2021-2022学年辽宁省大连市高一下学期期末数学试题【含答案】

一、单选题1．已知复数，其中是虚数单位，则的共轭复数是（ ）

()

i 12i z =-i z A ．B ．C ．D ．2i -2i

+12i

+12i

-A

【分析】结合复数乘法、共轭复数等知识求得正确答案.【详解】.

()2i 12i i,2i

z z =+==--故选：A 2．若

，且为第四象限角，则的值为（ ）

12

cos 13α=

αtan αA ．B ．C ．D ．12512

5-512

5

12

-

D

【分析】结合同角三角函数的基本关系式求得正确答案.【详解】由于，且为第四象限角，

12

cos 13α=

α

所以

，

5

sin 13α==-.

sin 5

tan cos 12ααα=

=-故选：D

3．若、是空间中两条不同的直线，则的充分条件是（ ）a b a b ∥A ．直线、都垂直于直线B ．直线、都垂直于平面a b l a b αC ．直线、都与直线成角D ．直线、都与平面成角

a b l 30°a b α60︒B

【分析】根据线线平行、线线角等知识对选项进行分析，从而确定正确选项.

【详解】A 选项，都与垂直，可能，A 选项错误.

,a b l a b ⊥

B 选项，都垂直于平面，则，B 选项正确.,a b αa b ∥

C 选项，都与成角，可能相交，C 选项错误.,a b l 30°,a b

D 选项，都与平面成角，可能异面，D 选项错误.,a b α60︒,a b 故选：B

4．民间娱乐健身工具陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县发现的新石器时代遗址．如图所示的是一个陀螺的立体结构图．已知底面圆的直径，

16cm AB =

圆柱体的高，圆锥体的高，则这个陀螺的表面积是（ ）

8cm BC =6cm CD =

A ．

B ．

C ．

D ．

2

192πcm 2

208πcm 2

272πcm 2

336πcm C

【分析】结合组合体表面积的计算方法计算出正确答案.【详解】圆柱、圆锥的底面半径为，

8cm

，

10cm =所以陀螺的表面积是.

22

π82π88π810272πcm ⨯+⨯⨯+⨯⨯=故选：C

5．如图，小明同学为测量某建筑物的高度，在它的正东方向找到一座建筑物，CD AB 高为，在地面上的点（，三点共线）测得楼顶、建筑物顶部的仰12m M B M D A C 角分别为和，在楼顶处测得建筑物顶部的仰角为，则小明测得建筑物

15︒60︒A C 30°

的高度为（ ）（精确到CD 1m 1.414≈ 1.732

≈

A ．

B ．

C ．

D ．42m 45m 51m 57m

D

【分析】先求得，然后利用正弦定理求得，进而求得.AM CM CD 【详解】在直角三角形中，

，

ABM 1212

sin15,sin15AM AM ︒=

=︒在三角形中，

ACM 301545,1806015105CAM CMA ∠=︒+︒=︒∠=︒-︒-︒=︒，

1801054530ACM ∠=︒-︒-︒=︒

由正弦定理得,sin 45sin 45sin 30sin 30CM AM AM CM ==⋅︒=

︒︒

︒

CDM sin60,sin60

CD

CD CM

CM

︒==⋅︒=

==

===

.

363612 1.73257m

=+=+⨯≈

故选：D

6．设是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是

A B C D

，，

A．若与共面，则与共面

AC BD AD BC

B．若与是异面直线，则与是异面直线

AC BD AD BC

C．若==，则

AB AC DB

，DC AD BC

⊥

D．若==，则=

AB AC DB

，DC AD BC

D

【分析】由空间四点共面的判断可是A,B正确，；C,D画出图形，可以判定AD与BC

不一定相等，证明BC与AD一定垂直．

【详解】对于选项A，若与共面，则与共

AC BD A B C D AD

，，是四点共面，则BC

面，正确；

对于选项B，若与是异面直线，则四点不共面，则与是异面AC BD,,,

A B C D AD BC

直线，正确；

如图，空间四边形ABCD中，AB＝AC，DB＝DC，则AD与BC不一定相等，∴D错误；对于C,当四点共面时显然成立，

A B C D

，，

当四点不共面时，取BC的中点M，连接

,,,

A B C D

AM、DM，AM⊥BC，DM⊥BC，∴BC⊥平面ADM，∴BC⊥AD，∴C正确；

本题通过命题真假的判定，考查了空间中的直线共面与异面以及垂直问题，是综合题．

7．将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数

的图象，sin 2y x =ϕcos 26y x π⎛

⎫=+ ⎪

⎝⎭则的值可以是（ ）

ϕA ．B ．C ．D ．12π

6

π3

π

23

πD

【分析】利用三角函数图象变换可得出变换后的函数解析式，由已知可得出关于的ϕ等式，即可得出结果.

【详解】因为

，

2cos 2sin 2sin 26623y x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛

⎫

=+=++=+

⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数sin 2y x =ϕ的图象，

()()

sin 2sin 22y x x ϕϕ=-=-⎡⎤⎣⎦由题意可得，可得，当时，()2223k k ππϕ=-∈Z ()3k k πϕπ=-∈Z 1k =23ϕπ=

故选：D.

8．已知圆台上下底面半径分别为3、4，圆台的母线与底面所成的角为．且该圆台45︒上下底面圆周都在某球面上，则该球的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．100π5003

π

200π

7003

πB

【分析】根据圆台轴截面及已知求圆台的高，再根据球体半径与圆台上下底面半径的几何关系列方程求出球体半径，进而求球体的体积.【详解】由题意，轴截面如下图示，

1AE DE ==

若球体半径为R ，则，可得.

22

9(1R -=5R =所以该球体积为.3450033R ππ=

故选：B 二、多选题

9．设非零复数、所对应的向量分别为，则下列选项能推出

1z 2z 1OZ 2OZ

的是（ ）12OZ OZ ⊥

A ．

B ．

C ．

D ．

12

i z z =12

2z z =12

=z z 1212

z z z z +=-AD

【分析】A 根据的几何意义判断；B 由即可判断；C 由

1

2i z z =122OZ OZ =

即可判断；D 由

并结合向量数量积的运算律即可

12||||

OZ OZ = 1212

OZ OZ OZ OZ +=- 判断.【详解】A ：等价于将

绕原点逆时针旋转得到

，即，符12i z z =2

OZ 90︒1

OZ 1

2OZ OZ ⊥

合；

B ：等价于，即共线，不符合；122z z =1

22OZ OZ =

12,OZ OZ C ：等价于

，但不一定有，不符合；12

=z z 12||||

OZ OZ =

1

2OZ OZ ⊥ D ：

等价于

，两边平方并应用数量积的运算律

1212

z z z z +=-1212

OZ OZ OZ OZ +=-

可得，即，符合.120OZ OZ ⋅=

12OZ OZ ⊥ 故选：AD

10．一个正方体内接于一个球，过球心作一个截面，则截面的图形可能是（ ）

．B

．C．D

．

ABC

【分析】根据正方体截面过外接球球心，讨论截面是否过顶点及所过顶点个数、是否与侧面平行，即可判断截面图形的元素.

【详解】当过球心的截面不平行于侧面且不过顶点时，截面图形为A；

当过球心的截面平行于一对侧面时，截面图形为C；

当过球心的截面过其中4个顶点，则截面图形为圆中含一个长方形，B正确，D错误.故选：ABC

11．下列各式正确的是（）

A．B．

()()

1tan1

1tan442

+︒+︒=

1

2

sin10

-=

︒

C．D．

2

3

sin70

2

2cos10

-

=

-︒

︒)

tan70cos102012

︒⋅︒︒-=

AC

【分析】结合三角恒等变换对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】A选项，

()tan1tan44

tan45tan144,1

1tan1tan44

︒+︒

︒=︒+︒=

-︒⋅︒

，

tan1tan441tan1tan44

︒+︒=-︒⋅︒

所以

()()

1tan11tan441tan1tan44tan1tan44

+︒+︒=+︒+︒+︒⋅︒

，A选项正确.

tan1tan44tan1t2

11an44

︒⋅︒

+︒⋅

+-︒=

=

B选项，

1

sin10

=

︒

()()

2cos60cos10sin60sin102cos6010

11

sin20sin20

22

︒︒-︒︒︒+︒

==

︒︒

，B选项错误.

cos70sin20

444

sin20sin20

︒︒

=⋅=⋅=

︒︒

C 选项，C 选项正确.

23sin 703cos 203cos 202

1cos 203cos 202cos 10222--︒-︒

===+︒-︒

-︒-︒D

选项，

)

sin 70tan 70cos10201cos101cos 70⎫︒

︒⋅︒⋅

︒-=

⋅︒⋅⎪⎪︒

⎭

cos 20cos10sin 20︒=

⋅︒

cos10︒

，D 选项错误

.()sin 20301sin10︒-︒===-︒故选：AC

12．已知函数在区间上单调，且满足()()()sin 0,f x x ωϕωϕ=+>∈R 75,126ππ⎛⎫

⎪⎝⎭有下列结论正确的有( )

7312

4f f π

π⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A ．203

f π⎛⎫

= ⎪⎝⎭

B ．若，则函数的最小正周期为；()56f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭()f x π

C ．关于x 的方程

在区间上最多有4个不相等的实数解

()1

f x =[0,2)πD ．若函数在区间上恰有5个零点，则的取值范围为()f x 213,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ω8,33⎛⎤ ⎥⎝⎦

ABD

【分析】A ：在上单调，，故()f x 73,124ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭73124f f ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭73212423ππ

π+=；

203

f π

⎛⎫= ⎪⎝⎭B ：求出区间右端点

关于的对称点，由题可知在75,126ππ⎛⎫

⎪⎝⎭56x π=23x π=2x π=()f x 上单调，据此可求出f (x )周期的范围，从而求出ω的范围.再根据

5,26

ππ

⎛⎫ ⎪

⎝⎭知

是f (x )的对称轴，根据对称轴和对称中心距离为周期的()56f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭512x π=倍即可求出ω，从而求出其周期；

()21

4k k +∈Z C ：根据ω的范围求出周期的范围，根据正弦型函数一个完整周期只有一个最高点即

可求解；D ：由知，是函数在区间，上的第1个零点，而在

203

f π⎛⎫=

⎪⎝⎭23π()f x 23π⎡⎢⎣136

π⎫

⎪

⎭()f x 区间上恰有5个零点，则

，据此即可求ω的范围.213,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭13252632T T ππ<- 【详解】A ，∵，∴在上单调，又7375,,124126ππππ⎛⎫⎛⎫

⊆ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x 73,124ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴

，故A 正确；

7312

4

f f π

π⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭73212423ππ

π+=203

f π

⎛⎫= ⎪⎝⎭B ，区间右端点

关于的对称点为，∵，f (x )在

75,126ππ⎛⎫

⎪⎝⎭56x π=23x π=2x π=203

f π

⎛⎫= ⎪⎝⎭上单调，∴根据正弦函数图像特征可知在上单调，∴

75,126ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x 5,26

ππ

⎛⎫

⎪

⎝⎭为

的最小正周期，即

3，又，∴.若

512(62322T T ππππω

-==⋅ ()

f x )ω

0>ω03ω< ，则的图象关于直线

对称，结合，得

()56f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭()f x 512x π=203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，即，故()252121312442k k T k ππππω++-===⋅∈Z ()42k k ω=+∈Z k ＝0，故B 正确.2,T ωπ==C ，由，得

，∴在区间上最多有3个完整的周期，而

03ω< 23T π

()f x [)0,2π在1个完整周期内只有1个解，故关于的方程

在区间

上最多

()1

f x =x ()1

f x =[)0,2π有3个不相等的实数解，故C 错误.D ，由知，是函数在区间，上的第1个零点，而在

203

f π⎛⎫=

⎪⎝⎭23π()f x 23π⎡⎢⎣136

π⎫

⎪

⎭()f x 区间上恰有5个零点，则

，结合，得，213,36ππ⎡⎫⎪⎢

⎣⎭13252632T T ππ<- 2T πω=81033ω< 又，∴的取值范围为，故D 正确.

03ω< ω8,33⎛⎤

⎥

⎝⎦

故选：ABD.本题综合考察

的周期、单调性、对称中心、对称轴等特性，

()()()

sin 0f x x ωϕω=+>解题的关键是熟练掌握正弦型函数对称轴，对称中心的位置特征，掌握正弦型函数单调性与周期的关系.常用结论：(1)单调区间的长度最长为半个周期；(2)一个完整周期内

只有一个最值点；(3)对称轴和对称中心之间的距离为周期的倍.

()21

4k k +∈Z 三、填空题13．函数

的最小正周期为___________.

()tan

2x

f x =2π

直接由正切函数的周期公式可得答案.

【详解】.

212

T π

π

=

=故答案为.2π

14．如图，在正四棱柱中，是棱的中点，异面直

1111ABCD A B C D

-1AB =E BC 线

与所成角的余弦值为，则______．

1AB 1C

E m m

=1

2

7-

【分析】作辅助线，根据异面直线的定义找到与所成角，解三角形即可求得

1AB 1C E 答案.

【详解】在正四棱柱

中，连接 ,

1111ABCD A B C D

-1DC 则由于

四边形是平行四边形，故 ,

1111,AD B C AD B C =∥11AB C D 11AB DC ∥故异面直线

与所成角即为与所成角,

1AB 1C E 1DC 1C E 即即为异面直线

与所成角或其补角，

1DC E ∠1AB 1C E 设,则

所以 ,

12AA

=

1AB ==112,4CC DC ====

1DE C E ===

所以

,1cos DC E ∠=

=

故异面直线与所成角的余弦值为，则

1AB 1C E m m =

15．已知函数

不是常数函数，且函数满足：定义域为，

的图象关于

()

f x ()

f x R ()

f x 直线对称，

的图象也关于点

对称．写出一个满足条件的函数

2x =()

f x ()1,0______．（写出满足条件的一个即可）

()

f x （答案不唯一）()π

πsin 2

2f x x ⎛⎫- ⎝=⎪

⎭【分析】根据对称性确定正确答案.【详解】依题意，

不是常数函数，定义域为，

()

f x R 图象关于直线对称，也关于点对称，

2x =()1,0所以

符合题意.()π

πsin 22f x x ⎛⎫- ⎝=⎪

⎭故

（答案不唯一）()π

πsin 22f x x ⎛⎫- ⎝=⎪

⎭16．如图，四边形为正方形，平面，若

ABCD AG ⊥ABCD ////AG DF CE ，，则______．

3AG AB ==2DF =1CE =:B EGD G BEF V V --=

2

2:1【分析】将几何体补全为正方体，由

、

G BEF ABCD GIHJ G HEBJ G HIFE B CDFE B DFGA V V V V V V ------=----

求出体积，即可得结果.B EGD ABCD GIHJ G HEBJ G HIDE E BCD G ABD V V V V V V ------=----【详解】将几何体补全为正方体，如下图示，

G BEF ABCD GIHJ G HEBJ G HIFE B CDFE B DFGA

V V V V V V ------=----11111111

27353333333353

32323232

=-⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯.

3=

B EGD ABCD GIHJ G HEBJ G HIDE E BCD G ABD

V V V V V V ------=----11111111

27353353133333

32323232

=-⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯.

6=

所以

.

:2:1B EGD G BEF V V --=故2:1四、解答题

17．已知向量，．()1,2a =

()

,3b x =

(1)若，求的值；

()

3a b b -⊥ x (2)若向量，夹角为锐角，求的取值范围．

a b x

(1)

；

x =

(2)

或.

362x -<<

3

2x >【分析】（1）应用向量线性运算坐标表示可得，根据向量垂直的坐标

3(3,3)a b x -=- 表示即可求参数值；

（2）由题设有，注意排除，同向共线时对应x 值即可.

60a b x ⋅=+> a b

【详解】(1)由题设，又，

3(3,3)a b x -=- ()

3a b b

-⊥ 所以，即，

(3)90x x -+=2

390x x --=

可得

.

x =

(2)由题设，即，

60a b x ⋅=+>

6x >-当，同向共线时，有且，此时，可得，不满足，夹角a b a b λ= 0λ>132x λλ=⎧⎨=⎩32x =a b 为锐角，

综上，

或.362x -<<

3

2x >18．如图1，菱形中，，垂足为点，将沿翻折

ABCD 60A ∠=︒DE AB ⊥E AED DE 到，使，如图2．

A ED ' A E BE '⊥

(1)求证：平面；

A E '⊥EBD (2)在线段上是否存在一点，使平面？若存在，求的值；若不存A D 'F EF ∥A BC 'DF

FA '在，说明理由．(1)证明见解析；

(2)存在，.

1

DF

FA ='【分析】（1）推导出，由此能证明平面.

,,DE AE A E DE A E BE ⊥⊥⊥''A E '⊥BCDE

（2）分别取的中点，连接，推导出四边形是平行

,A D A C '',F M ,,EF FM BM EBMF 四边形，从而在线段上存在一点，使平面，且.//EF BM A D 'F //EF A BC '1

DF

FA ='【详解】(1)在菱形中，

ABCD ,DE AB DE AE ⊥∴⊥ ，,,A E DE A E BE DE BE E ''∴⊥⊥⋂= 平面.

A E '∴⊥EBD (2)在线段上存在一点，使平面.A D 'F EF //A BC '理由如下：

分别取的中点

，连接，

,A D A C '',F M ,,EF FM BM 为的中位线，且

，

FM A DC '

FM DC ∴∥1

2FM DC =

在菱形中，且，

ABCD EB DC ∥12EB DC

=，且四边形是平行四边形，

FM EB ∴∥,FM EB =∴EBMF EF BM ∴∥平面平面，EF ⊄ ,A BC BM '⊂A BC '平面，

EF ∴ A BC '为中点，

F A D '.

1DF

FA ∴

'=19．已知为坐标原点，对于函数，称向量

为函数

O ()sin cos f x a x b x =+()

,a M b O =

的相伴特征向量，同时称函数

为向量的相伴函数．

()

f x ()

f x OM (1)若向量

为

的相伴特征向量，求实数的值；()

2,2m =

()sin 4h x x πλ⎛

⎫=+ ⎪

⎝⎭λ(2)记向量的相伴函数是，求在

的值域．()

5,12m =

()f x ()f x 2

0,3x π⎡⎤

∈⎢

⎥

⎣⎦(1)(2)⎤

⎥⎦

【分析】（1）根据已知相伴特征向量的定义可得，即可求解；()2sin 2cos h x x x =+（2）根据相伴函数的定义结合三角恒等变换得到函数的解析式，利用正弦型函数()f x 的性质求解值域即可.

【详解】(1)解：因为向量

为

的相伴特征向量，()

2,2m =

()sin 4h x x πλ⎛

⎫=+ ⎪

⎝⎭

则

，()sin 2sin 2cos 44h x x x x x ππλ⎛⎫⎛

⎫=+=+=+ ⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭

解得.λ=(2)解：因为向量

的相伴函数是

()

5,12m =

，()5125sin 12cos 13sin cos 1313f x x x x x ⎛⎫

=+=⨯+ ⎪

⎝⎭

设

，则，512cos ,sin 1313θθ=

=sin 1θ<<3

2ππθ<<

所以，

()13sin()f x x θ=+当时，20,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦2,3x πϕϕϕ⎡⎤+∈+⎢⎥

⎣⎦当时，函数有最大值为13，

2x π

ϕ+=()f x 当时，即

，函数有最小值为23x π

ϕϕ

+=

+23x π=()f x

，

222(

)5sin 12cos 333f πππ=⨯+⨯=

故函数的值域为.()f x ⎤

⎥⎦

20．如图，在直三棱柱中，且111ABC A B C -AC BC ⊥AC ==BC ，是棱

的中点，是棱上的点，满足．

12AA AB

=D 1BB E 1CC 15CE EC =

(1)证明：平面

；

AD ⊥1A DE (2)求直线与平面所成角的正弦值．AE 1ABB (1)证明见解析

【分析】（1）先根据数量关系证明线线垂直，然后可得线面垂直；（2）先求解到平面

的距离，然后根据线面角的定义求解正弦值.

E 11ABB A

【详解】(1)证明：因为，且;AC BC ⊥AC ==BC 3AB =因为，所以；

12AA AB =16AA =

因为是棱

的中点，所以，

D 1BB 1AD A D ==因为，所以

；

222

11AD A D AA +=1AD A D ⊥因为

，所以；

15CE EC =16AA =11,5C E CE ==

在直角梯形中，

，所以.

11C B DE 11B C =13B D =DE =

在直角三角形中，所以ACE AC ==5CE AE 因为，所以.

222

AD DE AE +=AD DE ⊥由

，且，所以平面.

1AD A D ⊥AD DE ⊥1=A D DE D ⋂AD ⊥1A DE (2)在直角三角形中，作于，如图，

ACB CH AB ⊥H

由等面积法可得

；

CH 由直棱柱的性质可得，所以平面

;

1AA CH ⊥CH ⊥11ABB A

因为平面，所以到平面

，

1//CC 11ABB A E 11ABB

A 设直线与平面所成角为，则

AE 1ABB θ

sin

θ==21．已知平面四边形中，，．

ABCD AB AD =AB AD ⊥AC =1BC =(1)若

，求四边形的面积；

56ACB π

∠=

ABCD (2)若记，

．

()

0ACB θθπ∠=

<<()

CD f θ=①求

的解析式；

()

f θ②求的最小值及此时角的值．CD θ

(2)①

②

，此时．()

f θ=CD 14πθ=

【分析】（1）由余弦定理求得，继而得，根据三AB =cos CAB ∠sin DAC ∠AD 角形的面积公式可求得答案；

（

2）①由余弦定理求得，再由正弦定理求得，继而得，AB sin CAB ∠cos DAC ∠，根据余弦定理可求得；

AD ()f θ②由角的范围和正弦函数的性质可求得的最小值及此时角的值．CD θ【详解】(1)在中，，所 以

ABC

AC

=1BC =56ACB π

∠=

，

222+2cos AB AC CB AC BC

ACB =-⋅∠即

，所以2

225+11cos

6AB π

=

-

⨯AB =所以

，

2

2

2

cos 2CA AB BC

CAB

CA AB +-∠==

=

⋅又，所以

AB AD =AB AD ⊥sin DAC ∠=

AD AB ==

所以

，151sin 26ABC S π=⨯=

19sin 24ADC S DAC =∠

= 所以四边形ABCD (2)①在中，，所 以ABC AC =

1BC =ACB θ∠=

，

222+2cos AB AC CB AC BC θ=-⋅即

，所以

，

2

22+11cos AB θ

=

-⨯2

4AB θ=-又

，所以sin sin AB CB CAB θ=

∠sin

CAB ∠=又，所以

AB AD =AB AD

⊥co s DAC ∠=

，

224

A A

B D θ=-=所以

222

2+

cos AD AC CD AD AC DAC

-⋅=

∠4

+3θ=--，

7+4πθ⎛⎫

=- ⎪

⎝

⎭所以

；()CD f θ==②因为，所以，

0θπ<<54

4

4π

π

πθ

<<

+

所以当

，即

时，

，

4

2π

π

θ=

+

4π

θ

=

min 1

4CD f π⎛⎫

=== ⎪⎝⎭所以，此时

．

CD 14π

θ=

关键点睛：本题主要考查运用正弦定理、余弦定理解三角形，关键在于运用正弦定理 、余弦定理表示其边和角得

的解析式.

()

f θ22．如图，在四棱锥中，底面为正方形．记直线

S ABCD -SAB SAD

∠=∠π

2≤

ABCD 与平面所成的角为．

SA ABCD θ

(1)求证：平面平面；

SAC ⊥SBD (2)若二面角的大小为，求的值；

B SA D --2π

3cos θ(3)当时，、中点为，点为线段上的动点（包括端点），

π2θ=

SB BC M N P CD ，二面角的大小记为，求的取值范围．

2SA AB =M NP A --αtan α(1)证明详见解析

(3)2⎤

⎦【分析】（1）通过证明平面来证得平面平面.BD ⊥SAC SAC ⊥SBD （2）判断出直线与平面所成的角，解直角三角形求得.

SA ABCD θcos θ（3）作出二面角的平面角，结合三角函数值域的求法，求得的取值M NP A --tan α范围.

【详解】(1)连接，交点设为，连接.,AC BD O SO 依题意可知，所以，SAB SAD ≅ AB SD =所以三角形中，SBD SO BD ⊥由于，,BD AC AC SO O ⊥⋂=所以平面，BD ⊥SAC 由于平面，BD ⊂SBD 所以平面平面.

SAC ⊥SBD (2)过作，垂足为，连接，B BK SA ⊥K DK 由已知，得，SAB SAD ≅ DK SA ⊥所以是二面角的平面角，BKD ∠B SA D --所以

.

2π

3BKD ∠=

设正方形的边长为，则，

ABCD a BD =

所以

，

,BK DK AK ===由于，

,,DK SA BK SA DK BD K ⊥⊥⋂=所以平面，则.

SA ⊥DKB SA KO ⊥过作，垂足为，

S SE AC ⊥E 由于平面，所以，

BD ⊥SAC BD SE ⊥由于，所以平面，

AC BD O = SE ⊥ABCD 所以，即是直线与平面所成角.SAC θ∠=SAC ∠SA ABCD 在中，

Rt AKO

AO =所以

cos AK AO θ==(3)取中点，过作，垂足为，连接，AB Q Q QR NP ⊥R ,MQ MR 则为二面角的平面角，即，MRQ ∠M NP A --MRQ α∠=则，

tan MQ QR α=

由已知，设正方形的边长为，则，=MQ AB ABCD a MQ AB a ==在正方形中，设，

ABCD PNC β∠=，当

时，在三角形

中，QN =π,arc tan 24PNC β⎡⎤∠=∈⎢⎥⎣⎦QNR ，3π3ππarc tan 2,44

2QNR β⎡⎤∠=-∈-⎢⎥⎣⎦()()3π3π3πsin arc tan 2sin cos arc tan 2cos sin arc tan 2444⎛⎫-=- ⎪⎝⎭

==

，

3πsin 4β⎤⎛⎫-∈⎥ ⎪⎝⎭⎦.3πsin 4QR QN β⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭

.

tan MQ QR α==当

时，在三角形中，π0,4PNC β⎡⎤∠=∈⎢⎥⎣⎦QNR πππ,442QNR β⎡⎤∠=+∈⎢⎥⎣⎦

，

.πsin 4β⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎦πsin 4QR QN β⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭

.

tan 2MQ QR α⎤==⎦综上所述，的取值范围是.tan

α2⎤

⎦