥平面ABC，SA=2，BC=4，AD⊥BC，AD=2，

∴几何体的体积V=××4×2×2=．

故选：C．

8．设α为平面，a、b为两条不同的直线，则下列叙述正确的是（　　）

A．若a∥α，b∥α，则a∥b    B．若a⊥α，a∥b，则b⊥α

C．若α∥β，a⊂α，b⊂β则a∥b    D．若a∥α，a⊥b，则b⊥α

【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．

【分析】在A中，a与b相交、平行或异面；在B中，由线面垂直的判定定理得b⊥α；在C中，a与b平行或异面；在D中，b与α相交、平行或b⊂α．

【解答】解：由α为平面，a、b为两条不同的直线，知：

在A中，若a∥α，b∥α，则a与b相交、平行或异面，故A错误；

在B中，若a⊥α，a∥b，则由线面垂直的判定定理得b⊥α，故B正确；

在C中，若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b平行或异面，故C错误；

在D中，若a∥α，a⊥b，则b与α相交、平行或b⊂α，故D错误．

故选：B．

9．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线BA1与CC1所成的角为（　　）

A．30°    B．45°    C．60°    D．90°

【考点】异面直线及其所成的角．

【分析】将CC1平移到B1B，从而∠A1BB1为直线BA1与CC1所成角，在三角形A1BB1中求出此角即可．

【解答】解：∵CC1∥B1B，

∴∠A1BB1为直线BA1与CC1所成角，

因为是在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，

所以∠A1BB1=45°．

故选B．

10．若直线l1：2x+（m+1）y+4=0与直线l2：mx+3y﹣2=0平行，则m的值为（　　）

A．﹣2    B．﹣3    C．2或﹣3    D．﹣2或﹣3

【考点】两条直线平行的判定．

【分析】根据两直线平行，且直线l2的斜率存在，故它们的斜率相等，解方程求得m的值．

【解答】解：∵直线l1：2x+（m+1）y+4=0与直线l2：mx+3y﹣2=0平行，∴=，

解得m=2或﹣3，

故选 C．

11．A为圆O：x2+y2=1上的点，B为直线l：x+y﹣2=0上的点，则线段AB长度的最小值为（　　）

A．    B．2    C．﹣1    D．1

【考点】直线与圆的位置关系．

【分析】先根据点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，判断出直线和圆的位置关系；再结合草图即分析出何时线段AB有最小值，并求出其值．

【解答】解：因为圆心（0，0）到直线l：x+y﹣2=0上的距离d==＞1，

所以圆和直线相离．

大致图象如图

圆心到直线的最短距离为．

故线段AB的最小值为：d﹣r=﹣1．

故选：C．

12．过点（1，2）总可以作两条直线与圆x2+y2+kx+2y+k2﹣15=0相切，则k的取值范围是（　　）

A．k＜﹣3或k＞2    B．k＜﹣3或2＜k＜

C．k＞2或﹣＜k＜﹣3    D．﹣＜k＜﹣3或2＜k＜

【考点】圆的切线方程．

【分析】把圆的方程化为标准方程后，根据构成圆的条件得到等号右边的式子大于0，列出关于k的不等式，求出不等式的解集，然后由过已知点总可以作圆的两条切线，得到点在圆外，故把点的坐标代入圆的方程中得到一个关系式，让其大于0列出关于k的不等式，求出不等式的解集，综上，求出两解集的并集即为实数k的取值范围．

【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（x+k）2+（y+1）2=16﹣k2，

所以16﹣k2＞0，解得：﹣＜k＜，

又点（1，2）应在已知圆的外部，

把点代入圆方程得：1+4+k+4+k2﹣15＞0，即（k﹣2）（k+3）＞0，

解得：k＞2或k＜﹣3，

则实数k的取值范围是（﹣，﹣3）∪（2， ）．

故选D．

二、填空题（每小题5分，共4个小题）

13．直线l：5ax﹣5y﹣a+3=0（a∈R） 的图象必过定点　（）　．

【考点】恒过定点的直线．

【分析】把已知直线方程变形，可得方程组，求解方程组得答案．

【解答】解：由方程5ax﹣5y﹣a+3=0，得（5x﹣1）a﹣5y+3=0，

由，解得．

∴直线l：5ax﹣5y﹣a+3=0（a∈R） 的图象必过定点（）．

故答案为：（）．

14．设函数f（x）=，则f（f（﹣2））的值为　﹣4　．

【考点】函数的值．

【分析】由已知先求出f（﹣2）=4﹣2=，从而f（f（﹣2））=f（），由此能求出结果．

【解答】解：∵函数f（x）=，

∴f（﹣2）=4﹣2=，

f（f（﹣2））=f（）==﹣4．

故答案为：﹣4．

15．若直线ax+2y﹣2=0与直线x+（a+1）y+1=0垂直，则a=　　．

【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．

【分析】对a分类讨论，利用两条直线相互垂直的充要条件即可得出．

【解答】解：a=﹣1时，两条直线不垂直．

a≠﹣1时，由两条直线垂直可得： =﹣1，解得a=．

故答案为：﹣．

16．当直线l：y=k（x﹣1）+2被圆C：（x﹣2）2+（y﹣1）2=5截得的弦最短时，则k=　1　．

【考点】直线与圆的位置关系．

【分析】先求出圆心到直线l的距离为d，设弦长为L，则（）2+d2=r2，再根据L的解析式，利用基本不等式求得L的最小值．

【解答】解：圆C：（x﹣2）2+（y﹣1）2=5的圆心（2，1），半径为，

设圆心到直线l的距离为d，则 d==，

又设弦长为L，则（）2+d2=r2，即  （）2=5﹣=5﹣（1+）=4﹣≥3．

∴当k=1时，（）2min=3，

∴直线l：y=k（x﹣1）+2被圆C：（x﹣2）2+（y﹣1）2=5截得的弦最短时，则k=1．

故答案为：1．

三、解答题：（第17小题10分，其余各小题12分）

17．计算

（1）（2）﹣9.60﹣（﹣3）+（1.5）﹣2   （2）log225•log32•log59．

【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值．

【分析】（1）根据幂的运算性质计算即可．

（2）根据对数的运算性质计算即可．

【解答】解：（1）原式=（）﹣1﹣（）+（）2=﹣1﹣+=，

（2）原式=2log25×log32•2log53=6

18．已知f（x）=ax2﹣bx+2（a≠0）是偶函数，且f（1）=0．

（1）求a，b的值并作出y=f（x）图象；

（2）求函数y=f（x﹣1）在[0，3]上的值域．

【考点】奇偶性与单调性的综合．

【分析】（1）由偶函数定义知f（﹣x）=f（x）恒成立，由此可求b，由f（1）=0可求a，易化图象；

（2）根据图象平移可得f（x﹣1）的解析式，根据二次函数的性质可求值域；

【解答】解：（1）依题意得：对于任意x∈R，均有f（x）=f（﹣x），

∴ax2﹣bx+2=ax2+bx+2，∴2bx=0恒成立，∴b=0，

由f（1）=0得a﹣b+2=0，∴a=﹣2，

∴a=﹣2，b=0．

则f（x）=﹣2x2+2，

作出函数图象，如图所示：

（2）由（1）得y=f（x﹣1）=﹣2（x﹣1）2+2，抛物线开口向下，对称轴x=1，

则函数y=f（x﹣1）在[0，1]上单调递增，在[1，3]上单调递减，

∵f（0）=0，f（1）=2，f（3）=﹣6，

∴函数y=f（x﹣1）在[0，3]上的值域为[﹣6，2]．

19．某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R（x）=，其中x是仪器的月产量．（注：总收益=总成本+利润）

（1）将利润f（x）表示为月产量x的函数；

（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？

【考点】函数模型的选择与应用．

【分析】（1）根据利润=收益﹣成本，由已知分两段当0≤x≤400时，和当x＞400时，求出利润函数的解析式；

（2）根据分段函数的表达式，分别求出函数的最大值即可得到结论．

【解答】解：（1）由于月产量为x台，则总成本为20000+100x，

从而利润f（x）=；

（2）当0≤x≤400时，f（x）=300x﹣﹣20000=﹣（x﹣300）2+25000，

∴当x=300时，有最大值25000；

当x＞400时，f（x）=60000﹣100x是减函数，

∴f（x）=60000﹣100×400＜25000．

∴当x=300时，有最大值25000，

即当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润是25000元．

20．已知△ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣5=0，AC边上的高BH所在直线方程为x﹣2y﹣5=0．

（1）求AC边所在直线方程；

（2）求顶点C的坐标；

（3）求直线BC的方程．

【考点】直线的一般式方程．

【分析】（1）由AC边上的高BH所在直线方程为x﹣2y﹣5=0可得直线BH的斜率为，根据垂直时斜率乘积为﹣1可得直线AC的斜率为﹣2，且过（5，1）即可得到AC边所在直线方程；

（2）联立直线AC和直线CM，求出解集即可求出交点C的坐标．

（3）设点B的坐标为（x0，y0），且点B与点A关于直线2x﹣y﹣5=0对称，求出B的坐标，利用两点式，得直线BC的方程．

【解答】解：（1）由AC边上的高BH所在直线方程为x﹣2y﹣5=0可知kAC=﹣2，

又A（5，1），AC边所在直线方程为y﹣1=﹣2（x﹣5），

即AC边所在直线方程为2x+y﹣11=0． 

（2）由AC边所在直线方程为2x+y﹣11=0，AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣5=0，

由，解得x=4，y=3，

所以顶点C的坐标为（4，3）．

（3）设点B的坐标为（x0，y0），且点B与点A关于直线2x﹣y﹣5=0对称，

∴2•﹣﹣5=0，

又点B在直线BH上，

∴x0﹣2y0﹣5=0，

∴x0=1，y0=1，

所以，由两点式，得直线BC的方程为6x﹣5y=9=0．

21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC=45°，AD=AC=1，O为AC中点，PO⊥平面ABCD，PO=2，M为PD中点．

（Ⅰ）证明：PB∥平面ACM；

（Ⅱ）证明：AD⊥平面PAC；

（Ⅲ）求直线AM与平面ABCD所成角的正切值．

【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角．

【分析】（I）由O为AC中点，M为PD中点．结合平行四边形的对角线性质，考虑连接BD，MO，则有PB∥MO，从而可证

（II）由∠ADC=45°，且AD=AC=1，易得AD⊥AC，PO⊥AD，根据线面垂直的判定定理可证

（III）取DO中点N，由PO⊥平面ABCD，可得MN⊥平面ABCD，从而可得∠MAN是直线AM与平面ABCD所成的角．在Rt△ANM中求解即可

【解答】解：（I）证明：连接BD，MO

在平行四边形ABCD中，因为O为AC的中点，

所以O为BD的中点，又M为PD的中点，所以PB∥MO

因为PB⊄平面ACM，MO⊂平面ACM

所以PB∥平面ACM

（II）证明：因为∠ADC=45°，且AD=AC=1，所以∠DAC=90°，即AD⊥AC

又PO⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PO⊥AD，AC∩PO=O，AD⊥平面PAC

（III）解：取DO中点N，连接MN，AN

因为M为PD的中点，所以MN∥PO，且MN=PO=1，由PO⊥平面ABCD，得MN⊥平面ABCD

所以∠MAN是直线AM与平面ABCD所成的角．

在Rt△DAO中，，所以，

∴，

在Rt△ANM中， ==

即直线AM与平面ABCD所成的正切值为

22．已知圆M：x2+（y﹣4）2=4，点P是直线l：x﹣2y=0上的一动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B．

（1）当切线PA的长度为时，求点P的坐标；

（2）若△PAM的外接圆为圆N，试问：当P在直线l上运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由．

（3）求线段AB长度的最小值．

【考点】直线与圆的位置关系．

【分析】（1）根据圆M的标准方程即可求出半径r=2和圆心M坐标（0，4），并可设P（2b，b），从而由条件便可求出|MP|=，这样便可求出b的值，即得出点P的坐标；

（2）容易求出圆N的圆心坐标（b，），及半径，从而可得出圆N的标准方程，化简后可得到（2x+y﹣4）b﹣（x2+y2﹣4y）=0，从而可建立关于x，y的方程，解出x，y，便可得出圆N所过的定点坐标；

（3）可写出圆N和圆M的一般方程，联立这两个一般方程即可求出相交弦AB的直线方程，进而求出圆心M到直线AB的距离，从而求出弦长，显然可看出b=时，AB取最小值，并求出该最小值．

【解答】解：（1）由题意知，圆M的半径r=2，M（0，4），设P（2b，b），

∵PA是圆M的一条切线，∴∠MAP=90°，

∴，解得，

∴P（0，0）或．

（2）设P（2b，b），∵∠MAP=90°，∴经过A，P，M三点的圆N以MP为直径，

其方程为，

即（2x+y﹣4）b﹣（x2+y2﹣4y）=0，

由，解得或，

∴圆过定点（0，4），．

（3）因为圆N方程为，

即x2+y2﹣2bx﹣（b+4）y+4b=0，

圆M：x2+（y﹣4）2=4，即x2+y2﹣8y+12=0，

②﹣①得：圆M方程与圆N相交弦AB所在直线方程为：2bx+（b﹣4）y+12﹣4b=0，

点M到直线AB的距离，

相交弦长即：，

当时，AB有最小值．

2017年2月21日