2007年高考数学江西理科(详细解答)

理科数学

    本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分．第卷1至2页，第卷3至4页，共150分．

第卷

考生注意：

    1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．

    2．第卷每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．

    3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回．

参考公式：

    如果事件互斥，那么                        球的表面积公式

    如果事件相互，那么                    其中表示球的半径

                            球的体积公式

    如果事件在一次试验中发生的概率是，那么        

    次重复试验中恰好发生次的概率            

                            其中表示球的半径

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．化简的结果是（　　）

Ａ．        Ｂ．            Ｃ．            Ｄ． 

2．（　　）

Ａ．等于            Ｂ．等于            Ｃ．等于            Ｄ．不存在

3．若，则等于（　　）

Ａ．            Ｂ．            Ｃ．            Ｄ． 

4．已知展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为，则等于（　　）

Ａ．            Ｂ．            Ｃ．            Ｄ． 

5．若，则下列命题中正确的是（　　）

Ａ．        Ｂ．      Ｃ．      Ｄ． 

6．若集合，，则中元素的个数为（　　）

Ａ．            Ｂ．            Ｃ．            Ｄ． 

7．如图，正方体的棱长为，过点作平面的垂线，垂足为点，则以下命题中，错误的命题是（　　）

Ａ．点是的垂心

Ｂ．垂直平面

Ｃ．的延长线经过点

Ｄ．直线和所成角为

8．四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示，盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为，，，，则它们的大小关系正确的是（　　）

Ａ．            Ｂ．            

Ｃ．            Ｄ． 

9．设椭圆的离心率为，右焦点为，方程的两个实根分别为和，则点（　　）

Ａ．必在圆内            Ｂ．必在圆上

Ｃ．必在圆外            Ｄ．以上三种情形都有可能

10．将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为（　　）

Ａ．            Ｂ．            Ｃ．            Ｄ． 

11．设函数是上以5为周期的可导偶函数，则曲线在处的切线的斜率为（　　）

Ａ．            Ｂ．            Ｃ．            Ｄ． 

12．设在内单调递增，，则是的（　　）

Ａ．充分不必要条件                Ｂ．必要不充分条件

Ｃ．充分必要条件                Ｄ．既不充分也不必要条件

2007年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）

理科数学

第卷

注意事项：

    第卷2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试卷题上作答，答案无效．

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把答案填在答题卡上．

13．设函数，则其反函数的定义域为                ．

14．已知数列对于任意，有，若，则                    ．

15．如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，则的值为                    ．

16．设有一组圆．下列四个命题：

Ａ．存在一条定直线与所有的圆均相切

Ｂ．存在一条定直线与所有的圆均相交

Ｃ．存在一条定直线与所有的圆均不相交

Ｄ．所有的圆均不经过原点

其中真命题的代号是                ．（写出所有真命题的代号）

三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）

已知函数在区间内连续，且．

（1）求实数和的值；

（2）解不等式．

18．（本小题满分12分）

如图，函数的图象与轴交于点，且在该点处切线的斜率为．

（1）求和的值；

（2）已知点，点是该函数图象上一点，点是的中点，当，时，求的值．

19．（本小题满分12分）

某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互．根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为，，，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为，，．

（1）求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；

（2）经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为，求随机变量的期望．

20．（本小题满分12分）

右图是一个直三棱柱（以为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为．已知，，，，．

（1）设点是的中点，证明：平面；

（2）求二面角的大小；

（3）求此几何体的体积．

21．（本小题满分12分）

设动点到点和的距离分别为和，，且存在常数，使得．

（1）证明：动点的轨迹为双曲线，并求出的方程；

（2）过点作直线双曲线的右支于两点，试确定的范围，使，其中点为坐标原点．

22．（本小题满分14分）

设正整数数列满足：，且对于任何，有．

（1）求，；

（3）求数列的通项．

2007年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）

理科数学参

一、选择题

2． =，选B。

3．若，∴，tanα=－，∴ =－2，选A。

4．已知展开式中，各项系数的和为4n，其各项二项式系数的和为2n，∴，解得6，选C。

5．，当x=时，sin=，，∴ 选项A不正确； 当x=时，sin=，，∴ 选项B不正确；当x=时，sin=，，∴ 选项C不正确；∴选D。

6．若集合，，则如图画出可行域，在阴影部分中，整数点为(0，0)，(1，0)，(1，1)，(2，1)共四个点，所以中元素的个数为4，选C。

7．正方体的棱长为，过点作平面的垂线，垂足为点，则以下命题中，错误的命题是：直线和所成角为arctan≠，选D。

8．四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示，盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为，，，，则它们的大小关系正确的是，选A。

9．设椭圆的离心率为，右焦点为，∴，方程的两个实根分别为和，∴ ==，所以点必在圆内，选A。

10．将一骰子连续抛掷三次，所得的结果有63=216种可能，它落地时向上的点数依次成等差数列的可能为①三个数都相同，有6种可能；② 分别为（1，2，3），（1，3，5），（2，3，4），（2，4，6），（3，4，5），（4，5，6）或倒序即（3，2，1），……，等，共12种；∴ 概率P=，选B。

11．设函数是上以5为周期的可导偶函数，所以函数f (x)在x=0的两边的增减性是相反的，即函数f (x)在x=0处是一个极值点，又f (x)的周期为5，所以曲线在处的切线的斜率为0，选B。

12．设在内单调递增，，当m≥－5时，，所以是的必要不充分条件。

二、填空题

14．已知数列对于任意，有，若，，……，，所以4

15．如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，设， =，∴，， =，比较得，，所以的值为2。

16．设有一组圆．圆心坐标为(k－1，3k)，圆心在直线3x－y=3上，半径为k2，这条直线就与所有的圆都相交，所以B成立；将原点(0，0)代入到圆的方程中，得，对于所有的k∈N*，均不成立，所以D成立，真命题的代号是B、D。

三、解答题

17．解：（1）因为，所以，

由，即，．

又因为在处连续，

所以，即．

（2）由（1）得： 

由得，当时，解得．

当时，解得，

所以的解集为．

18．解：（1）将，代入函数得，

因为，所以．

又因为，，，所以，

因此．

（2）因为点，是的中点，，

所以点的坐标为．

又因为点在的图象上，所以．

因为，所以，

从而得或．

即或．

19．解：分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件，，，

（1）设表示第一次烧制后恰好有一件合格，则

．

（2）解法一：因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为，

所以，

故．

解法二：分别记甲、乙、丙经过两次烧制后合格为事件，则

，

所以，

，

，

．

于是，．

20．解法一：

（1）证明：作交于，连．

则．

因为是的中点，

所以．

则是平行四边形，因此有．

平面且平面，

则面．

（2）如图，过作截面面，分别交，于，．

作于，连．

因为面，所以，则平面．

又因为，，．

所以，根据三垂线定理知，所以就是所求二面角的平面角．

因为，所以，故，

即：所求二面角的大小为．

（3）因为，所以

．

．

所求几何体体积为

．

解法二：

（1）如图，以为原点建立空间直角坐标系，

则，，，因为是的中点，所以，

．

易知，是平面的一个法向量．

因为，平面，所以平面．

（2），，

设是平面的一个法向量，则

则，得： 

取，．

显然，为平面的一个法向量．

则，结合图形可知所求二面角为锐角．

所以二面角的大小是．

（3）同解法一．

21．解法一：（1）在中，，即，

，即（常数），

点的轨迹是以为焦点，实轴长的双曲线．

方程为：．

（2）设， 

①当垂直于轴时，的方程为，，在双曲线上．

即，因为，所以．

②当不垂直于轴时，设的方程为．

由得：，

由题意知：，

所以，．

于是：．

因为，且在双曲线右支上，所以

．

由①②知，．

解法二：（1）同解法一

（2）设，，的中点为．

①当时，，

因为，所以；

②当时，．

又．所以；

由得，由第二定义得

．

所以．

于是由得

因为，所以，又，

解得：．由①②知．

22．解：（1）据条件得    ①

当时，由，即有，

解得．因为为正整数，故．

当时，由，

解得，所以．

（2）方法一：由，，，猜想：．

下面用数学归纳法证明．

1当，时，由（1）知均成立；

2假设成立，则，则时

由①得

因为时，，所以．

，所以．

又，所以．

故，即时，成立．

由1，2知，对任意，．

（2）方法二：

由，，，猜想：．

下面用数学归纳法证明．

1当，时，由（1）知均成立；

2假设成立，则，则时

由①得

即　　　　　　②

由②左式，得，即，因为两端为整数，

则．于是　　　　③

又由②右式，．

则．

因为两端为正整数，则，

所以．

又因时，为正整数，则　　　　④

据③④，即时，成立．

由1，2知，对任意，．