2013四川绵阳中考数学

数学

第一卷（选择题，共36分）

一．选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（2013四川绵阳，1，3分）的相反数是（     ）

A．     B．    C．      D． 

【答案】 C

2．（2013四川绵阳，2，3分）下列“数字”图形中，有且仅有一条对称轴的是（     ）

【答案】 A

3．（2013四川绵阳，3，3分）2013年，我国上海和安徽首先发现“H7N9”禽流感，H7N9是一种新型禽流感，其病毒颗粒呈多形性，其中球形病毒的最大直径为0.00000012米，这一直径用科学记数法表示为（      ）

A．1.2×10-9米     B．1.2×10-8米      C．12×10-8米       D．1.2×10-7米

【答案】 B

4．（2013四川绵阳，4，3分）设“▲”、“●”、“■”分别表示三种不同的物体，现用天平秤两次，情况如图所示，那么▲、●、■这三种物体按质量从大到小排列应为（     ）

A．■、●、▲      B．▲、■、●      C．■、▲、●      D．●、▲、■

【答案】 C

5．（2013四川绵阳，5，3分）把右图中的三棱柱展开，所得到的展开图是（     ）

【答案】B 

6．（2013四川绵阳，6，3分）下列说法正确的是（     ）

A．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形

B．对角线互相垂直的梯形是等腰梯形

C．对角线互相垂直的四边形是平行四边形

D．对角线相等且互相平分的四边形是矩形

【答案】 D.

7．（2013四川绵阳，7，3分）如图，要拧开一个边长为a=6cm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为（     ）

A．     B．12mm      C．      D． 

【答案】C 

8．（2013四川绵阳，8，3分）朵朵幼儿园的阿姨给小朋友分苹果，如果每人3个还3个，如果每人2个又多2个，请问共有多少个小朋友？（     ）

A．4个       B．5个       C．10个        D．12个

【答案】B .

9．（2013四川绵阳，9，3分）如图，在两建筑物之间有一旗杆，高15米，从A点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C点，且俯角α为60º，又从A点测得D点的俯角β为30º，若旗杆底总G为BC的中点，则矮建筑物的高CD为（    ）

A．20米     B．米     C．米      D．米

【答案】 A

10．（2013四川绵阳，10，3分）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC=8cm，BD=6cm，DH⊥AB于点H，且DH与AC交于G，则GH=（     ）

A．     B．      C．     D． 

【答案】 B

11．（2013四川绵阳，11，3分）“服务他人，提升自我”，七一学校积极开展志愿者服务活动，来自初三的5名同学（3男两女）成立了“交通秩序维护”小分队，若从该小分队中任选两名同学进行交通秩序维护，则恰好是一男一女的概率是（     ）

A．      B．       C．       D． 

【答案】 D

12．（2013四川绵阳，12，3分）把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：（1），（3，5，7），（9，11，13，15，17），（19，21，23，25，27，29，31），…，现用等式AM=（i，j）表示正奇数M是第i组第j个数（从左往右数），如A7=（2，3），则A2013=（     ）

A．（45，77）     B．（45，39）     C．（32，46）     D．（32，23）

【答案】 C

第二卷（非选择题，共114分）

二．填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分。将答案填写在答题卡相应的横线上。

13．（2013四川绵阳，13，4分）因式分解： =                  。

【答案】 x2y2(x+y)(x-y)

14．（2013四川绵阳，14，4分）如图，AC、BD相交于O，AB//DC，AB=BC，∠D=40º，∠ACB=35º，则∠AOD=       .

【答案】 75°

15．（2013四川绵阳，15，4分）如图，把“QQ”笑脸放在直角坐标系中，已知左眼A的坐标是（-2，3），嘴唇C点的坐标为（-1，1），则将此“QQ”笑脸向右平移3个单位后，右眼B的坐标是           。

【答案】（3，3) 

16．（2013四川绵阳，16，4分）对正方形ABCD进行分割，如图1，其中E、F分别是BC、CD的中点，M、N、G分别是OB、OD、EF的中点，沿分化线可以剪出一副“七巧板”，用这些部件可以拼出很多图案，图2就是用其中6块拼出的“飞机”。若△GOM的面积为1，则“飞机”的面积为            。

【答案】 16

17．（2013四川绵阳，17，4分）已知整数k＜5，若△ABC的边长均满足关于x的方程，则△ABC的周长是      。

【答案】 .6或12或10

18．（2013四川绵阳，18，4分）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列结论：①2a+b＞0；②b＞a＞c；③若-1＜m＜n＜1，则m+n＜；④3|a|+|c|＜2|b|。其中正确的结论是           （写出你认为正确的所有结论序号）。

【答案】 ①③④.

【关键词】一次函数的图像性质

三．解答题：本大题共7个小题，共90分。解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤。

19．（本题共2个小题，每小题8分，共16分）

（1）（2013四川绵阳，19①，8分）计算：；

（1）原式=-+2（-1）×（+1）=-+2=1；

（2）（2013四川绵阳，19②，8分）解方程： 

（2）去分母得：x（x+2）-（x-1）（x+2）=3，

去括号得：x2+2x-x2-x+2=3，解得：x=1，

经检验x=1是增根，原分式方程无解．

20．（本题满分12分）

（2013四川绵阳，20，12分）为了从甲．乙两名选手中选拔一个参加射击比赛，现对他们进行一次测验，两个人在相同条件下各射靶10次，为了比较两人的成绩，制作了如下统计图表：

图1  甲、乙射击成绩统计表

（1）请补全上述图表（请直接在表中填空和补全折线图）；

（2）如果规定成绩较稳定者胜出，你认为谁应胜出？说明你的理由；

（3）如果希望（2）中的另一名选手胜出，根据图表中的信息，应该制定怎样的评判规则？为什么？

解：（1）根据折线统计图得乙的射击成绩为：2，4，6，7，7，8，8，9，9，10，

则平均数为=7（环），中位数为7.5环，

方差为[（2-7）2+（4-7）2+（6-7）2+（8-7）2+（7-7）2+（7-7）2+（8-7）2+（9-7）2+（9-7）2+（10-7）2]=5.4（环）；

甲的射击成绩为9，6，7，6，5，6，7，9，10，平均数为7，

则甲第八环成绩为70-（9+6+7+6+5+6+7+9+10）=5（环），成绩为5，5，6，6，6，7，7，9，9，10，

中位数为6.5，平均数为（5+5+6+6+6+7+7+9+9+10）=7（环），

方差为[（5-7）2+（5-7）2+（6-7）2+（6-7）2+（6-7）2+（7-7）2+（7-7）2+（9-7）2+（9-7）2+（10-7）2]=2.8（环），

补全如下：甲、乙射击成绩统计表

                  图8-Y-13

（2）由乙的方差小于甲的方差，得到乙胜出；

（3）希望甲胜出，规则为9环与10环的总数大的胜出，因为甲9环与10环的总数为4环，分别为9，9，9，10．

21．（本题满分12分）

（2013四川绵阳，21，12分）如图，AB是⊙O的直径，C是半圆O上的一点，AC平分∠DAB，AD⊥CD，垂足为D，AD交⊙O于E，连接CE。

（1）判断CD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；

（2）若E是的中点，⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积。

【解】（1）CD与圆O相切，理由为：

∵AC为∠DAB的平分线，∴∠DAC=∠BAC，

∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠DAC=∠OCA，∴OC∥AD，

∵AD⊥CD，

∴OC⊥CD，

∴CD与圆O相切；

（2）连接EB，由AB为直径，得到∠AEB=90°，

∴EB∥CD，F为EB的中点，

∴OF为△ABE的中位线，

∴OF=AE=，即CF=DE=，

在Rt△OBF中，根据勾股定理得：EF=FB=DC=，

则S阴影=S△DEC=××=．

22．（本题满分12分）

（2013四川绵阳，22，12分）如图，已知矩形OABC中，OA=2，AB=4，双曲线（k＞0）与矩形两边AB、BC分别交于E、F。

（1）若E是AB的中点，求F点的坐标；

（2）若将△AEF沿直线EF对折，B点落在x轴上的D点，作EG⊥OC，垂足为G，证明△EGD∽△DCF，并求k的值。

【解】：（1）∵点E是AB的中点，OA=2，AB=4，

∴点E的坐标为（2，2），

将点E的坐标代入y=，可得k=4，

即反比例函数解析式为：y=，

∵点F的横坐标为4，∴点F的纵坐标=1，

故点F的坐标为（4，1）．

（2）由折叠的性质可得：BE=DE，BF=DF，∠B=∠EDF=90°，

∵∠CDF+∠EDG=90°，∠GED+∠EDG=90°，

∴∠CDF=∠GED，

又∵∠EGD=∠DCF=90°，

∴△EGD∽△DCF，

结合图形可设点E坐标为（，2），点E坐标为（4，），

则CF=，BF=DF=2-，ED=BE=AB-AE=4-，

在Rt△CDF中，CD===，

∵，即，∴ =1，解得：k=3．

23．（本题满分12分）

（2013四川绵阳，23，12分）“低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具。某运动商城的自行车销售量自2013年起逐月增加，据统计，该商城1月份销售自行车辆，3月份销售了100辆。

（1）若该商城前4个月的自行车销量的月平均增长率相同，问该商城4月份卖出多少辆自行车？

（2）考虑到自行车需求不断增加，该商城准备投入3万元再购进一批两种规格的自行车，已知A型车的进价为500元/辆，售价为700元/辆，B型车进价为1000元/辆，售价为1300元/辆。根据销售经验，A型车不少于B型车的2倍，但不超过B型车的2.8倍。假设所进车辆全部售完，为使利润最大，该商城应如何进货？

解：（1）设平均增长率为x，根据题意得：

（1+x）2=100，解得：x=0.25=25%或x=-2.25

四月份的销量为：100（1+25%）=125辆，

答：四月份的销量为125辆．

（2）设A型车x辆，根据题意得：

2×2.8×，解得：30≤x≤35，

∵B型车的利润大于A型车的利润，

∴当A型车进货量最小时有最大利润，

∴最大利润为：200×30+300×15=10500；

24．（本题满分12分）

（2013四川绵阳，24，12分）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点C的坐标为（0，-2），交x轴于A、B两点，其中A（-1，0），直线l：x=m（m＞1）与x轴交于D。

（1）求二次函数的解析式和B的坐标；

（2）在直线l上找点P（P在第一象限），使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似，求点P的坐标（用含m的代数式表示）；

（3）在（2）成立的条件下，在抛物线上是否存在第一象限内的点Q，使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由。

【解】（1）根据对称性可知B(1，0)，设二次函数解析式为y=a(x+1)(x-1)，则

a(0+1)(0-1)=-2，解得a=2，所以二次函数解析式为y=2(x+1)(x-1)=2x2-2.

(2)若△PDB∽△BOC，则，，PD.

若△PDB∽△COB，则，，PD=2m-2.

∴P(m，) 或(m，2m-2) .

（3）如图，过点Q做QE⊥直线l，∠AOE=90°，PQ=BP，显然△PQE≌△BPQ，

若P(m，) ，则QE=PE=，PE=BD=m-1，所以Q(m-， +m-1) ，即Q(，)，若点Q在抛物线上，则2（）2-2=，即m2-m-6=0，解得m=3或-2，因为m＞1，∴m=3，所以Q(2，3)；

若P(m，2m-2) ，QE=PE=2m-2，PE=BD=m-1，所以Q(m-（2m-2），2m-2+m-1) ，即Q(-m+2，3m-3)，若点Q在抛物线上，则2（-m+2）2-2=3m-3，即2m2-11m+9=0，解得m=或9，因为m＞1，所以m=9,所以QQ(-7，24).

    综上，点Q(2，3)、(-7，24).

25．（本题满分14分）

（2013四川绵阳，25，12分）我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重心。重心有很多美妙的性质，如在关线段比．面积比就有一些“漂亮”结论，利用这些性质可以解决三角形中的若干问题。请你利用重心的概念完成如下问题：

（1）若O是△ABC的重心（如图1），连结AO并延长交BC于D，证明：；

（2）若AD是△ABC的一条中线（如图2），O是AD上一点，且满足，试判断O是△ABC的重心吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；

（3）若O是△ABC的重心，过O的一条直线分别与AB、AC相交于G、H（均不与△ABC的顶点重合）（如图3），S四边形BCHG．S△AGH分别表示四边形BCHG和△AGH的面积，试探究的最大值。

【解】（1）连接BO并延长交AC于点E，连接DE，则DE为△ABC的中位线，∴DE∥AB，∴△CDO≌△ABO，∴，∴.

（2）是，证明：

连接BO并延长交AC于点E，过点D作DF∥BE交AC于点F，则△AOE≌△ADF，

∴=，

∴AE=2EF，

又∵△AOE≌△ADF，

∴=，

∴EF=FC，

∴AE=CE，即点E为AC中点，

∴点O为△ABC的重心.