抛物线(含答案)一轮复习随堂练习

1.(2011·东北三校联考)抛物线y2＝8x的焦点到双曲线－＝1的渐近线的距离为(　　)

A．1　　　　B.　 　　C.　　 　D. 

[答案]　A

[解析]　抛物线y2＝8x的焦点F(2,0)到双曲线－＝1的渐近线y＝±x的距离d＝1.

2．过点P(－3,1)且方向向量为a＝(2，－5)的光线经直线y＝－2反射后通过抛物线y2＝mx，(m≠0)的焦点，则抛物线的方程为(　　)

A．y2＝－2x      B．y2＝－x

C．y2＝4x      D．y2＝－4x

[答案]　D

[解析]　设过P(－3,1)，方向向量为a＝(2，－5)的直线上任一点Q(x，y)，则∥a，∴＝，∴5x＋2y＋13＝0，此直线关于直线y＝－2对称的直线方程为5x＋2(－4－y)＋13＝0，即5x－2y＋5＝0，此直线过抛物线y2＝mx的焦点F，∴m＝－4，故选D.

3．(文)(2011·茂名一模)直线y＝x－3与抛物线y2＝4x交于A、B两点，过A、B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P、Q，则梯形APQB的面积为(　　)

A．48      B．56  

C．      D．72

[答案]　A

[解析]　由题意不妨设A在第一象限，联立y＝x－3和y2＝4x可得A(9,6)，B(1，－2)，而抛物线的准线方程是x＝－1，所以|AP|＝10，|QB|＝2，|PQ|＝8，故S梯形APQB＝(|AP|＋|QB|)·|PQ|＝48，故选A.

(理)(2011·石家庄模拟)直线3x－4y＋4＝0与抛物线x2＝4y和圆x2＋(y－1)2＝1从左到右的交点依次为A、B、C、D，则的值为(　　)

A．16      B.  

C．4      D. 

[答案]　B

[解析]　由得x2－3x－4＝0，

∴xA＝－1，xD＝4，yA＝，yD＝4，

∵直线3x－4y＋4＝0恰过抛物线的焦点F(0,1)．

∴|AF|＝yA＋1＝，|DF|＝yD＋1＝5，

∴＝＝.故选B.

4．已知P为抛物线y2＝4x上一个动点，Q为圆x2＋(y－4)2＝1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是(　　)

A．5      B．8  

C.－1      D.＋2

[答案]　C

[解析]　抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，圆x2＋(y－4)2＝1的圆心为C(0,4)，设点P到抛物线的准线距离为d，根据抛物线的定义有d＝|PF|，∴|PQ|＋d＝|PQ|＋|PF|≥(|PC|－1)＋|PF|≥|CF|－1＝－1.

5．(文)(2012·山西四校联考)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)与抛物线y2＝8x有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P，若|PF|＝5，则双曲线的渐近线方程为(　　)

A．y＝±x      B．y＝±x

C．y＝±x      D．y＝±x

[答案]　B

[解析]　设点P(m，n)，依题意得，点F(2,0)，由点P在抛物线y2＝8x上，且|PF|＝5得，由此解得m＝3，n2＝24.于是有，由此解得a2＝1，b2＝3，该双曲线的渐近线方程为y＝±x，选B.

(理)(2012·辽宁文，12)已知P，Q为抛物线x2＝2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，－2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为(　　)

A．1      B．3  

C．－4      D．－8

[答案]　C

[解析]　本题考查了导数的几何意义．

由已知可设P(4，y1)，Q(－2，y2)．

∵点P，Q在抛物线x2＝2y上，

∴

∴

∴P(4,8)，Q(－2,2)．

又∵抛物线可化为y＝x2，∴y′＝x.

∴过点P的切线斜率为k1＝4，

切线方程为y＝4x－8，

又∵过点Q的切线斜率为k2＝－2，

∴过点Q的切线为y＝－2x－2，

联立解得x＝1，y＝－4.

∴点A的纵坐标为－4.

[点评]　注意对抛物线方程的整理，化为二次函数形式，然后利用导数求切线方程．

6．(2011·湖北文，4)将两个顶点在抛物线y2＝2px(p>0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，则(　　)

A．n＝0      B．n＝1

C．n＝2      D．n≥3

[答案]　C

[解析]　由抛物线的对称性知，在抛物线上的两个顶点关于x轴对称，所以过抛物线焦点F作斜率为(或斜率为－)的直线与抛物线有两个不同交点，它们关于x轴的对称点也在抛物线上，这样可得到两个正三角形．

7．若点(3,1)是抛物线y2＝2px的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p＝________.

[答案]　2

[解析]　设弦两端点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，

则两式相减得，＝＝2，

∵y1＋y2＝2，∴p＝2.

8．已知点A(2,0)、B(4,0)，动点P在抛物线y2＝－4x上运动，则·取得最小值时的点P的坐标是______．

[答案]　(0,0)

[解析]　设P，则＝，＝，·＝＋y2＝＋y2＋8≥8，当且仅当y＝0时取等号，此时点P的坐标为(0,0)．

9．(文)(2011·湖南六校联考)AB是抛物线y2＝x的一条焦点弦，若|AB|＝4，则AB的中点到直线x＋＝0的距离为________．

[答案]　 

[解析]　由题可知|AB|＝4，所以A、B两点分别到准线x＝－的距离之和为4，所以AB的中点到准线x＝－的距离为2，所以AB的中点到直线x＝－的距离为2＋＝.

(理)(2011·黑龙江哈六中期末)设抛物线y2＝8x的焦点为F，过点F作直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点E到y轴的距离为3，则AB的长为________．

[答案]　10

[解析]　2p＝8，∴＝2，∴E到抛物线准线的距离为5，∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝2×5＝10.

10．(文)(2011·福建文，18)如图，直线l：y＝x＋b与抛物线C：x2＝4y相切于点A.

(1)求实数b的值；

(2)求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程．

[解析]　(1)由

消去y得，x2－4x－4b＝0(*)

∵直线l与抛物线相切，

∴△＝(－4)2－4×(－4b)＝0，

∴b＝－1.

(2)由(1)知b＝－1，方程(*)为x2－4x＋4＝0，

解得x＝2，代入x2＝4y中得，y＝1，∴A(2,1)．

∵圆A与抛物线准线y＝－1相切，

∴r＝|1－(－1)|＝2.

所以圆A的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.

(理)(2011·韶关月考)已知动圆过定点F(0,2)，且与定直线L：y＝－2相切．

(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；

(2)若AB是轨迹C的动弦，且AB过F(0,2)，分别以A、B为切点作轨迹C的切线，设两切线交点为Q，证明：AQ⊥BQ.

[解析]　(1)依题意，圆心的轨迹是以F(0,2)为焦点，L：y＝－2为准线的抛物线，

因为抛物线焦点到准线距离等于4，

所以圆心的轨迹方程是x2＝8y.

(2)证明：因为直线AB与x轴不垂直，

设AB：y＝kx＋2.A(x1，y1)，B(x2，y2)．

由可得x2－8kx－16＝0，

∴x1＋x2＝8k，x1x2＝－16.

抛物线方程为y＝x2，求导得y′＝x.

所以过抛物线上A、B两点的切线斜率分别是k1＝x1，k2＝x2，

k1k2＝x1·x2＝x1·x2＝－1.

所以AQ⊥BQ.

能力拓展提升

11.(文)(2011·山东文，9)设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是(　　)

A．(0,2)         B．[0,2]

C．(2，＋∞)         D．[2，＋∞)

[答案]　C

[解析]　设圆的半径为r，因为F(0,2)是圆心，抛物线C的准线方程y＝－2.圆与准线相切时半径为4.若圆与准线相交则r>4.又因为点M(x0，y0)为抛物线x2＝8y上一点，所以有x＝8y0.又点M(x0，y0)在圆x2＋(y－2)2＝r2上．所以x＋(y0－2)2＝r2>16，所以8y0＋(y0－2)2>16，即有y＋4y0－12>0，解得y0>2或y0<－6(舍)，

∴y0>2.故选C.

(理)已知抛物线y2＝2px(p>0)，过焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为(　　)

A．x＝1      B．x＝－1  

C．x＝2      D．x＝－2

[答案]　B

[解析]　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则线段AB的中点(，)，∴＝2，①－②得y－y＝2p(x1－x2)，∴kAB＝＝＝，

∵kAB＝1，∴p＝2，∴y2＝4x，

∴准线方程为：x＝－1，故选B.

12．(2012·安徽理，9)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点，若|AF|＝3，则△AOB的面积为(　　)

A.      B.  

C.      D．2

[答案]　C

[解析]　设∠AFx＝θ(0<θ<π)，|BF|＝m；由点A到准线l：x＝－1的距离为3，

得：3＝2＋3cosθ，∴cosθ＝，

又m＝2－mcosθ⇔m＝＝，

△AOB的面积为S＝×|OF|×|AB|×sinθ＝×1×(3＋)×＝.故选C.

[点评]　也可以先由定义和|AF|＝3求得A点坐标得出AF的方程，再解方程组求得AF与抛物线的另一交点B，然后求面积．

13．(2011·台州二检)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，F关于原点的对称点为P，过F作x轴的垂线交抛物线于M、N两点，有下列四个命题：

①△PMN必为直角三角形；②△PMN不一定为直角三角形；③直线PM必与抛物线相切；④直线PM不一定与抛物线相切．其中正确的命题是(　　)

A．①③　 　B．①④　 　C．②③　 　D．②④

[答案]　A

[解析]　因为|PF|＝|MF|＝|NF|，故∠FPM＝∠FMP，∠FPN＝∠FNP，从而可知∠MPN＝90°，故①正确，②错误；令直线PM的方程为y＝x＋，代入抛物线方程可得y2－2py＋p2＝0，Δ＝0，所以直线PM与抛物线相切，故③正确，④错误．

14．(2012·陕西理，13)下图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2m，水面宽4m，水位下降1m后，水面宽________m.

[答案]　2

[解析]　本题考查了抛物线方程在实际问题中的应用．

如图建立坐标系

设方程x2＝－2py(p>0)，由题意知点(2，－2)在抛物线上，可得p＝1，

则方程为x2＝－2y，当y＝－3时，x＝±，

所以水面宽2m.

[点评]　抛物线方程在实际问题中的应用，关键是合理建立平面直角坐标系，还要注意数据的实际意义．

15．(文)已知点A(0，－2)，B(0,4)，动点P(x，y)满足·＝y2－8.

(1)求动点P的轨迹方程；

(2)设(1)中所求轨迹与直线y＝x＋2交于C，D两点，求证：OC⊥OD(O为原点)．

[解析]　(1)由题意可得

·＝(－x，－2－y)·(－x,4－y)＝y2－8，

化简得x2＝2y.

(2)证明：将y＝x＋2代入x2＝2y中得，

x2＝2(x＋2)．

整理得x2－2x－4＝0，

可知Δ＝4＋16＝20>0，x1＋x2＝2，x1x2＝－4.

∵y1＝x1＋2，y2＝x2＋2，

∴y1·y2＝(x1＋2)(x2＋2)＝x1x2＋2(x1＋x2)＋4＝4.

∴kOC·kOD＝·＝＝－1，

∴OC⊥OD.

(理)(2011·淄博模拟)在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2＝4x相交于不同的A、B两点．

(1)如果直线l过抛物线的焦点，求·的值；

(2)如果·＝－4，证明直线l必过一定点，并求出该定点．

[解析]　(1)由题意：抛物线焦点为(1,0)，

设l：x＝ty＋1，代入抛物线方程y2＝4x中得，

y2－4ty－4＝0，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4，

∴·＝x1x2＋y1y2

＝(ty1＋1)(ty2＋1)＋y1y2

＝t2y1y2＋t(y1＋y2)＋1＋y1y2

＝－4t2＋4t2＋1－4＝－3.

(2)设l：x＝ty＋b，代入抛物线方程y2＝4x中消去x得，

y2－4ty－4b＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4b，

∴·＝x1x2＋y1y2

＝(ty1＋b)(ty2＋b)＋y1y2

＝t2y1y2＋bt(y1＋y2)＋b2＋y1y2

＝－4bt2＋4bt2＋b2－4b＝b2－4b.

令b2－4b＝－4，∴b2－4b＋4＝0，∴b＝2，

∴直线l过定点(2,0)．

∴若·＝－4，则直线l必过一定点．

16．已知＝(0，－2)，＝(0,2)，直线l：y＝－2，动点P到直线l的距离为d，且d＝||.

(1)求动点P的轨迹方程；

(2)直线m：y＝x＋1(k>0)与点P的轨迹交于M，N两点，当·≥17时，求直线m的倾斜角α的取值范围；

(3)设直线h与点P的轨迹交于C，D两点，写出命题“如果直线h过点B，那么·＝－12”的逆命题，并判断该逆命题的真假，请说明理由．

[解析]　(1)由题意知，动点P到直线l的距离与P到定点B的距离相等，所以P的轨迹是以B为焦点，l为准线的抛物线，

点P的轨迹方程为x2＝8y.

(2)联立

消去y并整理得x2－8x－8＝0.

设M(x1，y1)，N(x2，y2)．

因为k>0，所以Δ＝k＋32>0，

由韦达定理得x1＋x2＝8，x1x2＝－8.

所以y1＋y2＝x1＋1＋x2＋1＝(x1＋x2)＋2＝8k＋2，

y1y2＝(x1＋1)( x2＋1)＝kx1x2＋(x1＋x2)＋1＝－8k＋·8＋1＝1，

所以·＝(x1，y1＋2)·(x2，y2＋2)

＝x1x2＋(y1＋2)(y2＋2)

＝x1x2＋y1y2＋2(y1＋y2)＋4

＝－8＋1＋2(8k＋2)＋4

＝16k＋1.

而·≥17，所以16k＋1≥17，所以k≥1，

即tanα≥1，又0≤α<π，

所以≤α<，即直线m的倾斜角α的取值范围是[，)．

(3)逆命题：若·＝－12，则直线h过点B.为假命题．

设h：y＝nx＋b，代入x2＝8y，消去y得x2－8nx－8b＝0.

设C(x3，y3)，D(x4，y4)，

则x3＋x4＝8n，x3·x4＝－8b，

所以·＝x3x4＋y3y4＝x3x4＋(nx3＋b)(nx4＋b)

＝－8b＋n2(－8b)＋bn·8n＋b2

＝b2－8b.

令b2－8b＝－12，解得b＝2或b＝6.

此时直线h过点(0,2)或(0,6)，故逆命题为假命题．

1．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝(　　)

A．4      B．8  

C．8      D．16

[答案]　B

[解析]　

解法1：如图，kAF＝－，∴∠AFO＝60°，

∵|BF|＝4，∴|AB|＝4，即P点的纵坐标为4，∴(4)2＝8x，∴x＝6，∴|PA|＝8，

∴|PF|＝8，故选B.

解法2：设A(－2，y)，∵F(2,0)，∴kAF＝＝－，

∴y＝4，∴yp＝4，

∵P在抛物线上，∴y＝8xp，∴xp＝＝6，

由抛物线定义可得|PF|＝|PA|＝xp－xA＝6－(－2)＝8，

故选B.

2．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是(　　)

A．2      B．3  

C.     D. 

[答案]　A

[解析]　直线l2：x＝－1为抛物线y2＝4x的准线，由抛物线的定义知，P到l1的距离等于P到抛物线的焦点F(1,0)的距离，故本题化为在抛物线y2＝4x上找一个点P，使得P到点F(1,0)和直线l2的距离之和最小，最小值为F(1,0)到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离，

即dmin＝＝2，故选A.

3．(2011·大连一模)已知抛物线x2＝4y上的动点P在x轴上的射影为点M，点A(3,2)，则|PA|＋|PM|的最小值为________．

[答案]　－1

[解析]　设d为点P到准线y＝－1的距离，F为抛物线的焦点，由抛物线定义及数形结合得，|PA|＋|PM|＝d－1＋|PA|＝|PA|＋|PF|－1≥|AF|－1＝－1.

4．(2011·南京调研)已知点M是抛物线y2＝4x上的一点，F为抛物线的焦点，A在圆C：(x－4)2＋(y－1)2＝1上，则|MA|＋|MF|的最小值为________．

[答案]　4

[解析]　由M向抛物线的准线作垂线，垂足为B，则|MF|＝|MB|，圆心C(4,1)，显然当B、M、A、C在同一条直线上时，|MA|＋|MF|取最小值，且(|MA|＋|MF|)min＝|BC|－1＝5－1＝4.

5．(2011·德州模拟)P为双曲线x2－＝1右支上一点，M、N分别是圆(x＋4)2＋y2＝4和(x－4)2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值是________．

[答案]　5

[解析]　两圆的圆心A(－4,0)，B(4,0)恰好为双曲线的焦点，由双曲线的定义知，||PA|－|PB||＝2，

∴|PM|－|PN|≤||PA|－|PB||＋2＋1＝5.

6．(2011·中山模拟)若椭圆C1：＋＝1(00)的焦点在椭圆C1的顶点上．

(1)求抛物线C2的方程；

(2)若过M(－1,0)的直线l与抛物线C2交于E、F两点，又过E、F作抛物线C2的切线l1、l2，当l1⊥l2时，求直线l的方程．

[解析]　(1)已知椭圆的长半轴长为a＝2，半焦距c＝，

由离心率e＝＝＝得，b2＝1.

∴椭圆的上顶点为(0,1)，即抛物线的焦点为(0,1)，

∴p＝2，抛物线的方程为x2＝4y.

(2)由题知直线l的斜率存在且不为零，则可设直线l的方程为y＝k(x＋1)，E(x1，y1)，F(x2，y2)，

∵y＝x2，∴y′＝x，

∴切线l1，l2的斜率分别为x1， x2，

当l1⊥l2时， x1·x2＝－1，即x1·x2＝－4，

由得：x2－4kx－4k＝0，

由Δ＝(－4k)2－4×(－4k)>0，解得k<－1或k>0.

又x1·x2＝－4k＝－4，得k＝1.

∴直线l的方程为y＝x＋1.