知识讲解 带电粒子在磁场中的运动(基础)

【考纲要求】

1、知道洛伦兹力的特点，会计算其大小并用左手定则确定其方向；

2、掌握带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的半径周期公式，知道常见的分析方法；

3、知道带电粒子在有界磁场中运动的多解情况、临界值与极值问题的处理方法，会

熟练求解相关问题。

【考点梳理】

考点、带电粒子在磁场中的运动

两类典型的综合问题

要点诠释：

1、带电粒子在有界磁场中运动的极值问题，注意下列结论，再借助数学方法分析

（1）刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。

（2）当速度v一定时，弧长（或弦长）越长，圆周角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。

（3）当速率v变化时，圆周角越大的，运动时间越长。

2、带电粒子在磁场中的运动的多解问题

带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于多种因素的影响，使问题形成多解，多解形成原因一般包含下述几个方面．

（1）带电粒子电性不确定形成多解

受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电荷，也可能带负电荷，在相同的初速度的条件下，正负粒子在磁场中运动轨迹不同，导致形成双解。

（2）磁场方向不确定形成多解

有些题目只告诉了磁感应强度的大小，而未具体指出磁感应强度方向，此时必须要考虑磁感应强度方向不确定而形成的多解。

（3）临界状态不唯一形成多解

带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过去了，也可能转过180°从入射界面这边反向飞出，如图所示，于是形成了多解。

（4）运动的往复性形成多解

带电粒子在部分是电场，部分是磁场空间运动时，往往运动具有往复性，因而形成多解。【典型例题】

类型一、带电粒子在磁场中的运动的基础知识

【高清课堂：磁场对运动电荷的作用例2 】

例1、如图，在电流I旁边有一个电子，某时刻具有与I相同的运动方向，则下列说法正确的是（）

A. 电子向左偏转，速度大小增大

B. 电子向右偏转，速度大小不变

C. 电子不偏转，速度大小不变

D. 电子向纸面外偏转，速度大小变大

【思路点拨】直线电流右边的磁场方向垂直向里，电子带负电，左手定则，洛伦兹力不做功。【答案】B

【解析】由安培定则可知导体右侧磁场方向垂直纸面向里，然后跟左手定则可知运动电子所受洛伦兹力向右，因此电子将向右偏转，洛伦兹力不做功，故其速率不变，故ACD错误，B正确．

【总结升华】本题考察的是基础知识，判断直线电流的磁场方向、洛伦兹力的方向、洛伦兹力不做功等基本概念，因此必须熟练掌握，不得出差错。

举一反三

【变式】（2015 重庆卷）图中曲线a、b、c、d为气泡室中某放射物质发生衰变放出的部分粒子的经迹，气泡室中磁感应强度方向垂直纸面向里。以下判断可能正确的是

A.a、b为β粒子的经迹

B. a、b为γ粒子的经迹

C. c、d为α粒子的经迹

D. c、d为β粒子的经迹

【答案】D

【解析】γ射线是不带电的光子流，在磁场中不偏转，故选项B错误；α粒子为氦核带正电，由左手定则知受到向上的洛伦兹力向上偏转，故选项A、C错误；β粒子是带负电的电子流，应向下偏转，选项D正确。故选D。

【考点】本题考查放射线的性质、带电粒子在磁场中的运动。

类型二、带电粒子打在屏上的范围问题

例2、如图所示，相距为R的两块平行金属板M、N正对着放置，s1、s2分别为M、N 板上的小孔，s1、s2、O三点共线，它们的连线垂直板M、N，且s2O=R。以O为圆心、R 为半径的圆形区域内存在磁感应强度为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场。D为收集板，板上各点到O点的距离以及板两端点的距离都为2R，板两端点的连线垂直M、N板。质量为m、带电量为+q的粒子，经s1进入M、N间的电场后，通过s2进入磁场。粒子在s1处的速度和粒子所受的重力均不计。

（1）当M、N间的电压为U时，求粒子进入磁场时速度的大小v；

（2）若粒子恰好打在收集板D的中点上，求M、N间的

电压值U0；

（3）当M、N间的电压不同时，粒子从s1到打在D上

经历的时间t会不同，求t的最小值。

【思路点拨】（1）粒子经过电场加速，用动能定理求；（2）粒子打在收集板D 的中点时，射出磁场方向竖直向下，在磁场中运动的半径为R ；（3）求t 的最小值，为粒子在电场中经历的时间、粒子在磁场中经历的时间、粒子出磁场后做匀速直线运动经历的时间三段时间之和。

【答案】（1）m

qU v 2=（2）m R qB U 2220= （3

）t = 【解析】（1）粒子从s 1到达s 2的过程中，根据动能定理得 221mv qU =

① 解得粒子进入磁场时速度的大小m

qU v 2= （2）粒子进入磁场后在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，有

r

v m qvB 2

= ② 由①②得加速电压U 与轨迹半径r 的关系为 m

r qB U 22

2= 当粒子打在收集板D 的中点时，粒子在磁场中运动的半径r 0=R

对应电压 m R qB U 22

20=

③ （3）M 、N 间的电压越大，粒子进入磁场时的速度越大，粒子在极板间经历的时间越短， 同时在磁场中运动轨迹的半径越大，在磁场中运动的时间也会越短，出磁场后匀速运动的时 间也越短，所以当粒子打在收集板D 的右端时，对应时间t 最短。

根据几何关系可以求得粒子在磁场中运动的半径r = ④

由 ② 得粒子进入磁场时速度的大小 m

qBr v = 粒子在电场中经历的时间 qB

m v R t 3322

1== ⑤ 粒子在磁场中经历的时间 qB

m v R t 3332ππ

=⋅= ⑥

粒子出磁场后做匀速直线运动经历的时间 qB

m v R t 333== ⑦ 粒子从s 1到打在收集板D 上经历的最短时间为 123(33)3m t t t t qB π+=++=

⑧ 【总结升华】根据题意分析粒子在不同的区域的运动规律，按照各自的特点列方程求解，求出各部分的时间等问题。

举一反三

【变式】（2016 全国新课标Ⅲ卷）平面OM 和平面ON 之间的夹角为30°，其横截面（纸面）如图所示，平面OM 上方存在匀强磁场，磁感应强度大小为B ，方向垂直于纸面向外。一带电粒子的质量为m ，电荷量为q （q >0）。粒子沿纸面以大小为v 的速度从PM 的某点向左上方射入磁场，速度与OM 成30°角。已知粒子在磁场中的运动轨迹与ON 只有一个交点，并从OM 上另一点射出磁场。不计重力。粒子离开磁场的射点到两平面交线O 的距离为（ ）

A. 2mv qB 错误!未找到引用源。

B. 3mv qB

C. 2mv qB

D. 4mv qB 错误!未找到引用源。

【答案】D

【解析】如图所示：

粒子运动轨迹与ON 只有一个交点，则轨迹与ON 相切于C ，由几何关系可知：

2sin 30.AB r r =︒=则三角形O ´AB 为等边三角形，CO ´A 为一条直线，三角形AOC 为直角三角形，所以4AO r =，又mv r qB =

，故距离为4mv qB

。ABC 错，D 正确。 故选D 。

类型三、带电粒子在磁场中运动的多解问题

例3、如图所示，第一象限范围内有垂直于xOy 平面的匀强磁场，磁感应强度为B 。质量为m ，电量大小为q 的带电粒子在xOy 平面里经原点O 射入磁场中，初速度0v 与x 轴夹角60θ=，试分析计算：

（1）带电粒子从何处离开磁场？穿越磁场时运动方向发生的偏

转角多大？

（2）带电粒子在磁场中运动时间多长？

【思路点拨】由于粒子的电性不确定则是多解问题。分别分析粒子带正电的情况和粒子带负电的情况。

【解析】若带电粒子带负电，进入磁场后做匀速圆周运动，圆心为O 1，粒子向x 轴偏转，并从A 点离开磁场。若带电粒子带正电，进入磁场后做匀速圆

周运动，圆心为O 2，粒子向y 轴偏转，并从B 点离开磁场。不

论粒子带何种电荷，其运动轨道半径均为0mv R qB

=。如图所示，有1

212OO O O R O A O B ==== 带电粒子沿半径为R 的圆运动一周所用的时间为2m T Bq

π=。 （1）若粒子带负电，它将从x 轴上A 点离开磁场，运动方向发生的偏转角120θ=。 A 点与O 点相距033mv x R Bq

== 若粒子带正电，它将从y 轴上B 点离开磁场，运动方向发生的偏转角260θ=，B 点与O 点相距0mv y R qB

== （2）若粒子带负电，它从O 到A 所用的时间为1

123603m t T Bq

θπ==︒

若粒子带正电，它从O 到B 所用的时间为2

23603m

t T Bq θπ==︒

【总结升华】解题的关键仍然是要画出轨迹图，要多练多想，熟能生巧，同时还要考虑电荷的正负。本题是由于粒子的电性不确定而造成的多解问题。

【变式1】一质量为m ，电量为q 的负电荷在磁感应强度为B 的匀强磁场中绕固定的正电荷沿固定的光滑轨道做匀速圆周运动，若磁场方向垂直于它的运动平面，且作用在负电荷的电场力恰好是磁场力的三倍，则负电荷做圆周运动的角速度可能是（ ） A.4Bq m B. 3Bq m C. 2Bq m D. Bq m

【答案】AC

【解析】依题中条件“磁场方向垂直于它的运动平面”，磁场方向有两种可能，且这两种可能方向相反。在方向相反的两个匀强磁场中，由左手定则可知负电荷所受的洛仑兹力的方向也是相反的。

当负电荷所受的洛仑兹力与电场力方向相同时，根据牛顿第二定律可知

2

4v Bqv m R

=，得4BqR v m = 此种情况下，负电荷运动的角速度为4v Bq R m

ω== 当负电荷所受的洛仑兹力与电场力方向相反时， 有2

2v Bqv m R

=，得2BqR v m =。 此种情况下，负电荷运动的角速度为2v Bq R m

ω==。应选A 、C 。 【变式2】一足够长的矩形区域abcd 内充满磁感应强度为B ，方向垂直纸面向里的匀强磁场，矩形区域的左边界ad 宽为L ，现从ad 中点O 垂直于磁场射入一带电粒子，速度大小为v 0，方向与ad 夹角为30°，如图所示。已知粒子的电荷量为q ，质量为m （重力不计） （1）若粒子带负电，且恰能从d 点射出磁场，求v 0的大小；

（2）若粒子带正电，使粒子能从ab 边射出磁场，求v 0的取值范围以及粒子在磁场中运动时间t 的范围。

【答案】（1）02qBR qBL v m m ==（2）03qBL qBL v m m <≤，5463m m t qB qB

ππ≤< 【解析】（1）由图中几何关系可知：2

L R =，

根据200v qv B m R

=，则02qBR qBL v m m == （2）当v 0最大时：11cos 602L R R -=

得R 1=L ， 则1max qBR qBL v m m

== 当v 0最小值：22sin 302L R R +=

得23L R = 则2min 3qBR qBL v m m

== 所以v 0的取值范围为03qBL qBL v m m

<≤ 带电粒子从ab 边射出磁场，当速度为max v 时，运动时间最短，

min 15053606m t T qB

π== 速度为min v 时运动时间最长： max 24043603m t T qB π=

= ∴粒子运动时间t 的范围 5463m m t qB qB

ππ≤< 类型四、带电粒子在有界磁场中运动的极值问题

磁场边界上的C点飞出(C点在图中未标出)，C点到A点的距离为R。粒子重力不计。求粒子的速度大小和粒子在磁场中运动的时间。

【答案】第一种情况：3qBR

m3

m

qB

π

第二种情况：3

2

qBR

m

m

qB

π

【解析】第一种情况：由几何关系可得∠CAB＝30°，所以，θ＝30°

在直角三角形AOD中，

3

2

R

AD=，AO为粒子运动的半径r，

sin

AD

r

θ

=。

设粒子速度为v

2

mv qvB r

= 解得3qBR v m

= 粒子在磁场中运动的周期：2m T qB π=

粒子在磁场中运动的时间63T m t qB

π== 第二种情况：由几何关系可得粒子的轨道半径:32

R r =

设粒子速度为v 1

2111

mv qv B r = 解得：132qBR v m

= 粒子在磁场中运动的时间：12T m t qB π=

= 举一反三

【变式】一带电质点，质量为m ，电量为q ，以平行于x 轴以速度v 从y 轴上的a 点进入图a 中第一象限所示的区域，为了使该质点能从x 轴上b 点以垂直于x 轴的速度v 射出，可在

【答案】

22

22

mv R r

qB ==

【解析】粒子运动速度方向转过90°角，所以粒子必在磁场中转过1

4

圆弧，并且圆弧半径必

为

mv

r

qB

=，圆弧轨迹与过a点且与y轴相垂直的直线和过b点与x轴相垂直的直线相切。

分别过a点和b点作平行于x轴和y轴的两条直线，它们与粒子圆弧轨迹相切于a＇和b＇，则实线a b''为粒子在磁场中运动的轨迹，如图（b）所示。

为保证a b''在磁场内，并且磁场区域为最小的圆，显见磁场区域应以a b''连线为其直径，如

图中的虚线圆所示。所以，磁场圆形区域半径的数学表达式为：

22

22

mv R r

qB ==.