微分方程习题

例1（E01）设一物体的温度为100℃，将其放置在空气温度为20℃的环境中冷却. 根据冷却定律：物体温度的变化率与物体和当时空气温度之差成正比，设物体的温度与时间的函数关系为，则可建立起函数满足的微分方程

                               (1)

其中为比例常数. 这就是物体冷却的数学模型.

根据题意，还需满足条件

                 (2)

例2（E02）设一质量为的物体只受重力的作用由静止开始自由垂直降落. 根据牛顿第二定律：物体所受的力等于物体的质量与物体运动的加速度成正比，即，若取物体降落的铅垂线为轴，其正向朝下，物体下落的起点为原点，并设开始下落的时间是，物体下落的距离与时间的函数关系为，则可建立起函数满足的微分方程

其中为重力加速度常数. 这就是自由落体运动的数学模型.

根据题意，还需满足条件

例3（E03）试指出下列方程是什么方程，并指出微分方程的阶数.

解  (1) 是一阶线性微分方程，因方程中含有的和都是一次.

(2) 是一阶非线性微分方程，因方程中含有的的平方项.

(3) 是二阶非线性微分方程，因方程中含有的的三次方.

(4) 是二阶非线性微分方程，因方程中含有非线性函数和

微分方程的解

例4（E04）求曲线族满足的微分方程，其中为任意常数.

解  求曲线族所满足的方程，就是求一微分方程,使所给的曲线族正好是该微分方程的积分曲线族.因此所求的微分方程的阶数应与已知曲线族中的任意常数的个数相等.这里, 我们通过消去任意常数的方法来得到所求的微分方程.在等式两端对求导,得                                                                                                                  

再从解出代入上式得

化简即得到所求的微分方程    

例5（E05）验证函数(C为任意常数)是方程

的通解, 并求满足初始条件的特解.

解   要验证一个函数是否是方程的通解，只要将函数代入方程，看是否恒等，再看函数式中所含的的任意常数的个数是否与方程的阶数相同.将求一阶导数,得

把和代入方程左边得   

因方程两边恒等,且中含有一个任意常数,故是题设方程的通解.

将初始条件代入通解中，

得              

从而所求特解为   

可分离变量的微分方程

例1（E01）求微分方程的通解.

解  分离变量得两端积分得         

从而,记则得到题设方程的通解 

例2（E02）求微分方程的通解.

解  先合并及的各项,得

设分离变量得   

两端积分得  

于是记则得到题设方程的通解  

注：在用分离变量法解可分离变量的微分方程的过程中, 我们在假定的前提下, 用它除方程两边, 这样得到的通解, 不包含使的特解. 但是, 有时如果我们扩大任意常数C的取值范围, 则其失去的解仍包含在通解中. 如在例2中，我们得到的通解中应该，但这样方程就失去特解，而如果允许，则仍包含在通解中.

例3 已知  当时，求

解   设则

所以原方程变为即

所以   

故      

例4 设一物体的温度为100℃，将其放置在空气温度为20℃的环境中冷却. 试求物体温度随时间的变化规律.

解  设物体的温度与时间的函数关系为在上节的例1中我们已经建立了该问题的数学模型:

其中为比例常数.下面来求上述初值问题的解.分离变量,得

两边积分得(其中为任意常数)，

即   (其中).

从而再将条件(2)代入,得

于是，所求规律为

注：物体冷却的数学模型在多个领域有广泛的应用. 例如，警方破案时，法医要根据尸体当时的温度推断这个人的死亡时间，就可以利用这个模型来计算解决，等等.

例5（E03）在一次谋杀发生后，尸体的温度从原来的按照牛顿冷却定律开始下降．假设两个小时后尸体温度变为，并且假定周围空气的温度保持不变，试求出尸体温度随时间的变化规律．又如果尸体被发现时的温度是，时间是下午4点整，那么谋杀是何时发生的？

解　根据物体冷却的数学模型，有

其中是常数．分离变量并求解得

，

为求出值，根据两个小时后尸体温度为这一条件，有

，

求得，于是温度函数为

，

将代入上式求解，有

，即得(小时)．

于是，可以判定谋杀发生在下午4点尸体被发现前的8.4小时,即8小时24分钟,所以谋杀是在上午7点36分发生的.

例6（E04）设降落伞从跳伞塔下落后, 所受空气阻力与速度成正比, 并设降落伞离开跳伞塔时速度为零, 求降落伞下落速度与时间的关系.

解  设降落伞下落速度为降落伞下落时，同时收到重力与阻力的作用.

降落伞所受外力为  

根据牛顿第二定律:  ,得到满足微分方程 

           (1)

初始条件将方程(1)分离变量得

两边积分得 

，

即  或  

代入初始条件得  

故所求特解为     .

    下面我们借助树的增长来引入一种在许多领域有广泛应用的数学模型——逻辑斯谛方程.

一棵小树刚栽下去的时候长得比较慢, 渐渐地, 小树长高了而且长得越来越快, 几年不见, 绿荫底下已经可乘凉了; 但长到某一高度后, 它的生长速度趋于稳定, 然后再慢慢降下来. 这一现象很具有普遍性. 现在我们来建立这种现象的数学模型.

如果假设树的生长速度与它目前的高度成正比, 则显然不符合两头尤其是后期的生长情形, 因为树不可能越长越快; 但如果假设树的生长速度正比于最大高度与目前高度的差, 则又明显不符合中间一段的生长过程. 折衷一下, 我们假定它的生长速度既与目前的高度, 又与最大高度与目前高度之差成正比.

设树生长的最大高度为H(m), 在t(年)时的高度为则有

           (2.8)

其中的是比例常数. 这个方程称为Logistic方程. 它是可分离变量的一阶常微分方程. 

注：Logistic的中文音译名是“逻辑斯谛”.“逻辑”在字典中的解释是“客观事物发展的规律性”, 因此许多现象本质上都符合这种S规律. 除了生物种群的繁殖外, 还有信息的传播、新技术的推广、传染病的扩散以及某些商品的销售等. 例如流感的传染, 在任其自然发展(例如初期未引起人们注意)的阶段, 可以设想它的速度既正比于得病的人数又正比于未传染到的人数. 开始时患病的人不多因而传染速度较慢; 但随着健康人与患者接触, 受传染的人越来越多, 传染的速度也越来越快; 最后, 传染速度自然而然地渐渐降低, 因为已经没有多少人可被传染了.

例如，837年, 荷兰生物学家Verhulst提出一个人口模型

            (2.9)

其中的称为生命系数. 

这个模型称为人口阻滞增长模型. 我们不细讨论这个模型, 只提应用它预测世界人口数的两个有趣的结果.

有生态学家估计k的自然值是0.029. 利用本世纪60年代世界人口年平均增长率为2%以及1965年人口总数33.4亿这两个数据, 计算得，从而估计得：

(1) 世界人口总数将趋于极限107.6亿.

(2) 到2000年时世界人口总数为59.6亿.

后一个数字很接近2000年时的实际人口数, 世界人口在1999年刚进入60亿.

 例7 有高为1米的半球形容器，水从它的底部小孔流出，小孔横截面积为1平方厘米. 开始时容器内盛满了水, 求水从小孔流出过程中容器里水面的高度(水面与孔口中心间的距离)随时间的变化规律.

解  由力学知识得，水从孔口流出的流量为

     流量系数  孔口截面面积  重力加速度

     ①

设在微小的时间间隔水面的高度由降至则

     ②

比较①和②得:

即为未知函数得微分方程.

所求规律为     

 例8 某车间体积为12000立方米, 开始时空气中含有0.1%的C0, 为了降低车间内空气中C0的含量, 用一台风量为每秒2000立方米的鼓风机通入含0.03%的C0的新鲜空气, 同时以同样的风量将混合均匀的空气排出, 问鼓风机开动6分钟后, 车间内C0百分比降低到多少?

解  设鼓风机开动后时刻的含量为在内，的通入量的通入量—的排出量,即

由         

故6分钟后，车间内的百分比降低到

齐次方程

例9（E05）求解微分方程满足初始条件的特解.

解  题设方程为齐次方程,设则

代入原方程得分离变量得

两边积分得       

将回代，则得到题设方程的通解为

利用初始条件得到从而所求题设方程的特解为

例10 求解微分方程

解   原方程变形为

令则方程化为

分离变量得

两边积分得

整理得    

所求微分方程的解为  

例11（E06）求解微分方程 

解   原方程变形为（齐次方程）

令则故原方程变为即

分离变量得两边积分得或

回代便得所给方程的通解为   

例12  求下列微分方程的通解:

解  原方程变形为令则

代入原方程并整理   

两边积分得    即

变量回代得所求通解  

例13  抛物线的光学性质. 实例:车灯的反射镜面

                                ——旋转抛物面.

解  设旋转轴轴，光源在

设为上任一点，为切线，斜率为为法线，斜率为

由夹角正切公式得

得微分方程      

令方程化为  分离变量得

令得

积分得      即

平方化简得

代回得

所求旋转轴为轴得旋转抛物面的方程为

例14（E07）设河边点O的正对岸为点A, 河宽, 两岸为平行直线, 水流速度为, 有一鸭子从点A游向点O, 设鸭子(在静水中)的游速为, 且鸭子游动方向始终朝着点O, 求鸭子游过的迹线的方程.

解  设水流速度为鸭子游速为则鸭子实际运动速度为

取坐标系如图，设在时刻鸭子位于点则鸭子运动速度

故有现在而其中为与同方向的单位向量.

由故

于是

由此得微分方程

即             

初始条件为令则代入上面的方程,得

分离变量得               

积分得即

故

将初始条件代入上式得故所求迹线方程为

可化为齐次方程的方程

例15（E08）求的通解.

解  直线和直线的交点是因此作变换代入题设方程,得

令则代入上式,得

分离变量,得两边积分,得

即回代得

再将回代，并整理所求题设方程的通解

例16（E09）利用变量代换法求方程的通解.

解   令则代入原方程得

分离变量得两边积分得回代得

故原方程的通解为

例17 求微分方程的通解.

解  令则代入原方程得

即

分离变量得   或

两端积分得   即

故所求通解为  

例18 求下列微分方程的通解.

解   令则原方程化为

再令则代入上式，并整理得

两边积分得  变量还原得通解

一阶线性微分方程

例1（E01）求方程的通解.

解   于是所求通解为

例2（E02）求方程的通解.

解   这是一个非齐次线性方程.先求对应齐次方程的通解.

由

用常数变易法,把换成即令则有

代入所给非齐次方程得两端积分得

回代即得所求方程的通解为

例3 求下列微分方程满足所给初始条件的特解.

解  将方程标准化为于是

由初始条件得故所求特解为

例4 求解方程 是的已知函数.

解   原方程实际上是标准的线性方程，其中

直接代入通解公式，得通解

例5（E03）求方程的通解.

解  当将看作的函数时，方程变为

这个方程不是一阶线性微分方程，不便求解.如果将看作的函数，方程改写为

则为一阶线性微分方程，于是对应齐次方程为

分离变量，并积分得即

其中为任意常数，利用常数变易法，设题设方程的通解为代入原方程,得

积分得  

故原方程的通解为，其中为任意常数.

例6（E04）在一个石油精炼厂，一个存储罐装8000L的汽油，其中包含100g的添加剂. 为冬季准备，每升含2g添加剂的石油以40L/min的速度注入存储罐. 充分混合的溶液以45L/min的速度泵出. 在混合过程开始后20分钟罐中的添加剂有多少？

解 令是在时刻罐中的添加剂的总量. 易知. 在时刻罐中的溶液的总量

因此，添加剂流出的速率为

添加剂流入的速率，得到微分方程

即

于是，所求通解为

由确定C，得

          ，，

故初值问题的解是

，

所以注入开始后20分钟时的添加剂总量是

               g.

注：液体溶液中（或散布在气体中）的一种化学品流入装有液体（或气体）的容器中，容器中可能还装有一定量的溶解了的该化学品. 把混合物搅拌均匀并以一个已知的速率流出容器. 在这个过程中，知道在任何时刻容器中的该化学品的浓度往往是重要的. 描述这个过程的微分方程用下列公式表示：

容器中总量的变化率=化学品进入的速率—化学品离开的速率.

例7  如图(见系统演示)所示, 平行于轴的动直线被曲线与截下的线段之长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线

解    两边求导得解此微分方程得

由得故所求曲线为   

例8  求的通解.

解   两端除以得

令得解得

故所求通解为

伯努利方程

例9（E05）求方程的通解.

解   以除方程的两端,得

即   

令则上述方程变为  

解此线性微分方程得  

以代得所求通解为   

例10（E06） 求方程的通解.

解   令则于是得到伯努利方程

令上式即变为一阶线性方程

其通解为     

回代原变量，即得到题设方程的通解

例11（E07）求解微分方程 

解    令则

利用分离变量法解得   

将代回，得所求通解为  

型

例1（E01）求方程满足的特解.

解   对所给方程接连积分二次,得

       (1)

  (2)

在(1)中代入条件得在(2)中代入条件得

从而所求题设方程的特解为

例2（E02）求方程的通解.

解  设代入题设方程,得

解线性方程,得为任意常数)，即

两端积分,得

再积分得到所求题设方程的通解为

其中为任意常数. 

进一步通解可改写为其中为任意常数.

例3  质量为的质点受力的作用沿轴作直线运动. 设力仅是时间的函数:在开始时刻时随着时间的增大, 此力均匀的减少, 直到时,如果开始时质点位于原点, 且初速度为零, 求这质点的运动规律.

解   设在时刻质点的位置为由牛顿第二定律，得质点运动的微分方程

       (1)

由题设,随增大而均匀地减少, 

又

于是方程(1)可以写成          (2)

其初始条件为

在方程(2)式两端积分,得

代入初始条件得于是

将条件代入上式,得于是所求质点的运动规律

型

例4（E03）求方程的通解.

解  这是一个不显含有未知函数的方程.令则于是题设方程降阶为即两边积分,得

即或

再积分得原方程的通解

例5 求微分方程初值问题.

的特解.

解   题设方程属型.设代入方程并分离变量后,有

两端积分，得即

由条件得所以

两端再积分,得又由条件得

于是所求的特解为      

例6 求微分方程满足且当时，有界的特解.

解法1   所给方程不显含属型,令则代入方程降阶后求解, 此法留给读者练习.

解法2   因为即这是一阶线性微分方程，解得

因为时，有界,得故由此得及

又由已知条件得从而所求特解为

例7设有一均匀、柔软的而无伸缩性的绳索，两端固定，绳索仅受重力的作用而下垂. 求绳索曲线在平衡状态时的方程.

解  设绳索的最低点为取轴通过点铅直向上，并取轴水平向右，且等于某个定值(这个定值将在以后说明).设绳索曲线的方程为考察绳索上点到另一点间的一段弧设其长为假定绳索的线密度为则弧的重量为由于绳索是柔软的，因而在点处的张力沿水平的切线方向，其大小设为在点处的张力沿该点处的切线方向，设其倾角为其大小为(如图).因作用于弧段的外力相互平衡，把作用于弧段上的力沿铅直及水平两方向解得

两式相除得   

由于

代入上式即得  

将上式两端对求导，便得满足得微分方程

                                    (1)

取原点到点的距离为定值即则初始条件为

对方程(1)，设则代入并分离变量得：

由得         即       

将条件代入上式，得 

于是该绳索的曲线方程为  这曲线叫做悬链线.

型

例8（E04）求方程的通解.

解   设则代入原方程得即

由可得所以

原方程通解为 

例9 求微分方程满足初始条件的特解.

解   令由代入方程并化简得

上式为可分离变量的一阶微分方程，解得

再分离变量,得由初始条件

定出从而得再两边积分,得或

由定出从而所求特解为

内容要点

    一、二阶线性微分方程解的结构

    二阶线性微分方程的一般形式是

，         (5.1)

其中、及是自变量的已知函数，函数称为方程(5.1)的自由项. 当时, 方程(5.1)成为

，          (5.2)

这个方程称为二阶齐次线性微分方程，相应地，方程(5.1)称为二阶非齐次线性微分方程.

定理1 如果函数与是方程(5.2)的两个解, 则

               (5.3)

也是方程(5.2)的解，其中是任意常数.

定理2 如果与是方程(5.2)的两个线性无关的特解，则

就是方程(5.2)的通解，其中是任意常数.

定理3 设是方程(5.1)的一个特解，而是其对应的齐次方程(5.2)的通解，则

                 (5.4)

就是二阶非齐次线性微分方程(5.1)的通解.

定理4 设与分别是方程

与               

的特解，则是方程

    (5.5)

的特解.

定理5 设是方程

       (5.6)

的解，其中为实值函数，为纯虚数. 则与分别是方程

与              

的解.

二、二阶变系数线性微分方程的一些解法

对于变系数线性方程，要求其解一般是很困难的. 这里我们介绍处理这类方程的两种方法. 一种是利用变量替换使方程降阶——降阶法；另一种是在求出对应齐次方程的通解后，通过常数变易的方法来求得非齐次线性方程的通解——常数变易法.

对于二阶齐次线性方程, 如果已知其一个非零特解, 作变量替换, 就可将其降为一阶齐次线性方程, 从而求得通解. 并有下列刘维尔公式

    三、常数变易法

在求一阶非齐次线性方程的通解时, 我们曾对其对应的齐次方程的通解, 利用常数变易法求得非齐次方程的通解. 这种方法也可用于二阶非齐次线性方程的求解.

设有二阶非齐次线性方程

                        (5.10)

其中在某区间上连续, 如果其对应的齐次方程

的通解已经求得, 那么也可通过如下的常数变易法求得非齐次方程的通解.

设非齐次方程(5.10)具有形如

              (5.11)

的特解, 其中是两个待定函数, 将上式代入原方程从而确定出这两个待定函数.

例题选讲

例1 已知是某二阶非齐次线性微分方程的三个特解：

（1）求此方程的通解；

（2）写出此微分方程；

（3）求此微分方程满足的特解.

解   (1)  由题设知, 是相应齐次线方程的两个线性无关的解,且是非齐次线性方程的一个特解，故所求方程的通解为

，其中

(2)  因    ①

所以②

从这两个式子中消去即所求方程为

 (3)  在①, ②代入初始条件得

从而所求特解为  

降阶法

例2（E01）已知是方程的一个解, 试求方程的通解.

解  作变换则有

代入题设方程，并注意到是题设方程的解,有

将代入，并整理,得

故所求通解为

其中为任意常数.从而得到对应齐次方程的通解

为求非齐次方程的一个解将换成待定函数设根据常数变易法,满足下列方程组

积分并取其一个原函数得于是，题设原方程的一个特解为

从而题设方程的通解为    

常数变易法

例3（E02）求方程的通解.

解  先求对应的齐次方程的通解.由

 即 

从而得到对应齐次方程的通解

为求非齐次方程的一个解将换成待定函数设则根据常数变易法，满足下列方程组

积分并取其一个原函数得  

于是，题设原方程得一个特解为

从而题设方程的通解为   

例4（E03）求方程的通解.

解   因为易见题设方程对应的齐次方程的一特解为由刘维尔公式求出该方程的另一特解

从而对应齐次方程的通解为可设题设方程的一个特解为

由常数变易法,满足下列方程组

积分并取其一个原函数得

于是，题设方程的通解为   

内容要点

    一、二阶常系数齐次线性微分方程及其解法

                  (6.1)

特征方程                               (6.2)

称特征方程的两个根为特征根.

这种根据二阶常系数齐次线性方程的特征方程的根直接确定其通解的方法称为特征方程法.

二、 n阶常系数齐次线性微分方程的解法

阶常系数齐次线性微分方程的一般形式为

         (6.6)

其特征方程为

           (6.7)

    根据特征方程的根，可按下表方式直接写出其对应的微分方程的解:

注: n次代数方程有n个根, 而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项, 且每一项各含一个任意常数. 这样就得到阶常系数齐次线性微分方程的通解为

例题选讲

二阶常系数齐次线性微分方程及其解法

例1（E01）求方程的通解.

解   所给微分方程的特征方程为

其根是两个不相等的实根，因此所求通解为

例2（E02）求方程的通解.

解   特征方程为解得故所求通解为

例3（E03）求方程的通解.

解  特征方程为解得故所求通解为

n阶常系数齐次线性微分方程的解法

例4（E04）求方程的通解.

解  特征方程为即

特征根是和因此所给微分方程的通解为

例5求方程的通解, 其中

解   特征方程为由于

特征方程为特征根为

因此所给方程的通解为

例6 求下列微分方程的通解.

    (1) 

    (2) 

解    特征方程为即特征根

通解为

 (2) 特征方程为即

特征根

通解为

例7（E05）已知一个四阶常系数齐次线性微分方程的四个线性无关的特解为

求这个四阶微分方程及其通解.

解   由与可知，它们对应的特征根为二重根

由与可知，它们对应的特征根为一对共轭复根

所以特征方程为即

它所对应的微分方程为

其通解为

内容要点

    一、型

当时，二阶常系数非齐次线性微分方程(7.1)具有形如

                 (7.4)

的特解，其中是与同次（次）的多项式，而按是不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0、1或2.

上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程，但要注意(7.4)式中的k是特征方程的根的重数（即若不是特征方程的根，取0；若是特征方程的重根，取为）.

    二、或型

即要求形如

          (7.5)

          (7.6)

两种方程的特解.

由欧拉公式知道，和分别是

的实部和虚部.

我们先考虑方程

.             (7.7)

这个方程的特解的求法在上一段中已经讨论过. 假定已经求出方程(7.7)的一个特解，则根据第五节的定理5知道，方程(7.7)的特解的实部就是方程(7.5)的特解，而方程(7.7)的特解的虚部就是方程(7.6)的特解.

方程(7.7)的指数函数中的()是复数，特征方程是实系数的二次方程，所以只有两种可能的情形：或者不是特征根，或者是特征方程的单根. 因此方程(7.7)具有形如

             (7.8)

的特解，其中是与同次（次）的多项式，而按是不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1.

上述结论可推广到阶常系数非齐次线性微分方程，但要注意(7.8)式中的k是特征方程含根的重复次数.

例题选讲

型

例1（E01）下列方程具有什么样形式的特解?

(1)          (2) 

(3) 

解  (1)  因不是特征方程的根,故方程具有特解形式： 

(2)  因是特征方程的单根,故方程具有特解形式: 

(3)  因是特征方程的二重根，所以方程具有特解形式：

例2（E02）求方程的一个特解.

解  题设方程右端的自由项为型，其中

对应的齐次方程的特征方程为特征根为

由于不是特征方程的根，所以就设特解为

把它代入题设方程,得 

比较系数得解得

于是，所求特解为

例3（E03）求方程的通解.

解  题设方程对应的齐次方程的特征方程为特征根为

于是，该齐次方程的通解为

因是特征方程的单根，故可设题设方程的特解： 

代入题设方程,得比较等式两端同次幂的系数,得

于是，求得题没方程的一个特解

从而，所求题设方程的通解为

例4 求微分方程的通解.

解  特征方程为特征根为

故对应齐次方程的通解为 

观察可得,的一个特解为的一个特解为

为由非齐次线性微分方程的叠加原理知

是原方程的一个特解，从而原方程的通解为   

例5 求方程的特解.

解  其对应齐次方程的特征方程为解得特征根为由第六节定理4知,题设方程的特解是下列两个方程的特解的和:

       (1)

         (2)

因特征方程有重根所以设方程(1)的特解 

将其代入方程并消去整理后得

即

于是得特解

又因特征方程有重根所以设方程(2)的特解为 

求导后代入方程，解出得特解 

所以题设方程的特解为：

例6（E04）求方程的通解.

解   对应的齐次方程的特征方程为特征根

所求齐次方程的通解

由于不是特征方程的根，因此方程的特解形式可设为代入题设方程易解得

故所求方程的通解为

例7 求方程的通解.

解  对应齐次方程的特征方程的特征根为故对应齐次方程的通解

作辅助方程

是单根,故设代入上式得

取虚部得所求非齐次方程特解为

从而题设方程的通解为

或型

例8（E05）求方程的通解.

解  对应齐次方程的特征方程的特征根为故对应齐次方程的通解

作辅助方程

不是特征方程的根，故设代入辅助方程得

取实部得到所求非齐次方程的一个特解:

所求非齐次方程的通解为

例9 设函数满足

求.

解   将方程两端对求导，得微分方程即

特征方程为特征根为对应齐次方程的通解为

注意到方程的右端且不是特征根，根据非齐次方程解的叠加原理，可设特解

代入方程定出从而原方程的通解为

又在原方程的两端令得

又在原方程的两端令得

定出从而所求函数为

例10（E06）求以(其中为任意常数)为通解的线性微分方程.

解法1             (1)

     (2)

由式(1)知代入(2)式得

所求方程为

解法2   因由解的结构知所求方程为二阶常系数非齐次线性微分方程，对应齐次线性方程有两个特解故有二重特征根于是特征方程为即对应齐次线性方程为

令该方程为因为其解,故

从而所求方程为    

例11 已知函数是二阶常系数非齐次线性微分方程

的一个特解, 试确定常数与及该方程的通解.

解法1   将代入原方程得

比较两边同类项系数，得方程组  

解此方程组,得

于是原方程为其通解为

解法2   将已知方程的特解改写为

因对应齐次方程的解应是型的,如是对应齐次方程的解,也可能是，因原方程的自由项是而或是原非齐次方程的解,故也是对应齐次方程的解(即也是特征方程的根).故原方程所对应的齐次方程的特征方程为

即

于是得将代入方程得

原方程的通解为      

内容要点

    形如

            (8.1)

的方程称为欧拉方程, 其中为常数.

欧拉方程的特点是： 方程中各项未知函数导数的阶数与其乘积因子自变量的幂次相同.

作变量替换     或 

将上述变换代入欧拉方程, 则将方程(8.1)化为以t为自变量的常系数线性微分方程, 求出该方程的解后, 把t换为lnx, 即得到原方程的解.

    如果采用记号D表示对自变量t求导的运算则上述结果可以写为

  ，

，

一般地，有

.          (8.2)

例题选讲

例1（E01）求欧拉方程的通解.

解   作变量替换或则题设方程化为

即

两次积分，可求得其通解为

代回原来变量，得原方程的通解

例2（E02）求欧拉方程的通解.

解   作变量变换或原方程化为

即  或    (1) 

方程(1)所对应的齐次方程的特征方程 

求得特征根故所以齐次方程的通解

设特解代入原方程得即故所求欧拉方程的通解为

例3 设有方程

求由此方程所确定的函数

解  将方程两边对求导，整理后得

且有

这是欧拉方程,令或将它化为常系数非齐次线性微分方程

其通解为故原方程的通解为

由初始条件可求得

故由题设方程确定的函数为