2018-2019学年武汉市硚口区八年级下期中数学试卷(含答案解析)

一、选择題（共10小题，每小题3分，共30分下列各题均有四个备选选项，其中有且只有一个正确，请在答题卡上将正确答案的字母涂黑．

1．若式子在实数范围内有意义，则a的取值范围是（　　）

A．a＞3    B．a≥3    C．a＜3    D．a≤3

2．若＝4﹣b，则b满足的条件是（　　）

A．b＞4    B．b＜4    C．b≥4    D．b≤4

3．以下列长度的线段为边，不能构成直角三角形的是（　　）

A．2，3，4    B．1，1，    C．    D．5，12，13

4．在平行四边形ABCD中，已知∠A＝60°，则∠D的度数是（　　）

A．60°    B．90°    C．120°    D．30°

5．下列计算正确的是（　　）

A．    B．    C．    D．

6．如图，一竖直的木杆在离地面4米处折断，木頂端落在地面离木杆底端3米处，木杆折断之前的高度为（　　）

A．7米    B．8米    C．9米    D．12米

7．如图，▱ABCD的顶点坐标分别为A（1，4）、B（1，1）、C（5，2），则点D的坐标为（　　）

A．（5，5）    B．（5，6）    C．（6，6）    D．（5，4）

8．如图，A（0，1），B（3，2），点P为x轴上任意一点，则PA+PB的最小值为（　　）

A．3    B．    C．    D．

9．如图，在正方形网格中用没有刻度的直尺作一组对边长度为的平行四边形．在1×3的正方形网格中最多作2个，在1×4的正方形网格中最多作6个，在1×5的正方形网格中最多作12个，则在1×8的正方形网格中最多可以作（　　）

A．28个    B．42个    C．21个    D．56个

10．如图，正方形ABCD中，点O为对角线的交点，直线EF过点O分别交AB、CD于E、F两点（BE＞EA），若过点O作直线与正方形的一组对边分別交于G、H两点，满足GH＝EF，则这样的直线GH（不同于直线EF）的条数共有（　　）

A．1条    B．2条    C．3条    D．无数条

二、填空题（每小题3分，共18分

11．16的平方根是　   　．

12．计算：÷＝　   　．

13．已知等边三角形的边长为6，则面积为　   　．

14．如图，菱形ABCD的周长为8，对角线BD＝2，则对角线AC为　   　．

15．如图，在直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC翻折，B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E．那么点E的坐标　   　．

16．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝5，DA＝5，则BD的长为　   　．

三、解答题（共8小題，共72分）

17．（8分）计算：

①；

②．

18．（8分）计算：

①

②

19．（8分）一根直立于水中的芦节（BD）高出水面（AC）2米，一阵风吹来，芦苇的顶端D恰好到达水面的C处，且C到BD的距离AC＝6米，求水的深度（AB）为多少米？

20．（8分）如图，AE∥BF，AC平分∠BAD，且交BF于点C，BD平分∠ABC，且交AE于点D，连接CD．求证：四边形ABCD是菱形．

21．（8分）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1．

（1）求△ABC的周长；

（2）求证：∠ABC＝90°；

（3）若点P为直线AC上任意一点，则线段BP的最小值为　   　．

22．（10分）如图1，点D、E、F、G分别为线段AB、OB、OC、AC的中点．

（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；

（2）如图2，若点M为EF的中点，BE：CF：DG＝2：3：，求证：∠MOF＝∠EFO．

23．（10分）已知点A为正方形BCDE内一动点，满足∠DAC＝135°，且b＝+5．

（1）求a、b的值；

（2）如图1，若线段AB＝b，AC＝a，求线段AD的长；

（3）如图2，设线段AB＝m，AC＝n，AD＝h，请探究并直接写出三个量m2、n2、h2之间满足的数量关系．

24．（12分）在正方形ABCD中，点E为边BC（不含B点）上的一动点，AE⊥EF，且AE＝EF，FG⊥BC的延长线于点G．

（1）如图1，求证：BE＝FG；

（2）如图2，连接BD，过点F作FH∥BC交BD于点H，连接HE，判断四边形EGFH的形状，并给出证明；

（3）如图3，点P、Q为正方形ABCD内两点，AB＝BQ，且∠ABQ＝30°，BP平分∠QBC，BP＝DP，若BC＝+1，求线段PQ的长．

2018-2019学年湖北省武汉市硚口区八年级（下）期中数学试卷

参与试题解析

一、选择題（共10小题，每小题3分，共30分下列各题均有四个备选选项，其中有且只有一个正确，请在答题卡上将正确答案的字母涂黑．

1．若式子在实数范围内有意义，则a的取值范围是（　　）

A．a＞3    B．a≥3    C．a＜3    D．a≤3

【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．

【解答】解：由题意得，a﹣3≥0，

解得a≥3．

故选：B．

【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．

2．若＝4﹣b，则b满足的条件是（　　）

A．b＞4    B．b＜4    C．b≥4    D．b≤4

【分析】根据二次根式的性质列出不等式，解不等式即可．

【解答】解：∵＝4﹣b，

∴4﹣b≥0，

解得，b≤4，

故选：D．

【点评】本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质：＝|a|是解题的关键．

3．以下列长度的线段为边，不能构成直角三角形的是（　　）

A．2，3，4    B．1，1，    C．    D．5，12，13

【分析】根据勾股定理的逆定理对四个选项进行逐一判断即可．

【解答】解：A、∵22+32＝13≠42，∴不能构成直角三角形，故本选项符合要求；

B、∵12+12＝（）2，∴能构成直角三角形，故本选项不符合要求；

C、∵（）2+（）2＝（）2，∴能构成直角三角形，故本选项不符合要求；

D、∵52+122＝132，∴能构成直角三角形，故本选项不符合要求．

故选：A．

【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．

4．在平行四边形ABCD中，已知∠A＝60°，则∠D的度数是（　　）

A．60°    B．90°    C．120°    D．30°

【分析】根据平行四边形邻角互补的性质即可求解．

【解答】解：∵在平行四边形ABCD中，∠A＝60°，

∴∠D＝180°﹣60°＝120°．

故选：C．

【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，关键是熟练掌握平行四边形邻角互补的知识点．

5．下列计算正确的是（　　）

A．    B．    C．    D．

【分析】根据二次根式的性质与同类二次根式的定义逐一计算可得．

【解答】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；

B、4﹣3＝3，此选项错误；

C、×＝，此选项正确；

D、（3）2＝18，此选项错误；

故选：C．

【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质和二次根数混合运算顺序及其法则．

6．如图，一竖直的木杆在离地面4米处折断，木頂端落在地面离木杆底端3米处，木杆折断之前的高度为（　　）

A．7米    B．8米    C．9米    D．12米

【分析】由题意得，在直角三角形中，知道了两直角边，运用勾股定理即可求出斜边，从而得出这棵树折断之前的高度．

【解答】解：∵一竖直的木杆在离地面4米处折断，頂端落在地面离木杆底端3米处，

∴折断的部分长为＝5（米），

∴折断前高度为5+4＝9（米）．

故选：C．

【点评】此题考查了勾股定理的应用，主要考查学生对勾股定理在实际生活中的运用能力．

7．如图，▱ABCD的顶点坐标分别为A（1，4）、B（1，1）、C（5，2），则点D的坐标为（　　）

A．（5，5）    B．（5，6）    C．（6，6）    D．（5，4）

【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得AB∥CD，AB＝CD，继而求得答案．

【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AB＝CD，

∵A（1，4）、B（1，1）、C（5，2），

∴AB＝3，

∴点D的坐标为（5，5）．

故选：A．

【点评】此题考查了平行四边形的性质．注意平行四边形的对边平行且相等．

8．如图，A（0，1），B（3，2），点P为x轴上任意一点，则PA+PB的最小值为（　　）

A．3    B．    C．    D．

【分析】作点A关于x轴的对称点A′．连接BA′交x轴于点P，此时PA+PB的值最小．根据勾股定理求出BA′即可；

【解答】解：作点A关于x轴的对称点A′．连接BA′交x轴于点P，此时PA+PB的值最小．

PA+PB的最小值＝BA′＝＝3，

故选：B．

【点评】本题考查轴对称﹣最短问题，坐标用图形的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．

9．如图，在正方形网格中用没有刻度的直尺作一组对边长度为的平行四边形．在1×3的正方形网格中最多作2个，在1×4的正方形网格中最多作6个，在1×5的正方形网格中最多作12个，则在1×8的正方形网格中最多可以作（　　）

A．28个    B．42个    C．21个    D．56个

【分析】根据已知图形的出在1×n的正方形网格中最多作2×（1+2+3+…+n﹣2）个，据此可得．

【解答】解：∵在1×3的正方形网格中最多作2＝2×1个，

在1×4的正方形网格中最多作6＝2×（1+2）个，

在1×5的正方形网格中最多作12＝2×（1+2+3）个，

……

∴在1×8的正方形网格中最多作2×（1+2+3+4+5+6）＝42个，

故选：B．

【点评】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是根据题意得出在1×n的正方形网格中最多作2×（1+2+3+…+n﹣2）个．

10．如图，正方形ABCD中，点O为对角线的交点，直线EF过点O分别交AB、CD于E、F两点（BE＞EA），若过点O作直线与正方形的一组对边分別交于G、H两点，满足GH＝EF，则这样的直线GH（不同于直线EF）的条数共有（　　）

A．1条    B．2条    C．3条    D．无数条

【分析】根据对称性以及旋转变换的性质，画出图形即可解决问题，如图所示；

【解答】解：根据对称性以及旋转变换的性质可知满足条件的线段有3条，如图所示；

故选：C．

【点评】本题考查正方形的性质、旋转变换等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

二、填空题（每小题3分，共18分

11．16的平方根是　±4　．

【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2＝a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．

【解答】解：∵（±4）2＝16，

∴16的平方根是±4．

故答案为：±4．

【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．

12．计算：÷＝　3　．

【分析】根据二次根式是除法法则进行计算．

【解答】解：原式＝＝＝＝3．

故答案是：3．

【点评】本题考查了二次根式的乘除法．二次根式的除法法则：÷＝（a≥0，b＞0）．

13．已知等边三角形的边长为6，则面积为　9　．

【分析】根据等边三角形三线合一的性质可得D为BC的中点，即BD＝CD，在直角三角形ABD中，已知AB、BD，根据勾股定理即可求得AD的长，即可求三角形ABC的面积，即可解题．

【解答】解：等边三角形高线即中线，故D为BC中点，

∵AB＝6，

∴BD＝3，

∴AD＝＝3，

∴等边△ABC的面积＝BC•AD＝×6×3＝9．

故答案为：9．

【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，等边三角形面积的计算，本题中根据勾股定理计算AD的值是解题的关键．

14．如图，菱形ABCD的周长为8，对角线BD＝2，则对角线AC为　2　．

【分析】设菱形的对角线相交于O，根据菱形性质得出AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，BO＝OD，AO＝OC，求出OB，根据勾股定理求出OA，即可求出AC．

【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，

∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，BO＝OD，AO＝OC，

∵菱形的周长是8，

∴DC＝×8＝2，

∵BD＝2，

∴OD＝1，

在Rt△DOC中，OC＝＝，

∴AC＝2OC＝2，

故答案为：2．

【点评】本题考查了菱形的性质和勾股定理，注意：菱形的对角线互相垂直平分，菱形的四条边相等．

15．如图，在直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC翻折，B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E．那么点E的坐标　（0，）　．

【分析】先证明EA＝EC（设为x）；根据勾股定理列出x2＝12+（3﹣x）2，求得x＝，即可解决问题．

【解答】解：由题意知：∠BAC＝∠DAC，AB∥OC，

∴∠ECA＝∠BAC，

∴∠ECA＝∠DAC，

∴EA＝EC（设为x）；由题意得：

OA＝1，OC＝AB＝3；

由勾股定理得：x2＝12+（3﹣x）2，

解得：x＝，

∴OE＝3﹣＝，

∴E点的坐标为（0，）．

故答案为：（0，）．

【点评】该题主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．

16．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝5，DA＝5，则BD的长为　　．

【分析】作DM⊥BC，交BC延长线于M，由勾股定理得出AC2＝AB2+BC2＝25，求出AC2+CD2＝AD2，由勾股定理的逆定理得出△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°，证出∠ACB＝∠CDM，得出△ABC≌△CMD，由全等三角形的性质求出CM＝AB＝3，DM＝BC＝4，得出BM＝BC+CM＝7，再由勾股定理求出BD即可．

【解答】解：作DM⊥BC，交BC延长线于M，如图所示：

则∠M＝90°，

∴∠DCM+∠CDM＝90°，

∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，

∴AC2＝AB2+BC2＝25，

∴AC＝5，

∵AD＝5，CD＝5，

∴AC2+CD2＝AD2，

∴△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°，

∴∠ACB+∠DCM＝90°，

∴∠ACB＝∠CDM，

∵∠ABC＝∠M＝90°，

在△ABC和△CMD中

∴△ABC≌△CMD，

∴CM＝AB＝3，DM＝BC＝4，

∴BM＝BC+CM＝7，

∴BD＝＝＝，

故答案为：．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、勾股定理的逆定理；熟练掌握全等三角形的判定与性质，由勾股定理的逆定理证出△ACD是直角三角形是解决问题的关键．

三、解答题（共8小題，共72分）

17．（8分）计算：

①；

②．

【分析】①先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可得；

②根据二次根式的乘法运算法则计算可得．

【解答】解：①原式＝3﹣4+2＝；

②原式＝＝＝3．

【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质和二次根数混合运算顺序及其法则．

18．（8分）计算：

①

②

【分析】①先利用完全平方公式和平方差公式计算乘法和乘方，再合并同类二次根式即可得；

②先化简各二次根式，再计算乘法，继而合并同类二次根式即可得．

【解答】解：①原式＝2+6+4+3﹣6＝5+4；

②原式＝6×﹣×6

＝3﹣15

＝﹣12．

【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质及二次根式混合运算顺序和运算法则．

19．（8分）一根直立于水中的芦节（BD）高出水面（AC）2米，一阵风吹来，芦苇的顶端D恰好到达水面的C处，且C到BD的距离AC＝6米，求水的深度（AB）为多少米？

【分析】先设水深为x，则AB＝x，求出x的长，再由勾股定理即可得出结论．

【解答】解：∵先设水深为x，则AB＝x，BC＝（x+2），

∵AC＝6米，

在△ABC中，AB2+AC2＝BC2，即62+x2＝（x+2）2，解得x＝8（米）．

答：水深AB为8米．

【点评】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．

20．（8分）如图，AE∥BF，AC平分∠BAD，且交BF于点C，BD平分∠ABC，且交AE于点D，连接CD．求证：四边形ABCD是菱形．

【分析】根据平行线的性质得出∠ADB＝∠DBC，∠DAC＝∠BCA，根据角平分线定义得出∠DAC＝∠BAC，∠ABD＝∠DBC，求出∠BAC＝∠ACB，∠ABD＝∠ADB，根据等腰三角形的判定得出AB＝BC＝AD，根据平行四边形的判定得出四边形ABCD是平行四边形，即可得出答案．

【解答】证明：

∵AE∥BF，

∴∠ADB＝∠DBC，∠DAC＝∠BCA，

∵AC、BD分别是∠BAD、∠ABC的平分线，

∴∠DAC＝∠BAC，∠ABD＝∠DBC，

∴∠BAC＝∠ACB，∠ABD＝∠ADB，

∴AB＝BC，AB＝AD

∴AD＝BC，

∵AD∥BC，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∵AD＝AB，

∴四边形ABCD是菱形．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定的应用，能得出四边形ABCD是平行四边形是解此题的关键．

21．（8分）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1．

（1）求△ABC的周长；

（2）求证：∠ABC＝90°；

（3）若点P为直线AC上任意一点，则线段BP的最小值为　2　．

【分析】（1）运用勾股定理求得AB，BC及AC的长，即可求出△ABC的周长．

（2）运用勾股定理的逆定理求得AC2＝AB2+BC2，得出∠ABC＝90°．

（3）过B作BP⊥AC，解答即可．

【解答】解：（1）AB＝，BC＝，AC＝，

△ABC的周长＝2++5＝3+5，

（2）∵AC2＝25，AB2＝20，BC2＝5，

∴AC2＝AB2+BC2，

∴∠ABC＝90°．

（3）过B作BP⊥AC，

∵△ABC的面积＝，

即，

解得BP＝2，

故答案为：2

【点评】本题主要考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，熟记勾股定理是解题的关键．

22．（10分）如图1，点D、E、F、G分别为线段AB、OB、OC、AC的中点．

（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；

（2）如图2，若点M为EF的中点，BE：CF：DG＝2：3：，求证：∠MOF＝∠EFO．

【分析】（1）根据中位线定理得：DG∥BC，DG＝BC，EF∥BC，EF＝BC，则DG＝BC，DE∥BC，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得：四边形DEFG是平行四边形；

（2）先根据已知的比的关系设未知数：设BE＝2x，CF＝3x，DG＝x，根据勾股定理的逆定理得：∠EOF＝90°，最后利用直角三角形斜边中线的性质可得OM＝FM，由等边对等角可得结论．

【解答】证明：（1）∵D是AB的中点，G是AC的中点，

∴DG是△ABC的中位线，

∴DG∥BC，DG＝BC，

同理得：EF是△OBC的中位线，

∴EF∥BC，EF＝BC，

∴DG＝EF，DG∥EF，

∴四边形DEFG是平行四边形；

（2）∵BE：CF：DG＝2：3：，

∴设BE＝2x，CF＝3x，DG＝x，

∴OE＝2x，OF＝3x，

∵四边形DEFG是平行四边形，

∴DG＝EF＝x，

∴OE2+OF2＝EF2，

∴∠EOF＝90°，

∵点M为EF的中点，

∴OM＝MF，

∴∠MOF＝∠EFO．

【点评】本题考查的是三角形中位线定理、平行四边形的判定、勾股定理的逆定理，掌握三角形中位线定理是解题的关键．

23．（10分）已知点A为正方形BCDE内一动点，满足∠DAC＝135°，且b＝+5．

（1）求a、b的值；

（2）如图1，若线段AB＝b，AC＝a，求线段AD的长；

（3）如图2，设线段AB＝m，AC＝n，AD＝h，请探究并直接写出三个量m2、n2、h2之间满足的数量关系．

【分析】（1）根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案；

（2）把△CAD旋转90°得到△CA′B，根据勾股定理求出AA′，求出∠AA′B＝90°，根据勾股定理计算即可；

（3）仿照（2）的计算方法解答．

【解答】解：（1）由二次根式有意义的条件可知，a﹣3≥0，3﹣a≥0，

∴a＝3，b＝5；

（2）把△CAD旋转90°得到△CA′B，

则AC＝A′C，∠A′CB＝∠ACD，AD＝A′B，

∴∠ACA′＝90°，

∴∠AA′C＝45°，AA′＝＝3，

∴∠AA′B＝90°，

∴A′B＝＝，

∴AD＝A′B＝；

（3）由（2）得，AA′＝＝n，

∴m2﹣2n2＝h2．

【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件、旋转变换的性质、勾股定理的应用，掌握二次根式的被开方数是非负数、旋转变换的性质是解题的关键．

24．（12分）在正方形ABCD中，点E为边BC（不含B点）上的一动点，AE⊥EF，且AE＝EF，FG⊥BC的延长线于点G．

（1）如图1，求证：BE＝FG；

（2）如图2，连接BD，过点F作FH∥BC交BD于点H，连接HE，判断四边形EGFH的形状，并给出证明；

（3）如图3，点P、Q为正方形ABCD内两点，AB＝BQ，且∠ABQ＝30°，BP平分∠QBC，BP＝DP，若BC＝+1，求线段PQ的长．

【分析】（1）欲证明BE＝FG，只要证明△ABE≌△EGF，即可解决问题；

（2）四边形EGFH是矩形．首先证明四边形ECMH是矩形，可得∠FHE＝∠HEG＝∠EGF＝90°，推出四边形EGFH是矩形；

（3）如图3中，连接PC，作PE⊥BC于E，PF⊥BQ于F．∴由PCB≌△PCD，推出∠PCB＝∠PCD＝45°，可证PE＝EC，设PE＝EC＝a，在Rt△PEB中，由∠PBE＝30°，推出PB＝2PE，BE＝a，由BC＝+1，可得a+a＝+1，推出a＝1，再求出FQ、FP即可解决问题；

【解答】解：（1）如图1中，

∵FG⊥EG，AE⊥EF，四边形ABCD是正方形，

∴∠B＝∠AEF＝∠G＝90°，

∴∠BAE+∠AEB＝90°，∠AEB+∠FEG＝90°，

∴∠BAE＝∠FEG，∵AE＝EF，

∴△ABE≌△EGF，

∴BE＝FG．

（2）结论：四边形EGFH是矩形．

理由：如图2中，设FH交CD于M．

∵△ABE≌△EGF，

∴AB＝EG＝BC，

∴BE＝CG＝FG，

∵FM∥CG，FG∥CM，

∴四边形CMFG是平行四边形，

∵GC＝FG，∠MCG＝90°，

∴四边形CMFG是正方形，

∴CM＝CG＝BE，

∵BC＝CD，

∴CE＝DM，

∵FH∥BC，

∴∠DMH＝∠DCB＝90°，

∵∠MDH＝45°，

∴∠MDH＝∠MHD＝45°，

∴DM＝HM＝EC，

∵HM∥EC，

∴四边形CEHM是平行四边形，

∵∠ECM＝90°，

∴四边形ECMH是矩形，

∴∠FHE＝∠HEG＝∠EGF＝90°，

∴四边形EGFH是矩形．

（3）如图3中，连接PC，作PE⊥BC于E，PF⊥BQ于F．

∵PB＝PD，PC＝PC，BC＝CD，

∴△PCB≌△PCD，

∴∠PCB＝∠PCD＝45°，

∵PE⊥EC，

∴∠PCE＝∠EPC＝45°，

∴PE＝EC，设PE＝EC＝a，

在Rt△PEB中，∵∠PBE＝30°，

∴PB＝2PE，BE＝a，

∵BC＝+1，

∴a+a＝+1，

∴a＝1，

∴PB＝2

在Rt△PFB中，∵∠PBF＝30°，

∴PF＝1，BF＝，

∵BQ＝BQ＝BC＝+1，

∴FQ＝1，

∴PQ＝＝．

【点评】本题考查四边形综合题、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质、勾股定理、直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．