2011年广东高考数学理科试卷(带详解)

数学（理科）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设复数满足其中i为虚数单位，则                                   （    ）

A．         B．         C．          D．

【测量目标】复数代数形式的四则运算. 

【考查方式】给出复数的等式形式，变形为分数形式再通分化简即可求其代数形式.

【难易程度】容易

【参】B

【试题解析】∵∴．

2． 已知集合为实数，且，为实数，且，则的元素个数为                                                                           （    ）

A．          B．             C．              D．

【测量目标】集合的交集运算（描述法）. 

【考查方式】给出一个一元二次方程和一个二元二次方程，联立求出解，进而得出交集元素.

【难易程度】容易

【参】C

【试题解析】联立两集合的函数解析式得：

，解得，分别把代入，解得，

所以两函数的交点有两个，坐标分别为和，则的元素个数为2个.

3．若向量满足且，则=                                     （    ）

A．          B．            C．               D．

【测量目标】平面向量的数量积运算.

【考查方式】给出向量间垂直或平行的关系，进而求出向量积.

【难易程度】容易

【参】D

【试题解析】∵且，∴．

4．设函数和分别是上的奇函数和偶函数，则下列结论成立的是                 （    ）

A．是偶函数        B．是奇函数

C．是偶函数           D．是奇函数

【测量目标】函数奇偶性的判断. 

【考查方式】由奇函数和偶函数的特性，考查加上绝对值符号后奇偶性的变化关系.

【难易程度】容易

【参】A

【试题解析】∵是上的奇函数，∴是上的偶函数,从而是偶函数,故选A.

5． 已知平面直角坐标系上的区域由不等式组给定，若为上的动点，点的坐标为，则的最大值为                                          （    ）

    A．            B．            C．            D．    

【测量目标】二元线性规划求目标函数的最值，向量的数量积运算. 

【考查方式】利用向量积构造出目标函数，由不等式组画出可行域，进而求出其最值.

【难易程度】中等

【参】B

【试题解析】作出可行域如图所示（步骤1）

 ∵，∴当直线平移到时，取到最大值．（步骤2）

第5题图 

6．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．

若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为                                      （    ）

A．                  B．               C．             D． 

【测量目标】随机事件与概率. 

【考查方式】给出两人获胜概率相等的条件，根据条件求出其中某人获胜的概率.

【难易程度】容易

【参】D

【试题解析】．

7．如图，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为                                                                           （    ）

第7题图 

A．              B．           C．         D． 

【测量目标】由三视图求几何体（棱柱）的体积. 

【考查方式】给出几何体的三视图，推测出几何体的形状，进而由线段关系得出体积.

【难易程度】中等

【参】B

【试题解析】由三视图可推测该几何体为四棱柱.(步骤1)

高为，底面面积为，∴．(步骤2)

8．设是整数集的非空子集，如果，有，则称关于数的乘法是封闭的．若是的两个不相交的非空子集,，且，有；，有，则下列结论恒成立的是                                                                       （    ）

A．中至少有一个关于乘法是封闭的         B．中至多有一个关于乘法是封闭的

C．中有且只有一个关于乘法是封闭的      D．中每一个关于乘法都是封闭的

【测量目标】集合间的关系. 

【考查方式】给出集合的特殊关系，利用特殊值法或假设法判断对应的选项.

【难易程度】较难

【参】A

【试题解析】   当奇数,偶数，，关于乘法都是封闭的，故B,C错误；（步骤1）

   ∵，∴整数1一定在,两个集合中的一个中，不妨设，则，（步骤2）

  ∵，∴，即,∴对乘法封闭，即中至少有一个关于乘法是封闭的；（步骤3）

  当非负整数,负整数，关于乘法封闭，而关于乘法不封闭，故D错误．（步骤4）

  二、填空题：本大题共7小题．考生作答6小题．每小题5分，满分30分． 

（一）必做题（9～13题）

9．不等式的解集是          ．

【测量目标】解绝对值不等式. 

【考查方式】给出绝对值不等式，利用平方去绝对值符号，再进行求解.

【难易程度】容易

【参】

【试题解析】∵，∴，解得．

10．的展开式中的系数是         （用数字作答）．

【测量目标】二项式定理. 

【考查方式】由二项式展开式的通项公式得出所求系数的通项，再根据所给乘积关系求出所满足项的系数.

【难易程度】中等

【参】

【试题解析】所求的的系数就是展开式中的系数，（步骤1）

  ∵的通项为，（步骤2）

   ∴令，解得． ∴令的系数是．（步骤3）

11．等差数列的前9项和等于前4项和，若，则        ．

【测量目标】等差数列的通项. 

【考查方式】给出等差数列的通项所满足的关系和首项的值，由此求出等式中的对应参数.

【难易程度】中等

【参】

【试题解析】∵的前9项和等于前4项和，且，

   ∴，解得．（步骤1）

   ∴，解得．（步骤2）

12．函数在     处取得极小值．

【测量目标】利用导数求函数的极值. 

【考查方式】给出函数的解析式，利用导数求出单调区间和极值点，进而判断得出极小值.

【难易程度】容易

【参】2

【试题解析】∵，（步骤1）

   ∴时，；时，；（步骤2）

   ∴在处取得极小值．（步骤3）

13．某数学老师身高176cm，他爷爷，父亲，儿子的身高分别是173cm,170cm和182cm，因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高是      cm．

【测量目标】线性回归方程.

【考查方式】由所给数据求出直线回归方程，进而求出对应的数值.

【难易程度】中等

【参】185

【试题解析】根据题中所提供的信息，可知父亲和儿子的对应数据可列表如下： 

   ∵，∴，

， ∴回归直线方程为，（步骤1）

∴预测他孙子的身高是182+3＝185cm．（步骤2）

 （二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）

 14．（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为和

，它们的交点坐标为        ．

【测量目标】坐标系与参数方程. 

【考查方式】给出曲线的参数方程形式，转化为普通方程，联立求出交点坐标.

【难易程度】中等

【参】

【试题解析】两曲线的方程分别为和，（步骤1）

 由，∴或（舍去），∴．（步骤2）

∵，∴，∴（步骤3）.

15．（几何证明选讲选做题）如图，过圆外一点分别做圆的切线和割线交圆于、两点，且，是圆上一点使得，，则          ．

第15题图 

【测量目标】圆的性质与应用.

【考查方式】结合三角形和圆的位置关系，利用三角形相似得出比例关系，进而求出对应线段长度.

【难易程度】中等

【参】

【试题解析】∵,，∴∽，（步骤1）

∴，∴． （步骤2）

3、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本小题满分12分）

已知函数． 

（1）求的值；

（2）设，，，求的值．

【测量目标】三角函数的图象及其变换，同角三角函数的基本关系，两角和的余弦.

【考查方式】给出三角函数的解析式，直接求其对应未知数的函数值；由解析式满足的关系，利用诱导公式和同角三角函数的基本关系变形化简得出余弦值和正弦值，再求出对应的三角函数值.

【难易程度】中等

【试题解析】（1）． 

       （2）∵，∴．（步骤1）

        ∵，∴．（步骤2）

        ∵，∴．（步骤3）

       ∴．（步骤4）

17．（本小题满分13分）

为了解甲，乙两厂的产品质量，采取分层抽样的方法从甲，乙两厂的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中微量元素的含量（单位：毫克）．下表是乙厂的5件产品的测量数据：

（2）当产品中微量元素满足且时，该产品为优等品．用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；

（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随即抽取2件，求抽出的2件产品中优等品数的分布列及其均值（即数学期望）．

【测量目标】分层抽样，分布列与期望.

【考查方式】利用样本和总体的比例关系求出某层的样本容量；由给定条件得出概率进而求出满足的样本容量；直接利用给定条件画出分布列得出离散型随机变量的期望.

【难易程度】中等

【试题解析】（1）设乙厂生产的产品数量为件，则，解得． 

            答：乙厂生产的产品数量为件．（步骤1）

           （2）∵产品中微量元素满足且时的概率为，（步骤2）

                ∴用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量为．（步骤3）

       （3）∵的可能值为0，1，2，则

        ，．（步骤4）

     的分布列为

∴的数学期望为．（步骤5）

18．（本小题满分13分）

如图，在锥体中，是边长为1的菱形，且，，分别是的中点．

(1)证明：平面；

(2)求二面角的平面角． 

第18题图 

【测量目标】线面垂直和线面平行的判定与线面角的求法.                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                   

【考查方式】线线垂直线面垂直，由对应线段关系利用余弦定理求出线面角.

【难易程度】较难

【试题解析】（1）设中点为，连接，

可得出（步骤1）

从而即平面（步骤2）

又分别是的中点，平面又显然平面又平面平面平面（步骤3）

平面平面（步骤4）

（2）由（1）知，且平面平面就是二面角的平面角，（步骤5）

（步骤6）

即二面角的余弦值为（步骤7）

第18题图 

19．（本小题满分14分）

  设圆与两圆，中的一个内切，另一个外切．

（1）求圆的圆心轨迹的方程；

（2）已知点（，），，且为上的动点，求的最大值及此时点的坐标．

【测量目标】圆与圆的位置关系，双曲线的标准方程，直线与双曲线的位置关系和圆锥曲线的综合应用.

【考查方式】给出曲线与两圆之间的位置关系，利用圆心距求出曲线的轨迹方程；根据双曲线上动点与定点的线段关系，联立直线方程与曲线方程求出交点，进而得出取最值时的点坐标.

【难易程度】较难

【试题解析】（1）设两圆，的圆心分别为,半径为，

        则， ∴点轨迹为双曲线，其中，（步骤1）

       ∴圆的圆心轨迹的方程为．（步骤2）

     （2）直线的方程为，（步骤3）

         由或．

         设, 

         ∴当点在点处时，满足．（步骤4）

20．（本小题满分14分）

设，数列满足,．

      (1)求数列的通项公式；

      (2)证明：对于一切正整数,．

【测量目标】已知递推关系求通项，不等式恒成立问题.

【考查方式】由递推关系化简变形求出最简式，再利用配凑法或书数学归纳法求出其通项；利用并项求合法、放缩法以及均值不等式得出不等式恒成立的关系.  

【难易程度】较难

【试题解析】(1)由得,

   当时, , 所以是以首项为,公差为的等差数列,

   所以,从而.（步骤1）

   当时, ,所以是首项为,公比为的等比数列,所以,从而.

   综上所述,数列的通项公式为（步骤2）

  （Ⅱ）当时,不等式显然成立;

   当时,要证,只需证,即证(*)

   因为（步骤3）

（步骤4）

所以不等式（*）成立，从而原不等式成立；

综上所述，当时，对于一切正整数,（步骤5）

21．（本小题满分14分）

在平面直角坐标系上，给定抛物线，实数满足，是方程的两根，记．

（1）过点作的切线交轴于点．证明：对线段上的任一点，有；

（2）设是定点，其中满足．过作的两条切线，切点分别为，与轴分别交于．线段上异于两端点的点集记为X，

证明：；

（3）设，当点取遍D时，求的最小值（记为）和最大值（记为）．  

【测量目标】抛物线与直线的位置关系，导数在实际问题中的应用，不等式的大小比较.

【考查方式】应用导数建立直线方程，求出抛物线上点与线段的对应关系，得出证明；利用切线方程的关系，得出不等式的推导关系；在所给范围内代入函数解析式求出对应的最值.

【难易程度】较难

【试题解析】（１），

直线的方程为，即，（步骤1）

，方程的判别式，

两根或，（步骤2）

，，又，

，得，（步骤3）

．（步骤4）

（２）由知点在抛物线的下方，（步骤5）

①当时，作图可知，若，则，得；

若，显然有点； ．（步骤6）

②当时，点在第二象限，

作图可知，若，则，且；

若，显然有点； 

．（步骤7）

根据曲线的对称性可知，当时， ，

综上所述， （*）；（步骤8）

由（１）知点M在直线EF上，方程的两根或，

同理点M在直线上，方程的两根或，（步骤9）

若，则不比、、小，

，又， 

；又由（１）知， ；

，综合（*）式，得证．（步骤10）

（３）联立，得交点，可知，（步骤11）

过点作抛物线的切线，设切点为，则， 

得，解得，（步骤12）

又，即，

，设， ，（步骤13）

，又，；（步骤14）

，，

．（步骤15）