| 2011年辽宁省锦州市中考数学一模试卷 |
2011年辽宁省锦州市中考数学一模试卷
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的，请将正确答案的序号填入下表中相应题号下的表格内，本答题共8个小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）（2013•大连）﹣2的相反数是（ ）
| A． | ﹣2 | B． | ﹣ | C． | D． | 2 |
2．（3分）（2011•锦州一模）2011年3月11日，日本发生了9.0级大地震及海啸，给日本人民带来巨大损失，许多人失去了家园，截至4月1日在各避难所避难的人仍约有16.6万，这个数据用科学记数法可表示为（ ）
| A． | 166×103 | B． | 16.6×104 | C． | 1.66×105 | D． | 0.166×106 |
3．（3分）（2007•台州）一个几何体的展开图如图所示，则该几何体的顶点有（ ）
| A． | 10个 | B． | 8个 | C． | 6个 | D． | 4个 |
4．（3分）（2006•济南）某快餐店用米饭加不同炒菜配制了一批盒饭，配土豆丝炒肉的有25盒，配芹菜炒肉丝的有30盒，配辣椒炒鸡蛋的有10盒，配芸豆炒肉片的有15盒．每盒盒饭的大小、外形都相同，从中任选一盒，不含辣椒的概率是（ ）
| A． | B． | C． | D． |
5．（3分）（2010•福州）已知反比例函数y=（k≠0）的图象经过点（1，3），则此反比例函数的图象在（ ）
| A． | 第一、二象限 | B． | 第一、三象限 | C． | 第二、四象限 | D． | 第三、四象限 |
6．（3分）（2011•锦州一模）已知抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2010的值为（ ）
| A． | 2008 | B． | 2009 | C． | 2010 | D． | 2011 |
7．（3分）（2011•枣庄）如图，边长为（m+3）的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），若拼成的矩形一边长为3，则另一边长是（ ）
| A． | 2m+3 | B． | 2m+6 | C． | m+3 | D． | m+6 |
8．（3分）（2010•潼南县）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，四边形EFGH是边长为2的正方形，点D与点F重合，点B，D（F），H在同一条直线上，将正方形ABCD沿F⇒H方向平移至点B与点H重合时停止，设点D、F之间的距离为x，正方形ABCD与正方形EFGH重叠部分的面积为y，则能大致反映y与x之间函数关系的图象是（ ）
| A． | B． | C． | D． |
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）（2012•镇江）计算：﹣2×3= _________ ．
10．（3分）（2009•邵阳）如图，AB∥CD，直线EF与AB，CD分别相交于E，F两点，EP平分∠AEF，过点F作FP⊥EP，垂足为P，若∠PEF=30°，则∠PFC= _________ 度．
11．（3分）（2011•淮安二模）已知一次函数y=（a﹣1）x+b的图象如图所示，那么a的取值范围是 _________ ．
12．（3分）（2004•北碚区）为发展农业经济，致富奔小康，养鸡专业户王大伯2004年养了2000只鸡，上市前，他随机抽取了10只鸡，称得重量统计如下表：估计这批鸡的总重量为 _________ kg．
| 重量（单位：kg） | 2 | 2.2 | 2.5 | 2.8 | 3 |
| 数量（单位：只） | 1 | 2 | 4 | 2 | 1 |
13．（3分）（2013•宝应县二模）如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB⊥BC，AB=2cm，CD=4cm．以BC上一点O为圆心的圆经过A、D两点，且∠AOD=90°，则圆心O到弦AD的距离是 _________ cm．
14．（3分）（2006•泰州）小明和小兵两人参加学校组织的理化实验操作测试，近期的5次测试成绩如图所示，则小明5次成绩的方差S12与小兵5次成绩的方差S22之间的大小关系为S12 _________ S22．
（填“＞”、“＜”、“=”）
15．（3分）（2009•庆阳）如图，正方形OEFG和正方形ABCD是位似形，点F的坐标为（1，1），点C的坐标为（4，2），则这两个正方形位似中心的坐标是 _________ ．
16．（3分）（2011•锦州一模）有一列数a1，a2，a3，a4，a5，…，其中a1=5×2+1，a2=5×3+2，a3=5×4+3，a4=5×5+4，a5=5×6+5，…，当an=2009时，n的值等于 _________ ．
三、解答题（本大题共2个题，每题8分，共16分）
17．（8分）（2006•内江）先化简再求值：，其中a=b=1．
18．（8分）（2013•营口）在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABC的三个顶点都在格点上．（每个小方格的顶点叫格点）
（1）画出△ABC向下平移3个单位后的△A1B1C1；
（2）画出△ABC绕点O顺时针旋转90°后的△A2B2C2，并求点A旋转到A2所经过的路线长．
四、解答题（本大题共2个题，每题10分，共20分）
19．（10分）（2007•临汾）某中学学生会为考察该校学生参加课外体育活动的情况，采取抽样调查的方法从篮球、排球、乒乓球、足球及其他等五个方面调查了若干名学生的兴趣爱好（每人只能选其中一项），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）在这次考察中一共调查了多少名学生？
（2）在扇形统计图中，“乒乓球”部分所对应的圆心角是多少度？
（3）补全条形统计图；
（4）若全校有1800名学生，试估计该校喜欢篮球的学生约有多少人？
20．（10分）（2011•锦州一模）如图是一个被平均分成6等份的转盘，每一个扇形中都标有相应的数字，甲乙两人分别转动转盘，设甲转动转盘后指针所指区域内的数字为x，乙转动转盘后指针所指区域内的数字为y（当指针在边界上时，重转一次，直到指向一个区域为止）．
（1）直接写出甲转动转盘后所指区域内的数字为负数的概率；
（2）用树状图或列表法，求出点（x，y）落在第二象限内的概率．
五、解答题（本大题共2个题，每题10分，共20分）
21．（10分）（2011•锦州一模）“村村通油路工程”加快了锦州市建设社会主义新农村的步伐，如图，C村村民欲修建一条水泥公路将C村与县级公路相连，在公路A处测得C村在北偏东60°方向，前进600米，在B处测得C村在北偏东45°方向．
（1）为节约资源，要求所修公路长度最短，试求符合条件的公路长度．（精确到米，参考数据：=1.414，=1.732，=2，=1）
（2）经预算，修建1000米这样的水泥公路约需人民币30万元，按国家的相关，对修建该条水泥公路拨款人民币10万元，其余部分由村民自发筹集，试求修建该条水泥公路村民需自筹资金多少万元．
22．（10分）（2011•锦州一模）服装商场按标价销售某种T恤衫时，每件可获利45元；如果按标价的九折销售每件仍可获利润25元．
（1）该种T恤衫的每件的进价、标价分别是多少元？
（2）若每件T恤衫按（1）中求出的进价进货，标价售出，商场每天可售出该种T恤衫100件，若每件降价1元，则每天可多售出4件，问每件T恤衫降价多少元出售？每天获得的利润最大？获得的最大利润是多少元？
六、解答题（本大题共2个题，每题10分，共20分）
23．（10分）（2011•锦州一模）如图，AB是⊙O的直径，过⊙O上的点E作⊙O的切线，交AB延长线于点C，过A点作AD⊥CE于点D，且与⊙O交于点F，连接AE、BF．
（1）AE是否为∠CAD的平分线，说明理由；
（2）若CB=2，CE=4，求⊙O的半径及BF的长．
24．（10分）（2007•泉州）李明从泉州乘汽车沿高速公路前往A地，已知该汽车的平均速度是100千米/小时，它行驶t小时后距泉州的路程为s1千米．
（1）请用含t的代数式表示s1；
（2）设另有王红同时从A地乘汽车沿同一条高速公路回泉州，已知这辆汽车距泉州的路程s2（千米）与行驶时间t（时）之间的函数关系式为s2=kt+b（k、t为常数，k≠0），若李红从A地回到泉州用了9小时，且当t=2时，s2=560，k与b的值；
②试问在两辆汽车相遇之前，当行驶时间t的取值在什么范围内，两车的距离小于288千米？
七、解答题（本题共12分）
25．（12分）（2011•锦州一模）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，P为BC边上任意一点，点Q为AC边动点，分别以CP、PQ为边做等边△PCF和等边△PQE，连接EF．
（1）试探索EF与AB位置关系，并证明；
（2）如图2，当点P为BC延长线上任意一点时，（1）结论是否成立？请说明理由．
（3）如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=m°，P为BC延长线上一点，点Q为AC边动点，分别以CP、PQ为腰做等腰△PCF和等腰△PQE，使得PC=PF，PQ=PE，连接EF．要使（1）的结论依然成立，则需要添加怎样的条件？为什么？
八、解答题（本题共14分）
26．（14分）（2011•锦州一模）如图，已知抛物线经过原点O和x轴上另一点A，它的对称轴x=﹣2与x轴交于点C，直线y=﹣2x+1经过抛物线上一点B（2，m），且与y轴．直线x=﹣2分别交于点D、E．
（1）求m的值及该抛物线对应的函数关系式；
（2）①判断△CBE的形状，并说明理由；②判断CD与BE的位置关系；
（3）若P（x，y）是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点P，使得PB=PE？若存在，试求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2011年辽宁省锦州市中考数学一模试卷
参与试题解析
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的，请将正确答案的序号填入下表中相应题号下的表格内，本答题共8个小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）（2013•大连）﹣2的相反数是（ ）
| A． | ﹣2 | B． | ﹣ | C． | D． | 2 |
| 考点： | 相反数．2218824 |
| 分析： | 一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号． |
| 解答： | 解：﹣2的相反数是2．故选D． |
| 点评： | 本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号．一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0． |
2．（3分）（2011•锦州一模）2011年3月11日，日本发生了9.0级大地震及海啸，给日本人民带来巨大损失，许多人失去了家园，截至4月1日在各避难所避难的人仍约有16.6万，这个数据用科学记数法可表示为（ ）
| A． | 166×103 | B． | 16.6×104 | C． | 1.66×105 | D． | 0.166×106 |
| 考点： | 科学记数法—表示较大的数．2218824 |
| 专题： | 常规题型． |
| 分析： | 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． |
| 解答： | 解：将16.6万用科学记数法表示为1.66×105． 故选C． |
| 点评： | 本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． |
3．（3分）（2007•台州）一个几何体的展开图如图所示，则该几何体的顶点有（ ）
| A． | 10个 | B． | 8个 | C． | 6个 | D． | 4个 |
| 考点： | 几何体的展开图．2218824 |
| 分析： | 由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点确定立体图形为三棱柱，在根据三棱柱的特性解题． |
| 解答： | 解：观察图可得，这是个上底面、下底面为三角形，侧面有三个正方形的三棱柱的展开图，则该几何体的顶点有6个． 故选C． |
| 点评： | 此题关键是先确定是三棱柱的展开图，再确定顶点的个数为2×3=6个． |
4．（3分）（2006•济南）某快餐店用米饭加不同炒菜配制了一批盒饭，配土豆丝炒肉的有25盒，配芹菜炒肉丝的有30盒，配辣椒炒鸡蛋的有10盒，配芸豆炒肉片的有15盒．每盒盒饭的大小、外形都相同，从中任选一盒，不含辣椒的概率是（ ）
| A． | B． | C． | D． |
| 考点： | 概率公式．2218824 |
| 分析： | 让不含辣椒的盒饭数除以总盒饭数即为从中任选一盒，不含辣椒的概率． |
| 解答： | 解：配土豆丝炒肉的有25盒，配芹菜炒肉丝的有30盒，配辣椒炒鸡蛋的有10盒，配芸豆炒肉片的有15盒，全部是80盒，不含辣椒的有70盒，所以从中任选一盒，不含辣椒的概率是=． 故选A． |
| 点评： | 本题比较容易，考查等可能条件下的概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． |
5．（3分）（2010•福州）已知反比例函数y=（k≠0）的图象经过点（1，3），则此反比例函数的图象在（ ）
| A． | 第一、二象限 | B． | 第一、三象限 | C． | 第二、四象限 | D． | 第三、四象限 |
| 考点： | 反比例函数的性质．2218824 |
| 专题： | 压轴题． |
| 分析： | 利用反比例函数的性质，k=3＞0，函数位于一、三象限． |
| 解答： | 解：∵反比例函数y=（k≠0）的图象经过点（1，3）， ∴代入y=（k≠0）得，k=3，即k＞0， 根据反比例函数的性质，反比例函数的图象在第一、三象限． 故选B． |
| 点评： | 本题考查了反比例函数的性质，重点是y=中k的取值． |
6．（3分）（2011•锦州一模）已知抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2010的值为（ ）
| A． | 2008 | B． | 2009 | C． | 2010 | D． | 2011 |
| 考点： | 抛物线与x轴的交点；代数式求值．2218824 |
| 分析： | 根据抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），代入函数解析式得出，得出m2﹣m的值，代入m2﹣m+2010得出正确答案． |
| 解答： | 解：∵抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0）， ∴将点（m，0）代入得， 0=m2﹣m﹣1， ∴m2﹣m=1， ∴代数式m2﹣m+2010的值为， m2﹣m+2010=1+2010=2011． 故选D． |
| 点评： | 此题主要考查了整体换元法求代数式的值，这种题型是近几年中考中重点题型，同学们应正确运用这种方法． |
7．（3分）（2011•枣庄）如图，边长为（m+3）的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），若拼成的矩形一边长为3，则另一边长是（ ）
| A． | 2m+3 | B． | 2m+6 | C． | m+3 | D． | m+6 |
| 考点： | 整式的混合运算．2218824 |
| 专题： | 压轴题． |
| 分析： | 由于边长为（m+3）的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），那么根据正方形的面积剩余部分的面积可以求出，而矩形一边长为3，利用矩形的面积公式即可求出另一边长． |
| 解答： | 解：依题意得剩余部分为 （m+3）2﹣m2=m2+6m+9﹣m2=6m+9， 而拼成的矩形一边长为3， ∴另一边长是（6m+9）÷3=2m+3． 故选A． |
| 点评： | 本题主要考查了多项式除以单项式，解题关键是熟悉除法法则． |
8．（3分）（2010•潼南县）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，四边形EFGH是边长为2的正方形，点D与点F重合，点B，D（F），H在同一条直线上，将正方形ABCD沿F⇒H方向平移至点B与点H重合时停止，设点D、F之间的距离为x，正方形ABCD与正方形EFGH重叠部分的面积为y，则能大致反映y与x之间函数关系的图象是（ ）
| A． | B． | C． | D． |
| 考点： | 动点问题的函数图象．2218824 |
| 专题： | 应用题；压轴题． |
| 分析： | 正方形ABCD与正方形EFGH重叠部分主要分为3个部分，是个分段函数，分别对应三种情况中的对应函数求出来即可得到正确答案． |
| 解答： | 解：DF=x，正方形ABCD与正方形EFGH重叠部分的面积为y ①y=DF2=x2（0≤x＜）； ②y=1（≤x＜2）； ③∵BH=3﹣x ∴y=BH2=x2﹣3x+9（2≤x＜3）． 综上可知，图象是 故选B． 图：① ② ③ |
| 点评： | 解决有关动点问题的函数图象类习题时，关键是要根据条件找到所给的两个变量之间的函数关系，尤其是在几何问题中，更要注意基本性质的掌握和灵活运用． |
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）（2012•镇江）计算：﹣2×3= ﹣6 ．
| 考点： | 有理数的乘法．2218824 |
| 分析： | 根据有理数乘法法则计算． |
| 解答： | 解：﹣2×3=﹣（2×3）=﹣6． |
| 点评： | 不为零的有理数相乘的法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． |
10．（3分）（2009•邵阳）如图，AB∥CD，直线EF与AB，CD分别相交于E，F两点，EP平分∠AEF，过点F作FP⊥EP，垂足为P，若∠PEF=30°，则∠PFC= 60 度．
| 考点： | 平行线的性质；角平分线的定义；垂线．2218824 |
| 专题： | 计算题． |
| 分析： | 由于PE是角平分线，那么可知∠AEF=60°，而AB∥CD，于是可求∠EFD，而PF⊥PE，那么∠PFE可求，那么就容易求出∠PFC． |
| 解答： | 解：∵EP平分∠AEF，∠PEF=30°， ∴∠AEF=60°． 又∵AB∥CD， ∴∠AEF=∠EFD=60°． ∵FP⊥EP， ∴∠PFE=90°﹣30°=60°， ∴∠PFC=180°﹣∠PFE﹣∠EFD=60°． 故填空答案：60． |
| 点评： | 此题应用的知识点为角平分线的定义，垂线的定义及两直线平行，内错角相等的性质． |
11．（3分）（2011•淮安二模）已知一次函数y=（a﹣1）x+b的图象如图所示，那么a的取值范围是 a＞1 ．
| 考点： | 一次函数的图象．2218824 |
| 专题： | 数形结合． |
| 分析： | 根据一次函数y=（a﹣1）x+b的图象所经过的象限来判断a﹣1的符号，从而求得a的取值范围． |
| 解答： | 解：根据图示知：一次函数y=（a﹣1）x+b的图象经过第一、二、三象限， ∴a﹣1＞0，即a＞1； 故答案是：a＞1． |
| 点评： | 本题考查了一次函数的图象．此类题可用数形结合的思想进行解答，这也是速解习题常用的方法． |
12．（3分）（2004•北碚区）为发展农业经济，致富奔小康，养鸡专业户王大伯2004年养了2000只鸡，上市前，他随机抽取了10只鸡，称得重量统计如下表：估计这批鸡的总重量为 5000 kg．
| 重量（单位：kg） | 2 | 2.2 | 2.5 | 2.8 | 3 |
| 数量（单位：只） | 1 | 2 | 4 | 2 | 1 |
| 考点： | 加权平均数；用样本估计总体．2218824 |
| 专题： | 计算题． |
| 分析： | 首先计算样本平均数，用样本估计总体，即可知总体平均数，再乘以总数2000即可． |
| 解答： | 解：×2000=5000kg． 故答案为5000． |
| 点评： | 首先计算样本平均数，然后进一步估算总体平均数，从而计算总重量． |
13．（3分）（2013•宝应县二模）如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB⊥BC，AB=2cm，CD=4cm．以BC上一点O为圆心的圆经过A、D两点，且∠AOD=90°，则圆心O到弦AD的距离是 cm．
| 考点： | 垂径定理；直角三角形全等的判定；等腰三角形的性质；等腰三角形的判定；勾股定理；矩形的判定；直角梯形．2218824 |
| 专题： | 压轴题． |
| 分析： | 本题的综合性质较强，根据全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，直角梯形的性质可知． |
| 解答： | 解：如图，作AE⊥CD，垂足为E，OF⊥AD，垂足为F， 则四边形AECB是矩形， CE=AB=2cm，DE=CD﹣CE=4﹣2=2cm， ∵∠AOD=90°，AO=OD， 所以△AOD是等腰直角三角形， AO=OD，∠OAD=∠ADO=45°，BO=CD， ∵AB∥CD， ∴∠BAD+∠ADC=180° ∴∠ODC+∠OAB=90°， ∵∠ODC+∠DOC=90°， ∴∠DOC=∠BAO， ∵∠B=∠C=90° ∴△ABO≌△OCD， ∴OC=AB=2cm，OB=CD=4cm，BC=BO+OC=AE=6cm， 由勾股定理知，AD2=AE2+DE2， 得AD=2cm， ∴AO=OD=2cm， S△AOD=AO•DO=AD•OF， ∴OF=cm． |
| 点评： | 本题利用了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，直角梯形的性质求解． |
14．（3分）（2006•泰州）小明和小兵两人参加学校组织的理化实验操作测试，近期的5次测试成绩如图所示，则小明5次成绩的方差S12与小兵5次成绩的方差S22之间的大小关系为S12 ＜ S22．
（填“＞”、“＜”、“=”）
| 考点： | 方差．2218824 |
| 分析： | 先从图片中读出小明和小兵的测试数据，分别求出方差后比较大小．也可从图看出来小明的都在8到10之间相对小兵的波动更小． |
| 解答： | 解：小明数据的平均数1=（9+8+10+9+9）=9，方差s12=[（9﹣9）2+（8﹣9）2+（10﹣9）2+（9﹣9）2+（9﹣9）2]=0.4， 小兵数据的平均数2=（7+10+10+8+10）=9，方差s22=[（7﹣9）2+（10﹣9）2+（10﹣9）2+（8﹣9）2+（10﹣9）2]=1.6， ∴S12＜S22． 故答案为：＜． |
| 点评： | 本题考查了方差的意义．方差它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立． |
15．（3分）（2009•庆阳）如图，正方形OEFG和正方形ABCD是位似形，点F的坐标为（1，1），点C的坐标为（4，2），则这两个正方形位似中心的坐标是 （﹣2，0）或（，） ．
| 考点： | 位似变换．2218824 |
| 专题： | 压轴题． |
| 分析： | 两个位似图形的主要特征是：每对位似对应点与位似中心共线；不经过位似中心的对应线段平行．则位似中心就是两对对应点的延长线的交点． |
| 解答： | 解：①两个图形位似时，位似中心就是CF与x轴的交点， 设直线CF解析式为y=kx+b，将C（4，2），F（1，1）代入，得 ，解得，即y=x+， 令y=0得x=﹣2， ∴O′坐标是（﹣2，0）； ②当位似中心O′在两个正方形之间时， 直线OC的解析式为：y=2x， 直线BG的解析式为：y=﹣x+1， 联立：， 解得：， ∴O′坐标是（，）． 故本题答案为：（﹣2，0）或（，）． |
| 点评： | 本题主要考查位似图形的性质，每对位似对应点与位似中心共线． |
16．（3分）（2011•锦州一模）有一列数a1，a2，a3，a4，a5，…，其中a1=5×2+1，a2=5×3+2，a3=5×4+3，a4=5×5+4，a5=5×6+5，…，当an=2009时，n的值等于 334 ．
| 考点： | 规律型：数字的变化类．2218824 |
| 分析： | 等号右边第一个数都是5，第二个数比相应的式序数大1，第三个数等于式子序数，据此可得第n个式子为an=5×（n+1）+n． |
| 解答： | 解：根据题意，则当an=2009，即5×（n+1）+n=2009时， 解得n=334． 故答案为：334． |
| 点评： | 此题主要考查了数字变化类，解答这类题需认真归纳所给式子的特点，得出其规律，再结合所得规律求解． |
三、解答题（本大题共2个题，每题8分，共16分）
17．（8分）（2006•内江）先化简再求值：，其中a=b=1．
| 考点： | 分式的化简求值．2218824 |
| 专题： | 计算题． |
| 分析： | 本题可先把分式化简，然后再把将a、b的值代入求解． |
| 解答： | 解：原式= = ==； 当a=b=1时，原式=． |
| 点评： | 解答本题的关键是对分式进行化简，代值计算要仔细． |
18．（8分）（2013•营口）在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABC的三个顶点都在格点上．（每个小方格的顶点叫格点）
（1）画出△ABC向下平移3个单位后的△A1B1C1；
（2）画出△ABC绕点O顺时针旋转90°后的△A2B2C2，并求点A旋转到A2所经过的路线长．
| 考点： | 弧长的计算；作图-平移变换；作图-旋转变换．2218824 |
| 专题： | 压轴题；网格型． |
| 分析： | （1）根据平移的规律找到出平移后的对应点的坐标，顺次连接即可； （2）根据旋转的性质找出旋转后各个对应点的坐标，顺次连接即可．点A旋转到A2所经过的路线是半径为OA，圆心角是90度的扇形的弧长． |
| 解答： | 解：（1）画出△A1B1C1； （2）画出△A2B2C2 连接OA，OA2，， 点A旋转到A2所经过的路线长为． |
| 点评： | 本题考查的是平移变换与旋转变换作图． 作平移图形时，找关键点的对应点也是关键的一步．平移作图的一般步骤为：①确定平移的方向和距离，先确定一组对应点；②确定图形中的关键点；③利用第一组对应点和平移的性质确定图中所有关键点的对应点；④按原图形顺序依次连接对应点，所得到的图形即为平移后的图形． 作旋转后的图形的依据是旋转的性质，基本作法是①先确定图形的关键点；②利用旋转性质作出关键点的对应点；③按原图形中的方式顺次连接对应点．要注意旋转中心，旋转方向和角度． |
四、解答题（本大题共2个题，每题10分，共20分）
19．（10分）（2007•临汾）某中学学生会为考察该校学生参加课外体育活动的情况，采取抽样调查的方法从篮球、排球、乒乓球、足球及其他等五个方面调查了若干名学生的兴趣爱好（每人只能选其中一项），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）在这次考察中一共调查了多少名学生？
（2）在扇形统计图中，“乒乓球”部分所对应的圆心角是多少度？
（3）补全条形统计图；
（4）若全校有1800名学生，试估计该校喜欢篮球的学生约有多少人？
| 考点： | 扇形统计图；用样本估计总体；条形统计图．2218824 |
| 专题： | 压轴题；图表型． |
| 分析： | （1）根据排球的百分比和频数可求总数； （2）利用扇形图所对的圆心角的度数=百分比乘以360度即可求得； （3）利用总数和百分比求出频数再补全条形图； （4）用样本估计总体即可． |
| 解答： | 解：（1）∵ ∴这次考查中一共调查了60名学生． （2）∵1﹣25%﹣10%﹣20%﹣20%=25%， ∴360°×25%=90°， ∴在扇形统计图中，“乒乓球”部分所对应的圆心角为90度． （3）∵60×20%=12， ∴补全统计图如图： （4）∵1800×25%=450， ∴可以估计该校学生喜欢篮球活动的约有450人． |
| 点评： | 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图则能直接反映部分占总体的百分比大小． |
20．（10分）（2011•锦州一模）如图是一个被平均分成6等份的转盘，每一个扇形中都标有相应的数字，甲乙两人分别转动转盘，设甲转动转盘后指针所指区域内的数字为x，乙转动转盘后指针所指区域内的数字为y（当指针在边界上时，重转一次，直到指向一个区域为止）．
（1）直接写出甲转动转盘后所指区域内的数字为负数的概率；
（2）用树状图或列表法，求出点（x，y）落在第二象限内的概率．
| 考点： | 列表法与树状图法．2218824 | ||||||
| 分析： | （1）根据古典概率的知识，利用概率公式即可求得答案； （2）根据题意列出表格，然后根据表格即可求得所有等可能的结果与点（x，y）落在第二象限内的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案． | ||||||
| 解答： | 解：（1）∵一共有6种等可能的结果，甲转动转盘后所指区域内的数字为负数的有：﹣1，﹣2共2种情况， ∴甲转动转盘后所指区域内的数字为负数的概率为：=； 甲 乙 | ﹣1 | ﹣2 | 0 | 2 | 3 | 4 |
| ﹣1 | （﹣1，﹣1） | （﹣2，﹣1） | （0，﹣1） | （2，﹣1） | （3，﹣1） | （4，﹣1） | |
| ﹣2 | （﹣1，﹣2） | （﹣2，﹣2） | （0，﹣2） | （2，﹣2） | （3，﹣2） | （4，﹣2） | |
| 0 | （﹣1，0） | （﹣2，0） | （0，0） | （2，0） | （3，0） | （4，0） | |
| 2 | （﹣1，2） | （﹣2，2） | （0，2） | （2，2） | （3，2） | （4，2） | |
| 3 | （﹣1，3） | （﹣2，3） | （0，3） | （2，3） | （3，3） | （4，3） | |
| 4 | （﹣1，4） | （﹣2，4） | （0，4） | （2，4） | （3，4） | （4，4） |
∴点（x，y）的坐标一共有36种等可能的结果，且每种结果发生的可能性相等，其中点（x，y）落在第二象限的结果共有6种，
| ∴点（x，y）落在第二象限内的概率为：=． | |
| 点评： | 此题考查了树状图法与列表法求概率．此题难度不大，解题的关键是根据题意画出树状图或列出表格，注意树状图法与列表法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果，注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． |
五、解答题（本大题共2个题，每题10分，共20分）
21．（10分）（2011•锦州一模）“村村通油路工程”加快了锦州市建设社会主义新农村的步伐，如图，C村村民欲修建一条水泥公路将C村与县级公路相连，在公路A处测得C村在北偏东60°方向，前进600米，在B处测得C村在北偏东45°方向．
（1）为节约资源，要求所修公路长度最短，试求符合条件的公路长度．（精确到米，参考数据：=1.414，=1.732，=2，=1）
（2）经预算，修建1000米这样的水泥公路约需人民币30万元，按国家的相关，对修建该条水泥公路拨款人民币10万元，其余部分由村民自发筹集，试求修建该条水泥公路村民需自筹资金多少万元．
| 考点： | 解直角三角形的应用-方向角问题．2218824 |
| 分析： | （1）当公路与AB垂直时，所修的公路最短，因而过点C作CD⊥AB于D，求出CD的长就可以． （2）在（1）的基础上，求出总资金额，去掉拨款，即为自筹资金． |
| 解答： | 解：（1）过C作CD⊥AB，交AB延长线于D点， 由题意CD长即为所修公路长，如图所示， 则∠CAB=90°﹣60°=30°， ∠CBD=45°， ∴BD=CD， ∵AD=AB﹣CD，AB=600米， 在Rt△ACD中， tan∠CAD=tan30°=， 解得CD=300（+1）≈820米． 即C村所修公路长最短约820米； （2）依题意可得：820×﹣10=14.6（万元）， 答：修建这条水泥路村民需自筹资金14.6万元． |
| 点评： | 本题主要考查解直角三角形的应用﹣方向角的知识点，解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线． |
22．（10分）（2011•锦州一模）服装商场按标价销售某种T恤衫时，每件可获利45元；如果按标价的九折销售每件仍可获利润25元．
（1）该种T恤衫的每件的进价、标价分别是多少元？
（2）若每件T恤衫按（1）中求出的进价进货，标价售出，商场每天可售出该种T恤衫100件，若每件降价1元，则每天可多售出4件，问每件T恤衫降价多少元出售？每天获得的利润最大？获得的最大利润是多少元？
| 考点： | 二次函数的应用；二元一次方程组的应用．2218824 |
| 分析： | （1）利用服装商场按标价销售某种T恤衫时，每件可获利45元；如果按标价的九折销售每件仍可获利润25元，得出等式方程求出即可； （2）利用配方法求出二次函数的最值即可． |
| 解答： | 解：（1）设该种T恤衫的每件的进价、标价分别是x元、y元， 依据题意得出：， 解得：， 答：该种T恤衫的每件的进价、标价分别是155元、200元； （2）设每件应降价a元出售，每天获得的利润为W元， 依据题意可得： W=（45﹣a）（100+4a） =﹣4a2﹣80a﹣4500， =﹣4（a﹣10）2﹣4900， ∴当a=10时，W最大=4900， 答：每件T恤衫降价10元出售，每天获得的利润最大，获得的最大利润是4900元． |
| 点评： | 此题主要考查了二次函数的应用，根据已知得出W与a的关系式，进而求出最值是解题关键． |
六、解答题（本大题共2个题，每题10分，共20分）
23．（10分）（2011•锦州一模）如图，AB是⊙O的直径，过⊙O上的点E作⊙O的切线，交AB延长线于点C，过A点作AD⊥CE于点D，且与⊙O交于点F，连接AE、BF．
（1）AE是否为∠CAD的平分线，说明理由；
（2）若CB=2，CE=4，求⊙O的半径及BF的长．
| 考点： | 切线的性质；平行线的判定与性质；垂径定理；相似三角形的判定与性质．2218824 |
| 分析： | （1）AE是∠CAD的平分线．理由：连接OE，首先利用切线性质得到OE⊥GE，而AD⊥CE，由此得到OE∥AD，然后利用平行线的性质和等腰三角形的性质即可求解； （2）设⊙O的半径为r，在Rt△CEO中利用勾股定理可以列出关于r的方程，解方程求出r，设BF与OE交于点G，然后利用已知条件和平行线的性质证明△OBG∽△OCE，接着他相似三角形的性质即可求解． |
| 解答： | 解：（1）AE是∠CAD的平分线． 理由：连接OE， ∵CE是⊙O的切线， ∴OE⊥GE， ∵AD⊥CE， ∴OE∥AD， ∴∠OEA=∠DAE， ∵OE=OA， ∴∠CAE=∠OEA， ∴CAE∠=∠DAE， ∴AE是∠CAD的角平分线； （2）设⊙O的半径为r， 在Rt△CEO中，∵CO2=OE2+CE2，CB=2，CE=4， ∴（2+r）2=r2+16， ∴r=3， 设BF与OE交于点G， ∵∠AFB=90°， ∴BF⊥AD，∵AD⊥CE， ∴BF∥CD， ∵OE⊥EC， ∴OE⊥BF， ∴BG=GF， ∵BF∥CD， ∴△OBG∽△OCE， ∴OB：OC=BG：CE， ∴， ∴BG=， ∴BF=2BG=． |
| 点评： | 本题考查了圆的切线性质，平行线的性质与判定及相似三角形的性质与判定．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题． |
24．（10分）（2007•泉州）李明从泉州乘汽车沿高速公路前往A地，已知该汽车的平均速度是100千米/小时，它行驶t小时后距泉州的路程为s1千米．
（1）请用含t的代数式表示s1；
（2）设另有王红同时从A地乘汽车沿同一条高速公路回泉州，已知这辆汽车距泉州的路程s2（千米）与行驶时间t（时）之间的函数关系式为s2=kt+b（k、t为常数，k≠0），若李红从A地回到泉州用了9小时，且当t=2时，s2=560，k与b的值；
②试问在两辆汽车相遇之前，当行驶时间t的取值在什么范围内，两车的距离小于288千米？
| 考点： | 一次函数的应用．2218824 |
| 分析： | （1）根据路程=速度×时间即可求出； （2）①王红回到泉州用了9小时即是t=9时，s2=0，结合另一条件解方程组即可求出k，b的值； ②最后一问是难点，相遇前两车的距离应是s2﹣s1，根据函数关系式得不等式求解． |
| 解答： | 解：（1）S1=100t（3分） （2）①∵S2=kt+b，依题意得t=9时，S2=0，（4分） 又∵t=2时，S2=560 ∴（5分） 解得：（7分） ②（解法一） 由①得，S2=﹣80t+720 令S1=S2，得100t=﹣80t+720，解得t=4（9分） 当t＜4时，S2＞S1，∴S2﹣S1＜288（11分） 即（﹣80t+720）﹣100t＜288，﹣180t＜﹣432 ∴180t＞432，解得t＞2.4（12分） ∴在两车相遇之前，当2.4＜t＜4时，两车的距离小于288千米．（13分） （解法二） 由①得，S2=﹣80t+720 令t=0，∴S2=720 即王红所乘汽车的平均速度为=80（千米/时）（8分） 设两辆汽车t1小时后相遇，∴100t1+80t1=720，解得t1=4（9分） 又设两车在相遇之前行驶t2小时后，两车之距小于288千米， 则有720﹣（100t2+80t2）＜288（11分） 解得：t2＞2.4（12分） ∴在两车相遇之前，当2.4＜t＜4时，两车的距离小于288千米．（13分） |
| 点评： | 此题最后一问有一定难度，有区分度．关键抓住相遇时间是多少及相遇前两车距离的表达式． |
七、解答题（本题共12分）
25．（12分）（2011•锦州一模）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，P为BC边上任意一点，点Q为AC边动点，分别以CP、PQ为边做等边△PCF和等边△PQE，连接EF．
（1）试探索EF与AB位置关系，并证明；
（2）如图2，当点P为BC延长线上任意一点时，（1）结论是否成立？请说明理由．
（3）如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=m°，P为BC延长线上一点，点Q为AC边动点，分别以CP、PQ为腰做等腰△PCF和等腰△PQE，使得PC=PF，PQ=PE，连接EF．要使（1）的结论依然成立，则需要添加怎样的条件？为什么？
| 考点： | 等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质．2218824 |
| 分析： | （1）通过等边三角形的性质（三条边相等、三个角相等）求得PF=PC，PE=PQ，∠EPF=∠QPC；然后根据全等三角形的判定定理SAS证明△PFE≌△PCQ，再根据全等三角形的性质（对应角相等）知∠EPF=∠QPC=90°；接下来由平行线的判定定理（同位角相等，两直线平行）知PF∥AB；最后由平行线的性质（两平行线中，有一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线）知EF⊥AB； （2）通过等边三角形的性质（三条边相等、三个角相等）求得PF=PC，PE=PQ，∠EPF=∠QPC；然后根据全等三角形的判定定理SAS证明△PFE≌△PCQ，再根据全等三角形的性质（对应角相等）知∠EPF=∠QPC=90°；接下来由平行线的判定定理（内错角相等，两直线平行）知PF∥AB；最后由平行线的性质（两平行线中，有一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线）知EF⊥AB； （3）需要添加的条件需满足：△PFE≌△PCQ、PF∥AB（内错角相等，两直线平行）． |
| 解答： | 解：（1）EF⊥AB． ∵△PCF和△PQE都是等边三角形， ∴PF=PC，PE=PQ， ∠EPF+∠FPQ=∠QPC+∠FPQ=60°， ∴∠EPF=∠QPC， ∴△PFE≌△PCQ； ∴∠EPF=∠QPC=90°， ∴EF⊥PF； 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°， ∴∠B=60°； 又∵∠FPC=60°， ∴∠B=∠FPC， ∴PF∥AB（同位角相等，两直线平行）， ∴EF⊥AB； （2）当点P为BC延长线上任意一点时，（1）结论成立． 证明：∵△PCF和△PQE都是等边三角形， ∴PF=PC，PE=PQ， ∠EPF+∠EPC=∠QPC+∠EPC=60°， ∴∠EPF=∠QPC， ∴△PFE≌△PCQ； ∴∠EFP=∠QCP=90°， ∴EF⊥PF； 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°， ∴∠B=60°； 又∵∠FPC=60°， ∴∠B=∠FPC， ∴PF∥AB（内错角相等，两直线平行）， ∴EF⊥AB； （3）要使（1）的结论依然成立，则需要添加条件是：∠CPF=∠B=∠QPE． 需要证明△PFE≌△PCQ、PF∥AB（内错角相等，两直线平行），才能证明EF⊥AB． |
| 点评： | 本题综合考查了全等三角形的性质、全等三角形的判定与性质．解答本题要充分利用等边三角形的三边关系、三角关系，可有助于提高解题速度和准确率． |
八、解答题（本题共14分）
26．（14分）（2011•锦州一模）如图，已知抛物线经过原点O和x轴上另一点A，它的对称轴x=﹣2与x轴交于点C，直线y=﹣2x+1经过抛物线上一点B（2，m），且与y轴．直线x=﹣2分别交于点D、E．
（1）求m的值及该抛物线对应的函数关系式；
（2）①判断△CBE的形状，并说明理由；②判断CD与BE的位置关系；
（3）若P（x，y）是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点P，使得PB=PE？若存在，试求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
| 考点： | 二次函数综合题．2218824 |
| 专题： | 压轴题；动点型；开放型． |
| 分析： | （1）根据抛物线的对称轴为x=﹣2，且过O、A两点，因此A点的坐标为（﹣2，0）．可用交点式二次函数通式来设抛物线的解析式，然后根据直线y=﹣2x+1求出B点的坐标，将B点的坐标代入抛物线中即可求出二次函数的解析式． （2）①可根据抛物线的解析式求出D，E点的坐标，进而可求出△CBE三边的长，可据此来进行判断△CBE的形状． ②应该是CD⊥EB，可过E、B作y轴的垂线通过证三角形全等来得出D是BE中点，然后根据等腰三角形三线合一的特点来得出CD⊥EB的结论． （3）由题意可知：P点必为线段BE垂直平分线与抛物线的交点，可先求出线段BE的垂直平分线，然后联立抛物线的解析式，即可求出符合条件的P点的坐标． |
| 解答： | 解：（1）∵点B（2，m）在直线y=﹣2x+1上， ∴m=﹣2×2+1=﹣3， ∴B（2，﹣3） ∵抛物线经过原点O和点A，对称轴为x=﹣2， ∴点A的坐标为（﹣4，0） 设所求的抛物线对应函数关系式为y=a（x﹣0）（x+4），将点B（2，﹣3）代入上式， 得﹣3=a（2﹣0）（2+4）， ∴a=﹣， ∴所求的抛物线对应的函数关系式为y=﹣（x+4）， 即y=﹣x2﹣x． （2）①△CBE为等腰三角形 ∵直线y=﹣2x+1与y轴、直线x=﹣2的交点坐标分别为D（0，1），E（﹣2，5）、过点B作BG∥x轴，与y轴交于F、直线x=﹣2交于G， ∴BG⊥直线x=﹣2，BG=4、 在Rt△BGC中，BC==5． ∵CE=5， ∴CB=CE=5， ∴△CBE为等腰三角形． ②CD⊥BE 过点E作EH∥x轴，交y轴于H，则点H的坐标为H（0，5）， 又∵点F、D的坐标为F（0，﹣3）、D（0，1）， ∴FD=DH=4，BF=EH=2，∠BFD=∠EHD=90° ∴△DFB≌△DHE（SAS）， ∴BD=DE，即D是BE的中点， ∴CD⊥BE （3）存在 ∵PB=PE， ∴点P在直线CD上， ∴符合条件的点P是直线CD与该抛物线的交点 设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b，将D（0，1）C（﹣2，0）代入， 得． 解得k=，b=1 ∴直线CD对应的函数关系式为y=x+1， ∵动点P的坐标为（x，﹣）， ∴x+1=﹣x2﹣x 解得x1=﹣3+，x2=﹣3﹣， ∴y1=，y2=． ∴符合条件的点P的坐标为（﹣3+，）或（﹣3﹣，）． |
| 点评： | 本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、三角形全等、等腰三角形的判定和性质等重要知识点，综合性强，考查学生数形结合的数学思想方法． |
参与本试卷答题和审题的老师有：hnaylzhyk；自由人；蓝月梦；zhjh；Liuzhx；gbl210；HLing；CJX；zhqd；csiya；张超。；zxw；733599；lanyan；MMCH；郭静慧；zhehe；开心；HJJ；心若在；zcx；137-hui；lf2-9；nhx600；feng（排名不分先后）
菁优网
2014年3月16日
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