2013深圳二模(理数)【含答案--全WORD--精心排版】

2013年深圳市高三年级第二次调研考试

                           数学（理科）                     2013.4

本试卷共6页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．

注意事项：

1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确；之后务必用0.5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损．

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．不按要求填涂的，答案无效．

3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．

4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答．漏涂、错涂、多涂的答案无效．

5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回．

参考公式：① 体积公式：，其中分别是体积、底面积和高；

② 性检验中的随机变量：，其中为样本容量．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．为虚数单位，则（  ）

A．0         B．        C．        D．

2．已知集合，满足条件的集合共有（  ）

A．2个       B．2个       C．3个         D．4个    

3．下列四个函数中，既是定义域上的奇函数又在区间内单调递增的是（  ）

A．       B．       C．         D．

4．一支田径队有男运动员 56 人，女运动员 42 人，若用分层抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为 28 的样本，

则样本中女运动员的人数为（  ）

A．9    B．10    C．11    D．12

5． 已知双曲线渐近线方程为，则以它的顶点为焦点，焦点为顶点的椭圆离心率等于（  ）

A．       B．       C．         D．1   

6．已知，则是的（  ）

A．充分非必要条件    B．必要非充分条件      

C．充要条件            D．既非充分也非必要条件

7．由曲线与直线所围成的平面图形（图1中的阴影部分）的面积是（  ）

A．1          B．          C．           D．   

8．在的展开式中，含的系数是（  ）

A．10          B．15         C．20         D．25   

二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分）

（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题。

9．某组合体的三视图如图2，其中正视图与侧视图相同，则体积是       

10．若直线与曲线相切，则                  。

11．执行图3中程序框图表示的算法，其输出的结果为          。

12．已知向量，是平面区域内的动点，是坐标原点，则的最小值是     。

13．在 的方格中进行跳棋游戏。规定每跳一步只能向左，或向右，或向上，

不能向下，且一次连续行走的路径中不能重复经过同一小方格。设 表示

从左下角“○”位置开始，连续跳到右上角“☆”位置结束的所有不同路径的条数。

如图 4，给出了 时的一条路径。则      ；            。

（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能从中选做一题。

14．在极坐标系中，圆上的点到直线的距离的最大值是      。

15．如图，是圆外一点，为切线，为切点，割线经过圆心，

，则         。

三、解答题

16．已知中，分别为角的对边，，且。

（1）求角的大小；

（2）求。

17．一个箱中原来装有大小相同的 5个球，其中 3个红球，2个白球．规定：进行一次操作是指“从箱中随机取出一个球，如果取出的是红球，则把它放回箱中；如果取出的是白球，则该球不放回，并另补一个红球放到箱中。”

（1）求进行第二次操作后，箱中红球个数为4的概率；

（2）求进行第二次操作后，箱中红球个数的分布列和数学期望。

18．如图6，已知四边形是矩形，，三角形是正三角形，且平面平面。

（1）若是的中点，证明：；

（2）求二面角的余弦值。

19．已知数列满足：，且对任意和均为等差数列。

（1）求的值；

（2）证明：和均成等比数列；

（3）是否存在唯一的正整数，使得恒成立？证明你的结论。

20．已知动点到点的距离与到直线的距离之和为5。

（1）求动点的轨迹的方程，并画出图形；

（2）若直线与轨迹有两个不同的公共点，求的取值范围；

（3）在（2）的条件下，求弦长的最大值。

21．定义，其中。

（1）设，函数，试判断的定义域内零点的个数；

（2）设，函数，求的最小值；

（3）记（2）中最小值为，若是各项均为正数的单调递增数列，证明：。

2013年深圳市高三年级第二次调研考试

数学（理科）参

一、选择题：

三、解答题：

16. 解：（1）（法一），，为钝角（2分），，又，，（5分）

（法二），，为钝角（2分），，

又，，（5分）

（2）（法一）由（1）得，，由正弦定理得：

（10分），

又，，的取值范围为（12分）

（法二）由（1）得，由余弦定理得

（9分），

，（10分），又，，的取值范围为（12分）

17. 解：（1）设表示事件“第1次操作从箱中取出的是红球”，表示事件“第1次操作从箱中取出的是白球”，表示事件“第2次操作从箱中取出的是红球”，表示事件“第2次操作从箱中取出的是白球”，

则表示事件“第1次操作从箱中取出的是红球，且第2次操作从箱中取出的是白球”，有条件概率的计算公式，得（2分），

表示事件“第1次操作从箱中取出的是白球，且第2次操作从箱中取出的是红球”，有条件概率的计算公式，得（4分），

表示事件“进行第2次操作后，箱中红球个数为4”，又与是互斥事件，

（6分）

（2）设进行第2次操作后，箱中红球个数为，则（8分），

，，，分布列为：

18. 解：

（法一）（1）连结，是矩形，且，是的中点，①（1分）

又，，，，，又，，同理，在和中，，，（3分），，又，，又，②（5分），由①②及，，，又，（7分）

（2）延长相较于点，，，分别为的中点（8分），取中点，连结，是正三角形，③，又由（1）得，又，，，又，④（10分），又，是二面角的一个平面角，，是正三角形，，，，在中，由余弦定理得，即二面角的余弦值为（14分）.

（法二）

（1），，，又是矩形，，，又，，同理，在和中，，，，取中点，连结，则两两垂直（2分），以为原点，分别以为轴，如图建立空间直角坐标系，，，又是正三角形，是等腰三角形（3分），，，（5分），，，即（7分）

（2）由（1）得，设面的法向量为，由，令，则（9分），

又，设面的法向量为，由，令，则（11分），（13分），

又法向量均指向二面角外，所以二面角的平面角与角互补，

故二面角的余弦值为（14分）.

19. 解：（1）（2分）

（2）依题意，对任意的正整数，有（4分），

，，是以首项为，公比为的等比数列（6分），，，是以首项为，公比为1的等比数列（8分）

（3）由（2）得（9分），解得，（10分），显然，是单调递增数列，是单调递减数列，且，，即存在正整数，使得对任意的，有（12分），又令，解得，而，，即对任意的且时，，所以正整数也是唯一的，

综上所述，存在唯一的正整数，使得对任意的，有（14分）.

20. 解：（1）

设动点，依题意：（2分），化简得，或，

故点的轨迹方程为，或（4分），其图形是抛物线或位于的部分（如图所示）（5分）

（2）记抛物线段为，抛物线段为，与的公共点为和，当直线经过点时，，由解得或，点不在抛物线段上，要使直线与轨迹有两个不同的公共点，则①（7分）；当直线与抛物线相切时，由，得切点，，切点在抛物线段上，要使直线与轨迹有两个不同的公共点，则②（9分）；

综上所述，的取值范围为（10分）

（3）当时，直线与轨迹的两个不同公共点均在抛物线段上，且；

当，直线与轨迹的两个不同公共点分别在抛物线段和抛物线段上，且点是直线与抛物线两交点中左下方的点，点是直线与抛物线两交点中右下方的点（如图），由解得，点的横坐标，由解得，点的横坐标，（12分），

令，

，

当时，，单调递增；当，，单调递减，

，故时，（14分）.

21. 解：（1），函数的定义域为，

当时，，，，在上为增函数（2分），

当时，，，，在上为增函数（4分），

综上所述，函数在定义域内为增函数，又，在定义域内有且只有一个零点（5分）

（2）易知的定义域为，，而，，由（1）容易得到以下结论：

①当时，，在在上为减函数，从而（6分）；

②当时，，令，得，当时，，单调递减；当时，，单调递增；当时，有最小值（7分）

③当时，，在在上为增函数，从而（8分）；

综上所述，当时，有最小值（10分）

（3）由（2）知， 

先证明，，即证明：

，，

将视为常数，视为变量，构造下列函数：

，其中，

则，在上单调递减，

而，因为是各项均为正数的单调递增数列，，，所以，即，，

所以，（12分），

于是，（14分）.