圆锥曲线——椭圆(基础知识)

①基础知识：

  一、 第一定义：平面内                                      的轨迹叫椭圆。

其中          叫做椭圆的焦点（F1 F2）。             叫做椭圆的焦距（|F1 F2|）。

★思考：|PF1|+|PF2|=|F1F2|时的轨迹是什么？

|PF1|+|PF2|<|F1F2|时呢？

  二、 第二定义：平面内                                      的轨迹叫椭圆。

其中定直线为：         定点为：         定值为：         范围：(0＜e＜1)。

三、标准方程。

椭圆的标准方程为：                   或                    （a>b>0）。

注意：标准方程说表示的椭圆及中心在坐标原点、长短轴在坐标轴上的椭圆。

如何判断焦点所在坐标轴：看分母、焦点在分母大的那一轴。

例如：＋＝1 ，两个分母分别为：4、3 。∵4＞3  又∵4是X项的分母 ∴焦点在X轴上。

 四、参数方程

（为参数）

  四、椭圆的简单几何性质。

①、范围。

以焦点在X轴的椭圆为例：

∵＋＝1(a＞b＞0) ∴≤1  ≤1 ∴|x|≤a |y|≤b 即：-a≤x≤a  -b≤y≤b

②、对称性。

关于X、Y轴成轴对称。 关于原点成中心对称。

③、顶点。

坐标轴和椭圆的四个交点：A1 、A2 、B1 、B2。

长轴：|A1A2|  短轴：|B1B2|

连接B、F。构成RT△OBF |OB|=b |OF|=c |BF|=a  ∴ a2=b2+c2 （重要的性质）

④、离心率。

椭圆的离心率：e= （0＜e＜1）  e越大越扁  e越小越近圆。

⑤、扩展。

通径：过焦点且垂直于长轴。    

焦半径：椭圆上一点到椭圆焦点的连线。

焦半径公式：若M（x0,y0）  |MF1|=a+ex0     |MF2|=a-ex0

★规律及其解题方法提炼：

1．椭圆中任意一点M到焦点F的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a＋c，最小距离为a－c. 

2．过焦点弦的所有弦长中，垂直于长轴的弦是最短的弦，而且它的长为      把这个弦叫椭圆的通径．

3．求椭圆离心率e时，只要求出a，b，c的一个齐次方程，再结合b2＝a2－c2就可求得e(0＜e＜1)．

4．从一焦点发出的光线，经过椭圆(面)的反射，反射光线必经过椭圆的另一焦点．

5．过椭圆外一点求椭圆的切线，一般应用判别式Δ＝0求斜率，也可设切点后求导数(斜率)．

6．求椭圆方程时，常用待定系数法，但首先要判断是否为标准方程，判断的依据是：(1)中心是否在原点，(2)对称轴是否为坐标轴．

★解题技巧

①、求椭圆的标准方程。（先确定方程为标准方程 方法如上。）

常用方法：

定义法：即根据椭圆的第一定义或第二定义 直接写出椭圆的标准方程。

待定系数法：当题目所给已知条件中不能直接写出椭圆方程时、 利用待定系数法。此时应注意 焦点的位置（X轴 或Y轴）假设相应方程 。如不确定焦点位置可假设方程为：mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，且m≠n)．

②、求切线方程。

若求  在（X0，Y0）处的切线方程，则：

一、设切线方程为：＋＝1 。 再代入一点即可求得。

二、建立方程组：联立切线方程 与 椭圆方程 消元后得到一个二次方程 。再利用根的判别式Δ=b2-4ac=0  确定系数 从而确定切线方程。

③、线系方程。

同焦距的方程 可假设为：＋＝1 。

同离心率的方程 可假设为：＋＝t2