新人教版七年级下册第六章实数数学教案

6.1  平方根(3课时)

    课程目标

    一、知识与技能目标

    1.通过对平方值的计算等确立平方根的意义、开方的运算。了解算术平方根与平方根的区别与联系。毛

    2.对于任意有理数都能区分其“＋〞、“－〞性，运用计算器已势在必行。

    二、过程与方法目标

    采纳类比平方值的求法，定义出平方根的概念，同时从这个过程可知一个什么样的数才具有平方根，这种数有几个平方根？并比拟这两个平方根之间有什么关系？

    三、感情态度与价值观目标

    1.引导学生充分进行交流，商量与探究等教学活动，培养他们的合作与钻研精神。

    2.了解无理数的发觉过程，鼓舞学生大胆质疑，培养学生学习数学的热情。

    教材解读

    本节内容首先给出一个简单的问题，依据正方形的面积求出其边长，由此引出求某数的平方根的问题，在涉及到不能直接用已有的知识开方时，则引进计算器的使用方法，通过计算器对任意正数进行开方。这样将有理数与无理数沟通起来成为实数。

    学情分析

    上学期已经学习了有理数，对任何数的形式主义都能够顺利得到，同时也感知了“互为相反数的平方相等〞，故由平方值去探究平方根的问题实际上只是互逆过程，只要求出一个数的平方就可得知平方根的值。

第１课时

    一、创设情境，导入新课

    玲玲家最近喜事不断，家里新购了一套房子，全家欢欢喜喜地搬进新居，爸爸妈妈又增加了工资。条件改善了，为了给玲玲一个好的学习环境，爸爸打算给玲玲买一张桌子供她在家做作业。爸爸问玲玲：“你喜欢长方形桌子还是正方形桌子？〞玲玲认为正方形桌子更大，可以多堆点书，又可以有足够的位置写字，所以她更喜欢正方形桌子。于是爸爸依据她的喜欢为她购置了一张正方形桌子，玲玲量了量课桌的边长为100cm，你能算出这张桌子的周长和面积吗？当然可以了，可是如果玲玲更直接地告诉爸爸“我想要一张面积约为125dm的正方形桌子〞。请问她爸爸能为她购置到中意的桌子吗？当然可以，计算正方形的面积必需要了解正方形的边长，依据边长求面积是乘方运算，而依据面积求边长又是什么运算呢？这节课我们就来探讨这个问题。

    二、师生互动，课堂探究

    (一)提出问题,引发商量

    1.你能求出以下各数的平方吗?

      0,-1,5,2.3,-,-3,3,1,

    能.02=0  (-1)2=1  52=25  2.32=5.29  (-)2=  (-3)2=9  32=9  12=1  ()2=

    2.假设已知一个数的平方为以下各数,你能把这个数的取值说出来吗?

       25,0,4,,,-,1.69

    能.由于52=25,(-5)2=25,故平方为25的数为5或-5.

    02=0,故平方为0的数为0.

    22=4,(-2)2=4,故平方为4的数为2或-2.

    (-)2=,()2=,故平方为的数为±.

    (-)2=,()2=,故平方为的数为±.

    对于-这个数,没有哪个数的平方等于它,故平方为-的数找不到.

    1.32=1.69,(-1.3)2=1.69,故平方为1.69的数是±1.3.

    又如:课本P160中的问题:小欧要裁一块面积为25dm2的正方形画布,由于正方形的面积为边长的平方,而边长不可能为负数,故此画布的边长应为5dm.依此可得正方形的面积假设分别为1,9,16,36,时,此正方形的边长分别为1,3,4,6, .

    由以上商量发觉,有时候我们已知一个数要求这个数的平方值时,只有一个,也有些时候,我们已知某数的平方,要求出这个数,发觉此时通常可找到两个数,且这两个数是互为相反数,而如果是已知某物的面积求其边长时,其边长也只有一个值.我们把已知平方值,求原数的问题称为求这个数的平方根.

    (二)导入知识,解释疑难

    1.教材内容讲解

    欲确定某数的平方根时,由以上过程发觉,即使有两个值,这两个值也是一对互为相反数,因此实际上我们假设求出其中一个值,另一个值也就可以依据求出的数再写出它的相反数,我们就可先确定一个正数,把这个正数称为所给数的算术平方根.

    一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根,a的算术平方根记为,读作“根号a〞,a叫做被开方数.规定:0的算术平方根是0.

    例1 求以下各数的算术平方根:

    (1)900  (2)1  (3)   (4)196  (5)0  (6)10-6

    解:(1)∵302=900,故900的算术平方根是30,即=30.

    (3)∵()2=,故的算术平方根是,即=

    (4)∵142=196,故196的算术平方根是14,即=14.

    (5)∵02=0,故0的算术平方根是0,即=0.

    (6)∵(10-3)2=10-6,故10的算术平方根是10-3,即 =10-3

    例2:勤俭节约是中国人的一种美德,涛涛的爷爷是个能工巧匠,他把两张破损了一局部的桌面重新拼接成一张完整的正方形桌面,其面积为169dm2.已知他用的两张小桌面也是锯成了正方形的桌面,其中一张是边长为5dm的小板子,试问另一张较大的桌面的边长应为多少dm才能拼出面积为169dm2的桌面?

    分析:边长为5dm的正方形板子,其面积为25dm2,要拼出面积为169dm2的桌面,还需面积为169-25=144dm2的正方形桌面,故问题实际上转化为求144的算术平方根,即=12.

    解:设另一张较大的桌面的边长为xdm,则有

x2+52=159,x2=169-25=144,而122=144  

故144的算术平方根为12,即=12,即另一张桌面的边长应为12dm.

    练习:

    1.求以下各式的值:

    ①; ②; ③; ④.

解:①=1.2     ②==0.1

③=0.9-0.2=0.7    ④==

    (2)假设(a-1)2+│b-9│=0,则的算术平方根是以下哪一个(   )

      A.     B.±3     C.3     D.-3

分析:由于(a-1)2≥0.│b-9│≥0,  

∴(a-1)2+│b-9│=0时,有a-1=0且b-9=0,  

∴a=1,b=9,  

∴==9,故的算术平方根是3.

    3. 有意义吗?为什么?

    分析: 无意义,因为任何数的平方都是非负数,即a2≥0,故无意义.

    2.探究活动

    (1)当a为负数时,a2有没有算术平方根?其算术平方根与a有什么关系?当a为正数时,a2的算术平方根如何表示?a为0呢?举例说明你的结论.

    (2)x2-x+是否有算术平方根?如有请写出其算术平方根,如没有说明为什么?

    解:当a为负数时,a2为正数,故a2有算术平方根,如a=-5时,a2=(-5)2=25, ==5,5是-5的相反数,故a2<0时,a的算术平方根与a互为相反数,表示为-a.

    当a2为正数时,a的算术平方根表示为,其值为a,即=a.

    当a=0时, =0

    由此可知=|a|=

    (2)因为(x-)2=x2-x+,而(x-)2肯定是非负数,故x-x+也是非负数,故x2-x+有算术平方根,其算术平方根的值要视x的取值而定.当x≥时,x2-x+的算术平方根为x-.当x<时,x2-x+的算术平方根为-(x-)=-x.

    (三)归纳总结,知识回忆

    这节课主要就平方根中的算术平方根进行商量,求一个数的算术平方根与求一个正数的平方幂正好是互逆的过程,因此,求正数的算术平方根实际上可以转化为求一个数的X方运算.只不过,只有正数和0才有算术平方根,负数没有算术平方根.

    练习设计

    (一)双基练习

    1.某数的算术平方根等于它本身,则这个数为_______;假设某数的算术平方根为其相反数,则这个数为______.

2.求以下各式的值:

,,  , , 

    3.3x-4为25的算术平方根,求x的值.

    4.已知9的算术平方根为a,b的绝对值为4,求a-b的值.

    (二)创新提升

    5.已知2a-1的算术平方根是3,3a+b-1的算术平方根是4,求a、b的值.

    (三)探究拓展

    6.假设与互为相反数,求xy的算术平方根.

    参

1.0,1  0;  2.0.4, ,3,0.5,10-1();  3.x=3  

4.a=3,b=±4,则a-b=3-4或3-(-4),故a-b=-1或7.  

5.a=5,b=2 

6.x=4,y=4,xy=16,xy的算术平方根为4.

课后作业：

第2课时

    一、创设情境，导入新课

某同学用一张正方形纸片折小船，但他手头上没有现成的正方形纸片，于是他撕下一张作业本上的纸，按照如图，沿AE对折使点B落在点F的位置上,再把多余局部FECD剪下,如果他事先量得矩形ABCD的面积为90cm2,又测量剪下的多余的矩形纸片的面积为40cm2.请依据上述条件算出剪出的正方形纸片的边长是多少厘米.

    将原矩形纸片的面积减去剩余的矩形纸片的面积即为正方形纸片的面积,正方形纸片的面积为90-40=50cm2,而正方形的面积为边长的平方,要求正方形的边长就得算出多少的平方等于50,但我们了解72=49,82=,50这个数既不是72,也不是82,由于49<50<,故此正方形的边长应大于7而小于8.到底它为多少呢?它是一个小数吗?你有什么方法确定这个值呢?这一系列问题正是我们这节课要商量的问题.

    二、师生互动,课堂探究

    (一)提出问题,引发商量

    在实际问题中,往往会遇到像上述情形中的问题,如果在所学过的有理数中实在找不到适宜的数的平方会等于所给的数,我们该怎么表示所给数的算术平方根呢?

    我们了解,假设有正数x,使x2=a(a≥0),则x为a的算术平方根,记作x=,于是假设x2=50时(x为正数),则x=,而72<50<82,因此有7<<8,现在我们就来学习如何求的近似值,是不是有理数呢?

    (二)导入知识,解释疑难

    1.教材内容讲解

    在上学期有理数的乘方运算中,我们已经掌握了用计算器求一个数的平方的方法,现在我们要确定一个数的平方根,也可借助这种方法进行,我们不妨用计算器验证7.12,7.12=50.41,而50.41>50,故<7.1,再验证7.092=50.27>50,故7< <7.09,而7.082=50.12,7.072=49.98,故7.07<<7.08,接着继续增加小数点后一位小数,如7.071,计算7.0712=49.99,而7.0722=50.013,故7.071<<7.072,……如此继续进行下去,可以发觉将小数点后的小数位继续增加下去,一直不能穷尽,都只能使7.07……的平方值无限接近,因此发觉,不可能化为我们以前学过的无限循环小数,只能化为无限不循环小数,而有理数只包含有限小数和无限循环小数或者整数,但却不在这些数的范围内,只能说这个数不是有理数,我们把这种数重新命名为“无理数〞,于是数的范围也就扩充了,是否我们可以直接用计算器来计算某一个正数的算术平方根呢?

    只要计算器上有“〞键或者“〞键,它就可以用来求某正数的算术平方根了,但不同的计算器的按键顺序不相同,只要按计算器的使用方法去按键,就可求出任意正数的算术平方根了.

    例1:用计算器计算和,,的值.

    解:通过按键可得的值在计算器上显示:56,为有理数.的值在计算器上显示1.414213562,而的值在计算器上显示2.236067978,的值在计算器上显示3.16227766.从计算器上显示的数都是位数有限的,因此往往给我们一个印象“这些值都是有理数〞,而事实上我们了解用平方幂验证它们的平方根时,却怎么也找不到精确的数,使其平方为2、5、10,于是我们得出:这些数不是有理数,只是一个无限不循环小数即无理数.通过计算器计算出的小数只能是这些数的算术平方根的近似值或最接近的值.运用计算器可以很方便地确定一个任意正数的算术平方根.

    活动:怎样用两个面积为1的小正方形拼成一个面积为2的大正方形?求出其边长.

    分析:将两个面积为1的小正方形的面积相加得2,而要拼的大正方形的面积正好为2,于是可知,只要将两个小正方形剪开再重新拼合成一个正方形即能满足要求.要确定新正方形的边长,我们就得确定的值大约是多少,我们了解12=1,22=4,故1<<2,也即是面积为2的正方形的边长比1大故比原小正方形的边长大,假设沿原小正方形的对角线将两个小三角形剪开,得四个形状、大小完全相同的小直角三角形,将这四个直角三角形的直角边拼接起来得一个新正方形.(如课本图10.1-1)

    使用计算器不仅能很方便地计算出任意一个正数的算术平方根,而且还能使用计算器找到某些数的算术平方根之间的关系.

    例3:(1)求以下各数的算术平方根.

    0.000001,0.0001,0.01,1,100,10000,1000000

    (2)利用计算器计算以下各式的值:

                 ……

    你能找到其中的规律吗?把你的发觉用自己的言语表达出来,并利用你的发觉说出、、的近似值(已知≈1.732),你能依据的值确定 的值吗?

    解:(1)∵0.0012=0.000001  ∴=0.001依次可得出=0.01, =0.1, =1, =10, =100, =1000

    从中发觉被开方数在逐渐扩大,并且每次扩大100倍,其算术平方根也在逐渐扩大,但只扩大10倍,于是猜测两个正数之间如果满足b=100a,则有=10,(或者:被开方数每扩大100倍时,其算术平方根相应地扩大10倍)

    (2) =0.25    ≈0.79057   ≈7.9057  ≈7.9057   =25      ≈79.057   =250    ≈790.57

    比拟相应的两列数中的被开方数及其算术平方根,同样可验证在题(1)中的规律,而与中的数开方数只扩大了10倍,它们的算术平方根之间没有规律可循.故假设已知≈1.732,可知≈0.1732, ≈17.32, ≈173.2,但不能知的值.

    2.探究活动

    (1)用一块面积为400cm2的正方形纸片,沿着边的方向剪出一块面积为300cm2的长方形纸片,你会怎样剪?

    (2)假设用上述正方形纸片剪出面积为300cm2的长方形纸片,且其长宽之比为3:2,你又怎样剪?依据你的剪法答复:只要利用面积大的纸片肯定能剪出面积小的纸片吗?

    解:(1)面积为400cm2的正方形纸片的边长为20cm,沿着边的方向剪出一刀,使长方形纸片的面积为300cm2,则其宽为300÷20=15cm,于是只要剪掉5cm宽的长方形纸片即可.

    (2)假设用上述正方形纸片剪出面积为300cm2的长方形纸片,且其长宽之比为3:2,则可设其两边为3x和2x,则有3x·2x=300,6x2=300  x2=50,x=,故长方形纸片的长为3cm,宽为2cm,而3>3×7=21cm,21cm比原正方形的边长20cm更长,这是不可能的.

    通过上述两例发觉利用面积大的纸片不肯定能剪出面积小的纸片.

    (三)归纳总结,知识回忆

    通过本节课的学习可知,并不是全部的正数的算术平方根都是有理数,这时我们既可以用“〞的形式表示,也可以用一个与的值接近的有理数替代,于是可用计算器算出这个数,但实际上,是一个无理数.

    练习设计

    (一)双基练习

1.用计算器求出以下各式的值.

         -     

    2.用计算器比拟与的大小.

    3.在物理学中,用电器中的电阻R与电流I,功率P之间有如下的一个关系式:P=I2R,,现有一用电器,电阻为18欧,该用电器功率为2400瓦,求通过用电器的电流I.

    4.用边长为5cm的正方形纸片两张重新剪开并拼接成一个较大的正方形,其边长约为多少?(精确到0.01cm)

    (二)创新提升

    5.某地开发了一块长方形的荒地,新建一个以环保为主题的公园.已知这块荒地的长是宽的2.5倍,它的面积为60000米2.

    (1)试估算这块荒地的宽约为多少米?(误差小于1米)

    (2)假设在公园中建一个圆环喷水池,其面积为80米2,该水池的半径是多少?(精确到0.01)

    (三)探究拓展

    6.(1)任意找一个很大正数,利用计算器将该数除以3,将所得结果再除以3…….随着运算资料的增加,你发觉了什么?换一个数试试,是否仍有类似的规律?

    (2)任意找一个非常大的正数,利用计算器不断地对它进行开算术平方根,你发觉了什么?

第3课时

    一、创设情境,导入新课

    同学们,你了解“神舟五号〞载人飞船吗？“神舟五号〞载人飞船于202X年10月15日9时整,在中国X卫星发射中心进行首次载人航天发射,由“长征二号〞F型火箭点火升空,这标志着我国的航天事业又前进了一步,我国在世界上的地位也徒然而升了;当物体到达11.2千米/秒的运动速度时能摆脱地球引力的束缚,在摆脱地球束缚的过程中,在地球引力的作用下它并不是直线飞离地球,而是按抛物线飞行,脱离地球引力后在太阳引力作用下绕太阳运行,假设要摆脱太阳引力的束缚飞出太阳系,物体的运动速度必须到达16.7千米/秒,那时将按双曲线轨迹飞离地球,而相对太阳来说它将沿抛物线飞离太阳.经过计算,在地面上,物体的运动速度到达7.9千米/秒时,该速度被称为第一宇宙速度.第一宇宙速度与哪些因素有关呢?又是如何计算呢?

    二、师生互动,课堂探究

    (1)前面在第一节课的学习中,我们计算过了很多互为相反数的平方,发觉这些数的平方值会相等,按照我们求正数x的算术平方根的考虑,假设x2=a,则x=称为a的算术平方根,而x还有一个负值,又该如何称呢?

    (2)宇宙飞船离开地球进入轨道正常运行的速度要大于第一宇宙速度v1(米/秒)而小于第二宇宙速度v2(米/秒),其中v1、v2满足v12=gR,v22=2gR,其中g是物理中的一个常数(重力加速度),g≈9.8米/秒2,R是地球半径,R≈6.4×106米,如何确定v1、v2的值呢?它与算术平方根有什么关系?下面让我们来逐个分析吧.

    (二)导入知识,解释疑难

    1.假设一个数的平方等于16,这个数是多少,又怎样表示呢?

    由于42=16,(-4)2=16,故平方等于16的数有两个:4和-4,把4和-4叫做16的平方根,记为4=,则-4= -,把4和-4称为16的平方根.

    一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根或二次方根,即假设x2=a,则x为a的平方根,记为x=±.如3和-3是9的平方根,记为±3是9的平方根,表示为±3=±.

把求一个数a的平方根的运算,叫做X方,而平方运算与X方运算互为逆运算.依据这种运算关系,可以求一个数的平方根,例如当x2=1时,x=±1;当x2=16时,则x=±4,当x2=36时,x=±6;当x2=49时,x=±7;当x2=,则±为的平方根,依次可记为±,±,±,±,±,它们的对应关系如下图.

    练习:求以下各数的平方根.

    (1)0.49    (2)    (3)81     (4)0     (5)-100

    解:(1)因为0.72=0.49,(-0.7)2=0.49,所以0.49的平方根为±0.7,即±=±0.7

    (2)因为()2=,(-)2= ,所以的平方根为±,即±=±

    (3)因为92=81,(-9)2=81,所以81的平方根为±9,即±=±9.

    (4)因为02=0,所以0的平方根为0,即±=0.

    (5)因为任何数的平方都不小于0,找不到平方为-100的数,故-100没有平方根.

    将这些数的平方根与它们的算术平方根进行比拟,正数(或0)的算术平方根只是它们的平方根中的一局部,是正数(或0)的那局部,而负的那个值正好是算术平方根的相反数,进一步可归纳出:

    正数的平方根有两个,它们是一对互为相反数.

    0的平方根是0

    负数没有平方根

    例1:求以下各式的值,并依据这些值写出各被开方数的平方根.

    (1)       (2)-      (3)±

    解:(1)因为1.22=1.44,所以=1.2,1.44的平方根为±1.2,即±=±1.2.

    (2)因为92=81,所以-=-9,81的平方根为±9,即±=±9.

    (3)因为()2=,所以±=±,它正是的平方根.

    故求正数的平方根时,只要了解它的算术平方根,就能确定了,因为其算术平方根和算术平方根的相反数即为该数的平方根.同样如果了解某数的算术平方根的相反数,则该数的平方根同样可确定.

    面对问题(2)中的“宇宙速度〞,我们了解第一宇宙速度v12=gR,其中g=9.8米/秒2,R≈6.4×106米,v22=2gR,则有v12≈9.8×6.4×106米2/秒2≈62.72×106米2/秒2=6.27×107米2/秒2.v22≈125.44×106米2/秒2=1.2544×108米2/秒2

    因此,v1是6.272×107的平方根,v2是1.2544×108的平方根.

    那么v1=±≈±7.9×103米/秒=±7.9千米/秒,v2=± ≈±11.2×103米/秒=±11.2千米/秒

    但在实际问题中,速度是一个比0大的数,数学问题中不考虑速度的方向,故负值不合题意,应舍去,实际上,在某些具体问题中,要依据得出的答案是否有意义而取值.

    例2:某矩形的面积为13200平方米,假设其长是宽的3倍,试求出此矩形的长与宽分别是多少米?

    解:设宽为x米,则长为3x米,其面积为3x2平方米

    故3x2=13200   x2=4400  解得x=±=±66.33

    但x为矩形的边长应大于0,故x=66.33米,3x=198.99米,即此矩形的长为198.99米,宽为66.33米.

    2.探究活动

    对于正数x和y,有以下命题:

    (1)假设x+y=2,则≤1  (2)x+y=3,则≤   (3)假设x+y=6,则≤3

    依据以上三个命题所提供的规律猜测:

    (1)假设x+y=9,则≤_______.

    (2)假设对于任意正数a、b,总有≤_____.

    分析:当x+y=3时,有≤,从中发觉分母为2,分子为x、y的和,再验证其它的等式:x+y=2时,则≤=1.当x+y=6时, ≤=3.与已知相吻合,故有结论m>0,n>0,且m+n=a时,则≤,即≤

    ∴x+y=9时,则≤, ≤ 

    由此得a+b≥2, 即(-)2≥0

    (三)归纳总结,知识回忆

    本节课针对平方根与算术平方根的意义具体地分析何种情形用平方根,何种情形用其算术平方根,得依据实际情况选择答案.

    练习设计

    (一)双基练习

    1. 的值为多少?16的平方根为多少? 的平方根呢?

    2.如果一个正数的一个平方根为4,则另一个平方根为多少?

    3.有一长方形花坛,长是宽的4倍,其面积为25m2,求长和宽.

    4.假设(a-)2= +a2-2,现老师安排了一道化简题: +(a=) .甲、乙两同学很快地写出其解答过程:

甲: + =+=+-a=-a,

当a=时,-a=10-=9

    乙: +=+=+a-=a=

    谁的答案是对的?为什么?

    (二)创新提升

    5.已知a=-1,b=2-,c=-2,试比拟a、b、c的大小.(不用计算器)

    (三)探究拓展

    6.假设的整数局部为a,小数局部为b,求a、b的值.

    参

1.4,±4,±2  2.-4  3.长为10m,宽为2.5m  

4.甲的答案是对的,因为a= 时,>a.

5.因为3>2 ,

所以a-b=-1-=-1->-1-=-1-,

而c-a=--1- =a-b>0

∴b6.∵<<  

∴5<<6

∴ 的整数局部为5,小数局部为-5,即a=5,b=-5

6.2  立方根(1课时)

    课程目标

    一、知识与技能目标

    1.了解立方根的概念,能够用根号表示一个数的立方根.

    2.能用类比平方根的方法学习立方根,及开立方运算,并区分立方根与平方根的不同.

    二、过程与方法目标

    用类比的方法探寻出立方根的运算及表示方法,并能自我总结出平方根与立方根的异同.

    三、感情态度与价值观目标

    开展学生的求同存异思维,使他们能在复杂的环境中明辨是非,并做出正确的处理.

    教材解读

    由正方体的边长与体积的关系引出立方运算,转入立方根运算.于是发觉立方根运算与立方运算互为逆运算,很简单联想到平方运算与平方根运算之间的关系,于是立方根的表示,运算等问题就留给同学去发觉.

    学情分析

    在学习完平方根运算后接着学习立方根运算,通过列举一些有代表意义的数求立方运算可发觉立方根比平方根更简单掌握.

    一、创设情境,导入新课

    劳动节马上来临,学生们纷纷给他们敬爱的老师奉献他们的心意,刘老师所任教的两个班的科代表一同前往老师办公室,他们手中捧着两个形状、大小一模一样的礼盒,并对老师说:“我代表我班的同学向老师敬礼，并以此小礼物代表我们对老师的敬意〞.说完,两个科代表相视一笑,请老师猜一猜里面装的东西是否一样,里面物体的体积是否一样.老师了解,他们葫芦里肯定又要卖什么药了,就郑重其事地说出两个盒子的大小形状虽然一样,但里面所装的物体的形状肯定不一样,并且它们的体积也相同,但肯定有其它不相同的地方.

    刘老师翻开纸盒一看,发觉里面装的果然是两个不同形状的水晶一样的透明饰物,一个是圆球形的,一个是正方形,并且盒子里面各有一张纸条内容相同,经过测算,其体积为125cm2.同学们,你们了解这两个饰物除了形状不同以外还有什么不同吗?那就是球的半径与正方体的边长,你能求出这个半径和边长吗?要求出这两个量,我们就来学习开方中的另一种运算:开立方运算.

    二、师生互动,课堂探究

    (一)提出问题,引发商量

    在学习平方根的运算时,首先是找出一些数的平方值,然后才依据其逆运算过程确定某数的平方根,同样,我们先来算一算一些数的立方.

23=______ ;(-2)3=______; 0.53=_____;(-0.5)3=______;

()3=_____;-()3=_____ ; 03=______.

    (1)经计算发觉正数,0,负数的立方值与平方值有何不同之处?

    23=8;(-2)3=-8; 0.53=0.125; (-0.5)3=-0.125;()3=; -()3=-; 03=0.

    我们发觉,求立方运算时,当底数互为相反数时,其立方值也是一对互为相反数,这与平方运算不同,平方运算的底数为相反数,但其平方值相等,故一个正数的平方根有两个值,但一个正数的立方根却只有一个值了,什么是立方值呢?

    类似平方值定义可知,假设x3=a则x为a的立方根,记为,读作三次根号a.负数没有平方根,负数有无立方根呢?从(-2)3=-8,(-0.5)3=-0.125,()3=-,可知负数有立方根,并且其立方根仍为负数.

    (2)X方与平方运算互为逆运算,同样开立方与立方运算也互逆,故请依据上述等式,写出这些互为相反数的立方根.

    8的立方根为2,-8的立方根为-2,记为=2, =-2

    0.125的立方根为0.5,-0.125的立方根为-0.5,记为=0.5, =-0.5

     的立方根为,-的立方根为-,记为=，=-

    0的立方根为0,记为=0

    上述过程都是求一个数的立方根的运算,把求一个数的立方根的运算,叫做开立方,开立方与立方运算互为逆运算.故正方体的体积为125时,其边长为=5,而球的体积为r3 =125时,r≈3.1.

    (二)导入知识,解释疑难

    1.例题求解

    既然正数的立方是正数,负数的立方是负数,那么正数的立方根为正数,负数的立方根为负数,同样0的立方是0,则0的立方根是0,可记为=a(a为任意数),或者假设a3=M,则有=a,其中M为被开方数,3为根指数,且根指数为3时,不能省略,只有当根指数为2时,才能省略不写.故课本P50探究中,  =-2,- =-2,由此得=- ,又=-3,- =-3,由此得=-

于是可归纳出其规律: =-,而,的意义不同,其值也不同,假设a>0时, -表示a的算术平方根的相反数无意义;假设a<0,则-无意义.

    例2:求以下各数的立方根。

    ①-27;    ②;    ③-0.216。

    解:①∵(-3)3=-27,∴=-3;

    ②∵()3=, =,.

    ③∵(-0.6)3=-0.216, =-=-0.6.

    练习:(1)求以下各数的立方根:

    ①0     ②8     ③-      ④81-

    解:①=0;  ②=2;   ③=-4;   ④81-=81-6=75;  ≈4.22;

    (2)比拟-4、-5、-的大小.

    解:∵43=,53=125,<100<125, ∴4<<5,故-4>->-5

    2.探究活动

    ①假设正方体的棱长为1,则其体积为1;假设正方体的棱长为2,则其体积为8;假设正方体的棱长为4,则其体积为;假设其棱长为8,则其体积为512……当棱长为2n时,其体积为多少?②某正方体的体积为1时,其棱长为1;体积为2时,棱长为;体积为3时,棱长为 ……;假设体积扩大到原来的n倍,则棱长扩大多少倍?

    解:①正方体棱长为1,则体积为1,棱长为2,体积为8,比拟两者棱长扩大了2倍,体积扩大了8倍,棱长又扩大了1倍,其体积相应增大7倍,为原来的8倍,故当棱长为2n时,体积为8n3.

    ②当体积扩大到原来的n倍时,棱长扩大到原来的倍.

    (三)归纳总结,知识回忆

    这节课学习了立方根的概念,立方根的表示方法以及如何求一个数的立方根.用计算器求任意数的立方根时,只能先求出该数的绝对值的立方根,再依据任意数的正负性决定其值,注意区分平方根与立方根.

      练习：〔一〕51页1； 52页2，3

    1.某数的立方根等于它本身,这个数是多少?

    2.求以下各数的立方根:

(1)-1+;  (2)000

3.某金属锻炼厂将27个大小相同的立方体钢铁在炉火中熔化后浇铸成一个长方体钢铁,此长方体的长,宽,高分别为160cm,80cm和40cm,求原来立方体钢铁的边长.

4.有一边长为6cm的正方体的容器中盛满水,将这些水倒入另一正方体容器时,还需再加水127cm3才满,求另一正方体容器的棱长. 

参

    1.这个数为0,±1

    2.(1)-  (2)40      3. cm     4.7cm

  作业：57页2，4。

 6.2  立方根(2课时)

答：被开方数扩大〔缩小〕1000倍时，它的立方根扩大〔缩小〕10倍。

课堂练习：1。   171页2， 173页10，11

2.观察以下各式是否成立,你能从中找到什么结论,并证明你的结论.

    (1) =2

    (2) =3

    (3) =4

    (4) =5……

3.设1995x3=1996y3=1997z3,xyz>0,且

=++,求的值.

参

    2.7=8-1=23-1  26=27-1=33-1  63=-1=43-1   124=125-1=53-1

    ∴ 猜测=n(n=1,2,3,……)

    ∵====n·

3.令1995x3=1996y3=1997z3=k,k≠0,则1995=,1996=,1997=,

故=++,

      即 =.

    而x>0,y>0,z>0,所以=()3,解得: =1.

                   6.3   实数(1)

　一、教学目标

    〔一〕知识目标

　　1.了解无理数和实数的意义，掌握实数的分类，能够推断一个数是有理数还是无理数；

　　2.掌握有理数的运算法则在实数运算法则中仍适用.

〔二〕能力目标

　  通过实数的分类,使学生进一步领会分类的思想;

〔三〕感情目标

1.由实数的分类，渗透数学分类的思想

　  2.数形结合表达了数学的统一性的美.

　二、教学重点和难点

　　教学重点：使学生了解无理数和实数的意义及性质，实数的运算律和运算性质.

　　教学难点：无理数意义的理解．

　三、教学方法

　　讲练结合

　四、教学手段

　　投影片

　五、教学活动设计

　　(一)复习提问

　　什么叫有理数？有理数如何分类？由学生答复，教师援助改正：

　　1．整数和分数统称为有理数．

　　2．有理数的分类有两种方法：

第一种：按定义分类：　　第二种：按大小分类：

　　(二)引入新课

　　同学们，有理数由整数和分数组成，下面我们用小数的观点来看，整数可以看做是小数点后面是0的小数，如3可写做3.0、3.00；而分数，我们可以将分数化为有限小数或无限循环小数，由此我们可以看到有理数总是可以用有限小数或无限循环小数表示。如3=3.0， ， ，但是是不是全部的数都可以写成有限小数或无限循环小数形式呢？

　　答案是否认的，我们来看这样一组数：

我们会发觉这些数的小数位数是无限的，而且是不循环的，这样的小数叫做无限不循环小数，显然它不属于有理数的范围．这就是我们今天要学习的一个新的概念：无理数．

　　1．定义：无限不循环小数叫做无理数．

　　请同学们推断以下说法是否正确？

　　(1)无限小数都是无理数．

　　(2)无理数都是无限小数．

　　(3)带根号的数都是无理数．

　　答：(1)错，无限不循环小数都是无理数．

　　(2)错，无理数是无限不循环小数．

现在我们不仅学过了有理数，而且又定义了无理数，显然我们所学的数的范围又扩大了，我们把有理数和无理数统称为实数，这是我们今天学习的又一新的概念．

　　2．实数的定义：有理数和无理数统称为实数．

　　3．实数的分类：

　　对于实数，我们可按定义分类如下：

　　由上述分类，我们发觉有理数和无理数都有正负之分，所以对实数我们还可以按大小分类如下：

　　对于这两种分类的方法，同学们应牢固地掌握．

　　4．实数的相反数：如果a表示一个正实数，那么-a就表示一个负实数，a与-a互为相反数，0的相反数依旧是0．

　　由上述定义，我们看到实数的相反数概念与有理数相同．其实不仅如此，绝对值的定义也是如此．

　　5．实数的绝对值：一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．用数字表示仍可表示为：

　　6．实数的运算：

　　关于有理数的运算律和运算性质，在进行实数运算时仍旧成立．在实数范围内可进行加、减、乘、除、乘方和开方运算．运算顺序依旧是从高级到低级．值得注意的是在进行开方运算时，正实数和零可开任何次方，负数能开奇次方，但不能开偶次方．

　　(3)假设｜x｜=π，求x值．

　　例2  推断题：

　　(1)任何实数的偶次幂是正实数．　(　)

　　(2)在实数范围内，假设｜x｜=｜y｜，则x=y． (　)

　　(3)0是最小的实数． (　)

　　(4)0是绝对值最小的实数． (　)

　　解：(1)错，0的偶次幕是0，它不是正实数．

　　(2)错，假设x=3，y=-3，则满足｜x｜=｜y｜，但x≠y．

　　(3)错，负实数都小于0．

　　(4)对，因为任何实数的绝对值都为非负实数，0自然是绝对值最小的实数．

　六、总结

　　今天我们学习了实数这一新的内容，请同学们首先要清楚，实数我们是如何定义的，它

　　与有理数是怎样的关系，再有就是对实数两种不同的分类要清楚．并应对比有理数中有关相反数、绝对值的定义以及运算律和运算性质，来理解在实数中的定义和运用．

　七、作业

　　教材P． 57练习3、4、5、6 

                6.3  实数(2)

  一、 教学目标：

  〔一〕知识目标：

  了解实数绝对值的意义,了解实数与数轴上的点一一对应的关系

  〔二〕能力目标：

通过实数与数轴上的点一一对应关系,使学生了解数形结合思想,提高思维能力 .

  〔三〕感情目标：

  由实数与数轴的一一对应关系，渗透数形结合的思想

二、教学疑点及解决方法：

数轴上的点与实数是一一对应的为疑点，教学中应充分注意对实数分类的讲解，并结合数轴画图说明、实数稠密性

　 三、教学活动设计

　　(一)复习提问

　　1．有理数、无理数、实数的概念．

　　2．实数的分类．(两种方法)

　　例1 把以下各数写入相应的集合中：

　　以上内容应由学生自己先做，再由学生自己来改正错误．教师再做适当提示。特别要注意有的学生一看不到不能化成有限小数的分类，如 ， 就简单将其化入无理数，这说明学生在概念上还是不十分清楚，应让学生明白是分数就肯定是有理数，必可化为有限小数或无限循环小数，要使学生清楚各概念之间的界限，抓住本质，区别相近的概念，

　　我们在讲解有理数概念的时候，接触过数轴的问题，请同学们回忆一下什么叫数轴？

　　我们了解规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．每个有理数都在数轴上有自己相应的位置．反过来，同学们想一想数轴上全部的点是不是都表示有理数呢？下面我们来验证一下，首先画一个数轴：

　　以0到1为一边、单位长度为边长作一个正方形，以数轴的原点为圆心、正方形的对角线为半径画弧，依据勾股定理，我们了解这个正方形的对角线长为 ，所以所画的弧与数轴的正半轴的交点表示的数就是 ，由此我们看出数轴上的点表示的并不都是有理数，也有无理数．如果我们把全部的有理数连起来，组成的是一条断断续续的数轴，这其中的空缺就是我们刚刚学习的无理数，可见由有理数和无理数把整个数轴填充完整了，所以我们把这个数轴又称为实数轴．实数与数轴上的点是一一对应的．这其中包含着两层含义：第一，每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；第二，数轴上的每一个点都可以用一个实数来表示．

　　我们用数轴来表示实数，将数和图形联系在了一起，这给我们研究数学问题带来了方便，这也是我们数学中一个相当重要的数学思想——数形结合．

　　我们把实数表示在数轴上，最直观地说明了实数的大小，以原点为分界线，在原点的右侧，表示正数，在原点的左侧为负数，我们了解数轴上的实数从左到右是由小变大，并且数轴上的右侧的数总是比它左侧的数大，这就引出了实数比拟大小的问题．显然同有理数之间的比拟大小是类似的．

　　例2  比拟大小：

　　解：(1)“＞〞我们前面计算时了解 ，化为小数再与1.7比拟，便可

　　知答案了．可见在实数比拟大小时，要经常用到无理数的近似值，所以有些常用的无理数的近似值应记住，如 ， ， 等，记住了，用时就方便些．

　　(2)“＞〞作此题时，我们看到是两个负数比拟大小，依据规则两个负数比拟大小先比拟他们的绝对值的大小，所以先比拟 与 的大小，这两个无理数比拟大小时，并不用将他们都化为小数，因为两个算术平方根比大小时，只需看他们的被开方数的大小就行了，被开方数大的，其算术平方根也大，这样我们就得到 ，再依据两负数比拟大小，绝对值大的反而小的规律，我们就得到答案了．

　　(3)“＜〞此题比拟大小时，依据正数大于一切负数的结论就可以得答案了．

　　(4)“＞〞此题将π化为3.14159就可以比出大小了．

　　(5)“＜〞此题先将|-1.6|化为1.6，再将 化为 ，依据小数比拟大小，就得出结论了．

　　(6)“=〞此题应将循环小数多展开一些再做比拟，就会发觉，这两个数，各位上的数是相同的，所以 .

　　(7)“＜〞 1.414，在千分位4后面还有数值，而-1.414分位后就是0了，所以我们要提示学生无理数是无限不循环小数．

　　(8)“＜〞

　　(9)“＞〞

　　小结：通过例2，我们看到两个数比拟大小时，必须化成同类数才做比拟，但在化的过程中应防止化错．

　　例3  计算：

　　分析：在实数运算中，当遇到无理数，并且需要求出结果的近似值时，可以按照所要求的精确度用相应的近似有限小数去替代无理数，再进行计算．

　　≈2.236+3.142

　　=5.378

　　≈5.38．

　　应提示学生，结果要求精确到0.01，但在计算过程中应比结果要求的多保存一位小数．

　　≈1.732×1.414

　　≈2.45．

　　作教材P．155中7、8．

　　7．(1)≈2.25  (2)≈-5.68

　　8．(1)“＜〞  (2)“＜〞

　二、总结

　　同学们，无理数的引进，把我们所研究问题的数的范围从有理数扩充到了实数，这样一来，我们今后研究问题的数的范围更广泛了，我们所研究的问题也就会更广、更深了．从现在起，在考虑某些数学问题时，肯定要有数的范围的概念．对于不同数的范围，可能结果是不相同的．

　三、作业

　　教材P． 61习题9，10．