平面解析几何测试题

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

（1）“”是“直线x+y=0和直线互相垂直”的（  ）

A. 充分而不必要条件                     B. 必要而不充分条件

C. 充要条件                             D. 既不充分也不必要条件

（2）设A、B是轴上的两点，点P的横坐标为2，且，若直线PA的方程为，则直线PB 的方程是    （  ）

A．         B．    

C．         D． 

（3）直线上的点到圆C：的最近距离为（  ）

A.  1　　B.  2　　C.－1　　D.   2－1

（4）直线与圆相切，则实数等于（    ）

A．或        B．或        C．或        D．或

（5）若圆的过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为（  ）

A．        B．        C．        D． 

（6）设椭圆的焦点在轴上且长轴长为26，且离心率为；曲线上的点到椭圆的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线的标准方程为（  ）

A．        B．        C．        D． 

（7）双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则（  ）

A．              B．            C．           D． 

（8）已知椭圆，长轴在轴上. 若焦距为，则等于 （  ）

 A..         B..          C..            D..

（9）若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为（  ）

A．               B．     C．            D． 

（10）若点P在抛物线上，则该点到点的距离与到抛物线焦点距离之和取得最小值时的坐标为（  ）

A.        B.        C.        D. 

（11）已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程是y＝x，它的一个焦点在抛物线y2＝24x的准线上，则双曲线的方程为(　　)

A.－＝1      B.－＝1

C.－＝1      D.－＝1

（12）如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为正三角形，底面为正方

   形，侧面PAD与底面ABCD垂直，M为底面内的一个动点，且满    

   足MP=MC，则动点M的轨迹为　　　　　　　　　   （    ）

     A．椭圆        B．抛物线      

    C．双曲线               D．直线  

二、填空题：本大题共4小题, 每小题4分，共16分．

（13）已知实数，直线过点，且垂直于向量，若直线与圆相交，则实数的取值范围是________________ . 

（14）已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于两点

若，则             .

（15）在平面直角坐标系中，已知抛物线关于轴对称，顶点在原点，且过点P(2，4)，则该抛物线的方程是         ． 

（16）已知两个点M(-5,0)和N(5,0)，若直线上存在点P，使|PM|-|PN|=6,则称该直线为“B型直线”，给出下列直线：①y=x+1; ②；③y=2；④y=2x+1．其中为“B型直线”的是          ．（填上所有正确结论的序号）

三、解答题：本大题共6小题. 共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

（17）（本小题满分12分）

已知圆C：，直线：.

(I) 当a为何值时，直线与圆C相切；

(Ⅱ) 当直线与圆C相交于A、B两点，且时，求直线的方程.

（18）（本小题满分12分）

已知平面区域恰好被面积最小的圆及其内

部所覆盖．

(Ⅰ)试求圆的方程；

(Ⅱ)若斜率为1的直线与圆C交于不同两点，且满足,求直线的方程.

（19）（本小题满分12分）

在平面直角坐标系中，直线与抛物线＝2相交于A、B两点．

求证：“若直线过点T（3，0），则＝3”是真命题.

（20）（本小题满分12分）

已知直线相交于A、B两点，是线段AB上的一点，，且点在直线上.

   （Ⅰ）求椭圆的离心率；

   （Ⅱ）若椭圆的焦点关于直线的对称点在单位圆上，求椭圆的方程.

（21）（本小题满分12分）

已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)．点M(3，m)在双曲线上．

(1)求双曲线方程；

(2)求证：·＝0；

(3)求△F1MF2面积．

（22）（本小题满分14分）

在平面直角坐标系中，已知椭圆．如图所示，斜率为且不过原点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直线于点．

（Ⅰ）求的最小值；

（Ⅱ）若∙，

（i）求证：直线过定点；

（ii）试问点，能否关于轴对称？若能，求出此时的外接圆方程；若不能，请说明理由．

参

一、选择题：

CADCB  AADDA  B D；12解析：由MP=MC , 知M在PC的垂直平分面内，又M∈面ABCD 

   ∴M在两平面的交线上．故答案选D．

二、填空题

（13）;  （14）8;   （15）;  （16）．①③　　解析：∵|PM|-|PN|=6 ∴点P在以M、N为焦点的双曲线的右支上，即

(x＞0)，将直线方程与其联立，方程组有解,判断其答案为①③．

三、解答题

（17）解：将圆C的方程配方得标准方程为，

则此圆的圆心为（0 , 4），半径为2.

(Ⅰ) 若直线与圆C相切，则有. 解得.  ………………6分

(Ⅱ) 解：过圆心C作CD⊥AB，则根据题意和圆的性质，得

解得. 

∴直线的方程是和.  ………………12分

（18）解:(Ⅰ)由题意知此平面区域表示的是以构成的三角形及其内部,且△是直角三角形, 所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆,故圆心是(2,1),半径是, 

所以圆的方程是.    ………………6分

 (Ⅱ)设直线的方程是:. 

  因为,所以圆心到直线的距离是, 即.

解得:.                          ………………………………11分

所以直线的方程是. ………………12分

（19）解：设过点T(3,0)的直线交抛物线于点A、B .

（Ⅰ）当直线的钭率不存在时,直线的方程为, 

此时, 直线与抛物线相交于点A(3,)（）.B(3,－)，∴ =3.   …….............4分

（Ⅱ）当直线的钭率存在时,设直线的方程为，

其中，由得.     …………………….….6分

又 ∵， ∴，

                                                    ………………………………….10分

综上所述，命题“若直线过点T(3,0)，则=3” 是真命题.  ………………….12分

（20）解：（Ⅰ）由知是的中点，

设A、B两点的坐标分别为

由.

，

∴点的坐标为.               …………………………4分

  又点在直线上，  .

，       ………………6分

   （Ⅱ）由（Ⅰ）知，不妨设椭圆的一个焦点坐标为，

设关于直线上的对称点为，

则有.         ………………10分

由已知.

，∴所求的椭圆的方程为.     ………………12分

（21）解：(1)∵e＝，∴可设双曲线方程为x2－y2＝λ.

∵过点(4，－)，∴16－10＝λ，即λ＝6.

∴双曲线方程为x2－y2＝6.

(2)证明：证法一：由(1)可知，双曲线中a＝b＝，

∴c＝2，

∴F1(－2，0)，F2(2，0)，

∴kMF1＝，kMF2＝，

kMF1·kMF2＝＝－.

∵点(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，m2＝3，

故kMF1·kMF2＝－1，∴MF1⊥MF2.

∴·＝0.

证法二：∵＝(－3－2，－m)，＝(2－3，－m)，

∴·＝(3＋2)×(3－2)＋m2

＝－3＋m2，

∵M点在双曲线上，∴9－m2＝6，即m2－3＝0，

∴·＝0.

(3)△F1MF2的底|F1F2|＝4，由(2)知m＝±.

∴△F1MF2的高h＝|m|＝，∴S△F1MF2＝6.

（22）【解析】（I）：设直线，

由题意， 

由方程组得

，

由题意，

所以

设，

由韦达定理得所以

由于E为线段AB的中点，因此

此时所以OE所在直线方程为

又由题设知D（-3，m），令x=-3，得，即mk=1，

所以当且仅当m=k=1时上式等号成立，

此时  由得因此  当时，

取最小值2。

   （II）（i）由（I）知OD所在直线的方程为

将其代入椭圆C的方程，并由

解得，又，

由距离公式及得

由

因此，直线的方程为

所以，直线

（ii）由（i）得

若B，G关于x轴对称，

则

代入

即，

解得（舍去）或

所以k=1，

此时关于x轴对称。

又由（I）得所以A（0，1）。

由于的外接圆的圆心在x轴上，可设的外接圆的圆心为（d，0），

因此

故的外接圆的半径为，

所以的外接圆方程为