九年级上册数学二次函数知识点汇总

知识点一：二次函数的定义

1．二次函数的定义：

一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数．

其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项．

知识点二：二次函数的图象与性质抛物线的三要素：开口、对称轴、顶点

2. 二次函数的图象与性质

（1）二次函数基本形式的图象与性质：a的绝对值越大，抛物线的开口越小

（2）的图象与性质：上加下减

（3）的图象与性质：左加右减

（4）二次函数的图象与性质

3. 二次函数的图像与性质

  （1）当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为．

当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值．

 （2）当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为．

当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值．

4. 二次函数常见方法指导

（1）二次函数图象的画法

①画精确图  五点绘图法（列表-描点-连线）

利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.

②画草图   抓住以下几点：开口方向，对称轴，与轴的交点，顶点.

（2）二次函数图象的平移

平移步骤：

1将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；

② 可以由抛物线经过适当的平移得到具体平移方法如下：

平移规律：概括成八个字“左加右减，上加下减”．

（3）用待定系数法求二次函数的解析式

①一般式：.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式.

②顶点式：.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

③交点式： .已知图象与轴的交点坐标、，通常选择交点式.

（4）求抛物线的顶点、对称轴的方法

①公式法：，∴顶点是，对称轴是直线.

②配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(,)，对称轴是直线.

  ③运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.

（5）抛物线中，的作用

①决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.

②和共同决定抛物线对称轴的位置

由于抛物线的对称轴是直线，故

如果时，对称轴为轴；

如果（即、同号）时，对称轴在轴左侧；

如果（即、异号）时，对称轴在轴右侧.

③的大小决定抛物线与轴交点的位置

当时，，所以抛物线与轴有且只有一个交点（0，），故

如果，抛物线经过原点；

如果,与轴交于正半轴；

如果,与轴交于负半轴.

知识点三：二次函数与一元二次方程的关系

5.函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与轴交点的横坐标，因此二次函数图象与轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.

(1)当二次函数的图象与轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；

(2)当二次函数的图象与轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；(3)当二次函数的图象与轴没有交点，这时，则方程没有实根.

通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系：

（1）轴与抛物线得交点为.

（2）与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,).

 （3）抛物线与轴的交点

      二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：

      ①有两个交点抛物线与轴相交；

      ②有一个交点（顶点在轴上）抛物线与轴相切；

      ③没有交点抛物线与轴相离.

  （4）平行于轴的直线与抛物线的交点

      同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根.

  （5）一次函数的图像与二次函数的图像的交点，由方程组的解的数目来确定：

     ①方程组有两组不同的解时与有两个交点; 

    ②方程组只有一组解时与只有一个交点；

    ③方程组无解时与没有交点.

  （6）抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交点为，由于、是方程的两个根，故

知识点四：利用二次函数解决实际问题

　　7.利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.

　　利用二次函数解决实际问题的一般步骤是：

　　(1)建立适当的平面直角坐标系；

　　(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来；

　　(3)用待定系数法求出抛物线的关系式；

(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题.