复变函数试题及答案1

一、单项选择题（每题2分，共20分）

1．以下命题正确的是

A．                            B．零的辐角为零 

C．                              D．对任意复数有    [   A   ]

2．若，则

A．                     B． 

C．                      D．                [   D   ]

3．设在区域内解析，则

A．                   B． 

 C．                  D．           [   B   ]

4．下列说法正确的是

A．如果存在，则在处解析          

B．如果和在区域内可微，则在区域内解析

C．如果在区域内处处可导，则在区域内解析       

D．如果在区域内解析，则在区域内一定不解析            [  C    ]

5．下列等式中不正确的是

A． （为整数）     B． 

C． （为整数）             D．          [   B   ]

6．设在复平面内处处解析（其中为常数），则

A．                          B．            

C．                        D．              [  C    ]

7．设为单位圆周，则积分的值为

A．                                 B． 

C．                                  D．                     [   D   ]

8．级数的收敛圆为

A．                             B． 

C．                              D．                   [   A  ]

9．是函数的

A．一级零点                            B．二级零点

C．三级零点                            D．四级零点                 [   C   ]

10．设则

A．                                  B． 

C．                                 D．                        [  D   ]

二、填空题（每空2分，共10分）

11．                     

12．设为包围的任一简单闭曲线，为整数，则      或0

13．的主值等于                      

14．函数在处的主要部分为                   ， 

在处的主要部分为                         0

二、解答题

15．讨论函数在原点的连续性与可导性。

解：令，则

因在处连续，故在处连续。

又，故在处不可导。

16．设在区域内解析，且。试证在内必为常数。

证：因在内解析，故

已知等式两边分别对求偏导，并用上式得：

同理可得，故均为常数，进一步有在内必为常数。

17．计算积分，其中为不过和的任一简单闭曲线。

解：①均在的外部，在所围的闭区域上解析，故

②在内部，在外部，由高阶导数公式

，其中充分小。

③在外部，在内部，则

④均在的内部，由多连通区域上的复合闭路定理得

18．（1）将函数在圆环内展为Laurent级数。

解： 

或

（2）求出函数的奇点并判别它们的类型（包含无穷远点）。

所以为的可去奇点（不含负幂项），为的的本性奇点（含无穷多正幂项）。

19．利用留数计算实积分

解： 

故

20．设区域内一条正向简单闭曲线，为内一点，如果在内解析，且，在内无其它零点，试证：

证：因以为一级极点，故，在解析，

故