2013年深圳市高三年级第一次调研考试文科数学试卷(深圳一模)

一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分．在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知 i 为虚数单位，则（1 - i）2  =

A． 2i 

B． -2i 

C． 2

D． -2

2013 年深圳市高三年级第一次调研考试数学（文科）试卷

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2．已知集合 A = {x ∈ R | x < 7} ， B = {1，2，3，4} ，则（   A）∩ B =

2

B． {2，3，4}

D． {4}

A． {1，2，3，4}

C． {3，4}

3．下列函数中，最小正周期为    的是

Ａ． y = tan x

Ｃ． y = cos x

Ｂ． y = sin 2x

Ｄ． y = cos 4x

4．设 f ( x) 为定义在 R 上的奇函数，当 x > 0 时， f (x) = log 3 (1 + x) ，则 f (- 2) =

A． -1

5．下列命题为真命题的是

Ｂ． -3

Ｃ．1

Ｄ． 3

A．若 p ∨ q 为真命题，则 p ∧ q 为真命题．

B．“ x = 5 ”是“ x2 - 4x - 5 = 0 ”的充分不必要条件．

C．命题“若 x < -1 ，则 x2 - 2x - 3 > 0 ”的否命题为：“若 x < -1 ，则 x2 - 2x - 3 ≤ 0 ”． D．已知命题 p ： ∃x ∈ R ，使得 x2 + x - 1 < 0 ，则 ⌝p ： ∀x ∈ R ，使得 x2 + x - 1 > 0 ．

6．沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的左视图为

A

Ｂ

Ｃ

Ｄ

（第 6 题图）

7．某容量为 180 的样本的频率分布直方图共有 n(n > 1)个小矩形，若第一个小矩形的面积

等于其余 n - 1 个小矩形的面积之和的 5 ，则第一个小矩形对应的频数是

A． 20

B． 25

C． 30

D． 35

8．等差数列 {an } 中，已知 a5 > 0 ， a4 + a7 < 0 ，则 {an } 的前 n 项和 Sn 的最大值为

A． S7

B． S6

C． S5

D． S4

9．已知抛物线 y2 = 2 px（p > 0）与双曲线 x

- y

= 1（a > 0, b > 0）的一条渐近线交于一点

a    b

M（1,  m），点 M 到抛物线焦点的距离为 3 ，则双曲线的离心率等于

1

C．

1

D．

A． 3

B． 4

10．已知 x > 0 ， y > 0 ，且 4xy - x - 2 y = 4 ，则 xy 的最小值为

B． 2  2

C．  2

D． 2

A．

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C

(第 15 题图)

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二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分．本大题分为必做题和选做题

两部分．

（一）必做题：第11、12、13 题为必做题，每道试题考生都必须做答．

11．运行如图所示的程序框图，输出的结果是     ．

开始

否

输出 S

结束

（第 11 题图）

⎧ x - y + 2 ≤ 0,

12．已知变量 x，y 满足约束条件 ⎨ x ≥ 1,

则    的取值范围是     ．

⎪2x + y - 8 ≤ 0.

13．在平面直角坐标系 xOy 中，定点 A（4, 3）且动点 B（m, 0）在 x 轴的正半轴上移动，则

m

的最大值为     ．

AB

（二）选做题：第14、15 题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算第一

题的得分．

14．在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程为 ⎧ x = 1 + t,  （参数 t ∈ R），若以 O

⎩ y = 4 - 2t.

为极点， x 轴的正半轴为极轴，曲线 C 的极坐标方程为 ρ = 4sin θ ，则直线 l 被曲线 C

所截得的弦长为     ．

15．如图， PA 是 ⊙O 的切线， A 为切点，直线 PB 交 ⊙O

于 D、B 两点，交弦 AC 于 E 点，且 AE = 4 ，EC = 3 ，

BE = 6 ， PE = 6 ，则 AP =     ．

O

D

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A≤5

是

A=A+1

S= 2S+1

A=1，S=1

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三、解答题：本大题 6 小题，满分 80 分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本小题满分 12 分）

在平面直角坐标系 xOy 中，M（sin 2 θ , 1），N（1,  - 2 cos2 θ）（ θ ∈ R ），且 O  M   ⋅ O  N   = -   .

（1）求点 M , N 的坐标；

（2）若角 α , β 的顶点都为坐标原点且始边都与 x 轴的非负半轴重合，终边分别经过点

M , N ，求 tan(α + β )的值.

17．（本小题满分 12 分）

一次考试中，五名学生的数学、物理成绩如下表所示：

（1）要从 5 名学生中选 2 人参加一项活动，求选中的学生中至少有一人的物理成ˆ 绩高于 90

分的概率；

（2）请在所给的直角坐标系中画出它们的散点图，并求这些数据的线性回归方程 y = bx + a ．

y(物理成绩)

94

92

90

88

91    93

95

97

x(数学成绩)

（第 17 题图）

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O

学生

A

1

A

2

A

3

A

4

A5

数学（ x 分）

91

93

95

97

物理（ y 分）

87

92

93

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18．（本小题满分 14 分）

如图甲， ⊙O 的直径 AB = 2 ，圆上两点 C、D 在直径 AB 的两侧，使 ∠CAB = 4 ，

∠DAB = π ．沿直径 AB 折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图乙）， F 为 BC 的中

点， E 为 AO 的中点．根据图乙解答下列各题：

（1）求三  棱锥 C - BOD 的体积；

（2）求证： CB ⊥ DE ；

（3）在 BD 上是否存在一点 G ，使得 FG // 平面 ACD ？若存在，试确定点 G 的位置；若不 存在，请说明理由．

C

C

O

O

D

（第 18 题图甲）

D

（第 18 题图乙）

19．（本题满分  14 分）

设 {an } 是公比大于 1 的等比数列， Sn 为数列 {an } 的前 n 项和．已知 S3  = 7 ，且 3a2 是

a1 + 3 和 a3 + 4 的等差中项．

（1）求数列 {an } 的通项公式；

，数列 {b } 的前 n 项和为 Tn ，求证： Tn < 2 ．

（2）设 bn =

(an  + 1

)(an +1 + 1

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F

20．（本题满分  14 分）

已知椭圆 C 的中心为原点 O ，焦点在 x 轴上，离心率为    ，且点（1,

）在该椭圆

上．

（1）求椭圆 C 的方程；

（2）如图，椭圆 C 的长轴为 AB ，设 P 是椭圆上异于 A 、 B 的任意一点， PH ⊥ x 轴， H

为垂足，点 Q 满足 PQ = HP ，直线 AQ 与过点 B 且垂直于 x 轴的直线交于点 M ，

 B M    = 4 B N  ．求证： ∠OQN 为锐角．

M

Q

O

H

（第 20 题图）

21．（本小题满分 14 分）

已知函数 （f  x）= ax + x2 - x ln a - b （a,  b ∈ R, a > 1）， e 是自然对数的底数．

（1）试判断函数 （f  x）在区间（0,  + ∞）上的单调性；

（2）当 a = e ， b = 4 时，求整数 k 的值，使得函数 （f  x）在区间（k , k + 1）上存在零点；

（3）若存在 x1 , x2 ∈[-1, 1]，使得 | （f  x1）- （f  x2）|≥ e - 1 ，试求 a 的取值范围．

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2013年深圳市高三年级第一次调研考试数学（文科）答案及评分标准

说明：

一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．

一、选择题：本大题每小题5分，满分50分．

11．.  12．.  13．．   14．．    15．.

三、解答题：本大题6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本小题满分12分）

在平面直角坐标系中，，（），且.

（1）求点的坐标；

（2）若角的顶点都为坐标原点且始边都与轴的非负半轴重合，终边分别经过点，求的值.

解：(1) 

                                ………………….2分

解得，

所以，                               ………………….6分

（2）由（1）可知，

，               ……………………………….10分

                           ……………………………….12分

【说明】 本小题主要考查了同角三角函数的关系、三角函数的定义、两角和正切公式，以及向量的有关知识.考查了运算能力．

17．（本小题满分12分）

一次考试中，五名学生的数学、物理成绩如下表所示：

（2）请在所给的直角坐标系中画出它们的散点图，并求这些数据的线性回归方程．

解：（1）从名学生中任取名学生的所有情况为:、、、、、、、、、共种情况.………3分

其中至少有一人物理成绩高于分的情况有：、、、、、、共种情况， 

故上述抽取的人中选人，选中的学生的物理成绩至少有一人的成绩高于分的概率.                           …………………………………………5分

（2）散点图如右所示.                  ……………………………………………6分

·

可求得：

    ==，

    ==， ……………………………………………8分

==40，

    =0.75，                 

    ，         ……………………………………………11分

故关于的线性回归方程是：

.           ……………………………………………12分

【说明】 本题主要考查了古典概型和线性回归方程等知识，考查了学生的数据处理能力和应用意识．

18．（本小题满分14分）

如图甲，的直径，圆上两点在直径的两侧，使，．沿直径折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图乙），为的中点，为的中点．根据图乙解答下列各题：

（1）求三棱锥的体积；

（2）求证：；

(第18题图甲)

（3）在上是否存在一点，使得平面？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由．

G

解:（1）为圆周上一点，且为直径，

∵为中点，，

.

∵两个半圆所在平面与平面互相垂直且其交线为，

∴平面，平面.

∴就是点到平面的距离，

在中，，

. ………………………………………4分

（2）在中，

为正三角形，

又为的中点，，

∵两个半圆所在平面与平面互相垂直且其交线为，

平面.                    

∴.                             ………………………………………9分

（3）存在，为的中点.证明如下：

连接，

∴，

∵为⊙的直径，

∴

∴，

平面，平面，

∴平面.

在中，分别为的中点，

，

平面，平面，

∴平面平面，

又平面，平面.………………………………………14分

【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系，考查空间想象能力、运算能力和逻辑推理能力．

19．（本题满分14分）

设是公比大于1的等比数列，为数列的前项和．已知，且是

和的等差中项．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，数列的前项和为，求证：．

解：（1）由已知，得………………………………………3分

解得．

设数列的公比为，则

，

∴．

由，可知，

∴，

解得．

由题意，得．       …………………………………………………5分

∴．

故数列的通项为．   …………………………………………………7分

(2)∵，  …………11分

∴

     .……………………………………………14分

【说明】考查了等差数列、等比数列的概念及其性质，考查了数列求和的“裂项相消法”；考查了学生的运算能力和思维能力．

20．（本题满分14分）

已知椭圆的中心为原点，焦点在轴上，离心率为，且点在该椭圆上．

（1）求椭圆的方程；

（第20题图）

（2）如图，椭圆的长轴为，设是椭圆上异于、的任意一点，轴，为垂足，点满足，直线与过点且垂直于轴的直线交于点，．求证：为锐角．

20．解：（1）设椭圆C的方程为，由题意可得   ,                             

又，∴.          …………………………………………2分

∵椭圆C经过，代入椭圆方程有   ，

解得.                           …………………………………………5分

∴，

故椭圆C的方程为  .         …………………………………………6分

（2）设，           …………………………………………7分

∵，

∵，

∴，

∴直线的方程为．    …………………………………………9分

令，得．

∵，，

∴．

∴，．

∴

∵，

∴

∴                  …………………………………………12分

∵，

∴．

又、、不在同一条直线，

∴为锐角.            …………………………………………………14分

【说明】本题主要考查椭圆的方程与性质、向量等基础知识，考查学生运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力．

21．（本小题满分14分）

已知函数，是自然对数的底数．

（1）试判断函数在区间上的单调性；

（2）当，时，求整数的值，使得函数在区间上存在零点；

（3）若存在，使得，试求的取值范围．

解：（1）  …………………………1分

由于，故当时，，所以，…………2分

故函数在上单调递增 .  …………………………………………3分

（2），，

，                          ……………………………………4分

当时，，，故是上的增函数；

同理，是上的减函数.      …………………………………5分

，当，，

故当时，函数的零点在内，满足条件；

，当，，

故当时，函数的零点在内，满足条件.

综上所述  或.            ………………………………………7分

（3）， 

因为存在，使得，所以当时，   …………………………8分

，

①当时，由，可知，，∴；

②当时，由，可知 ，，∴；

③当时，.

∴在上递减，在上递增，…………………………………11分

   ∴当时，，

而，

设，因为（当时取等号），

∴在上单调递增，而，

∴当时，，

 ∴当时，，

∴，

∴，

∴，即，

设，则

.

∴函数在上为增函数，

∴.

即的取值范围是……………………………………14分

【说明】本小题主要考查函数、导数、不等式证明等知识,通过运用导数知识解决函数、不等式问题,考查考生综合运用数学知识解决问题的能力，同时也考查函数与方程思想、化归与转化思想.