...数学下册第一单元《三角形的证明》检测题(含答案解析)

1．如图，在中，．点是直角边所在直线上一点，若为等腰三角形，则符合条件的点的个数最多为（    ）

A．3个    B．6个    C．7个    D．8个

2．如图，在中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2，点D在AB上，连结CD，将沿CD折叠，点A的对称点为E，CE交AB于点F，下列结论正确的个数是（      ）

①当BF=BC时，EF=2-2；②当BF=BC时，为直角三角形；③当为直角三角形，EF=2-2；④当DE平行的边时，∠BCE=30°

A．1    B．2    C．3    D．4

3．如图，在中，＝＝6，且，，是的两条高线，是上一动点，则的最小值是（　 　）

A．4    B．5    C．6    D．8

4．如图，在中，点、、的坐标分别为、和，则当的周长最小时，的值为（    ）

A．0    B．1    C．2    D．3

5．下列各组线段a、b、c中不能组成直角三角形的是（　　）

A．a＝7，b＝24，c＝25    B．a＝4，b＝5，c＝6

C．a＝3，b＝4，c＝5    D．a＝9，b＝12，c＝15

6．如图，△ABC中，DC=2BD=2，连接AD，∠ADC=60°．E为AD上一点，若△BDE和△BEC都是等腰三角形，且AD=，则∠ACB=（  ）

A．60°

B．70°

C．55°

D．75°

7．如图，直线AB，CD交于点O，若AB，CD是等边△MNP的两条对称轴，且点P在直线CD上（不与点O重合），则点M，N中必有一个在（　　）

A．∠AOD的内部    B．∠BOD的内部    C．∠BOC的内部    D．直线AB上

8．如图，在平面直角坐标系中，点A1在x轴的正半轴上，B1在第一象限，且△OA1B1是等边三角形．在射线OB1上取点B2，B3，…，分别以B1B2，B2B3，…为边作等边三角形△B1A2B2，△B2A3B3，…使得A1，A2，A3，…在同一直线上，该直线交y轴于点C．若OA1＝1，∠OA1C＝30°，则点B9的横坐标是（　　）

A．    B．    C．256    D．

9．如图，点是线段上任意一点（点与点，不重合），分别以、为边在直线的同侧作等边三角形和等边三角形，与相交于点、与相交于点，与相交于点，连，则下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的结论有（    ）

A．4个    B．3个    C．2个    D．1个

10．如图所示，在中，，，于D，是的平分线，且交于P，如果，则的长为（　　　）

A．1    B．2    C．3    D．4

11．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以线段为边在第四象限内作等边，点为轴正半轴上一动点（），设点的坐标为，连结，以线段为边的第四象限内作等边，直线交轴于点，点的坐标是（    ）

A．    B．    C．    D．

12．等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角是40°，则这一等腰三角形的底角为（    ）

A．65°    B．25°    C．50°    D．65°或25°

二、填空题

13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于MN长为半径画弧，两弧交于点O，作射线AO，交BC于点E．已知CB＝8，BE＝5，则点E到AB的距离为_____．

14．如图，等腰三角形的面积为80，底边，腰的垂直平分线交于点，，若为边中点，为线段上一动点，则的周长最小值为________．

15．如图，DE∥BC，AE＝DE＝1，BC＝3，则线段CE的长为_____．

16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，D为BC上一点，连接AD，过点A作AE⊥AD，取AE＝AD，连接BE交AC于F．当△AEF为等腰三角形时，CD＝_____．

17．如图，是等边三角形外一点，，，则的最大值是________________．

18．如图，，OC平分，如果射线OA上的点E满足是等腰三角形，那么的度数为________．

19．如图，在中，，，过点作，交于点，若，则的长为__________．

20．如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点D，过点D作EF∥BC，分别交AB、AC于点E、F．那么下列结论：①BD=DC；②△BED和△CFD都是等腰三角形；③点D是EF的中点；④△AEF的周长等于AB与AC的和．其中正确的有______．（只填序号）

三、解答题

21．如图1，直线AB：y=x＋4分别与x轴、y轴交于A、B两点，过点B的直线交x轴负半轴于点C，将△BOC沿BC折叠，使点O落在BA上的点M处．

（1）求A、B两点的坐标；

（2）求线段BC的长；

（3）点P为x轴上的动点，当∠PBA=45°时，求点P的坐标．

22．如图，在中，，，点E在BC上，点F在AB的延长线上，且．

（1）求证：；

（2）若，求的度数．

23．阅读下列材料，完成相应任务．

三角形中边与角之间的不等关系

学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等．那么，不相等的边所对的角之间的大小关系怎样呢？大边所对的角也大吗？下面是奋进小组的证明过程．

如图1，在△ABC中，已知AB＞AC＞BC．

求证：∠C＞∠B＞∠A．

证明：如图2，将△ABC折叠，使边AC落在AB上，

点C落在AB上的点C′处，折痕AD交BC于点D．

则∠A C′D=∠C．

∵∠A C′D=∠B+∠BDC′（依据1）

∴∠A C′D＞∠B

∴∠C＞∠B（依据2）

如图3，将△ABC折叠，使边CB落在CA上，点B落在CA上的点B′处，折痕CE交AB于点E．则∠CB′E=∠B．

∵∠CB′E=∠A+∠AEB′

∴∠CB′E＞∠A

∴∠B＞∠A

∴∠C＞∠B＞∠A．

归纳总结：利用轴对称的性质可以把研究边与角之间的不等问题，转化为较大量的一部分与较小量相等的问题，这是几何中研究不等问题是常用的方法．

类似地，应用这种方法可以证明“在一个三角形中，大角对大边，小角对小边”的问题．如图1，已知△ABC中，∠C＞∠B＞∠A．求证：AB＞AC＞BC．下面是智慧小组的证明过程（不完整）．

证明：如图2，在∠BCA的内部，作∠BCF=∠B，CF交AB于点F．

则CF=BF（依据3）

在△ACF中，AF+CF＞AC，

∴AF+BF＞AC，

∴AB＞AC；…

任务一：①上述材料中依据1，依据2，依据3分别指什么？

依据1：                                ；

依据2：                                ；

依据3：                                 ．

②上述材料中不论是由边的不等关系，推出角的不等关系，还是由角的不等关系推出边的不等关系，都是转化为较大量的一部分与较小量相等的问题，再用三角形外角的性质或三边关系进而解决，这里主要体现的数学思想是_____________；（填正确选项的代码）

A． 转化思想          B． 方程思想         C． 数形结合思想

任务二：请将智慧小组的证明过程补充完整，并在备用图中作出辅助线．

任务三：根据上述材料得出的结论，判断下列说法，正确的有__________（将正确的代码填在横线处）．

①在△ABC中，AB＞BC，则∠A＞∠B；

②在△ABC中，AB＞BC＞AC，∠C=°，则△ABC是锐角三角形；

③Rt△ABC中，∠B=90°，则最长边是AC；

④在△ABC中，∠A=55°，∠B=70°，则AB=BC．

24．如图，已知点D、E是△ABC内两点，且∠BAE＝∠CAD，AB＝AC，AD＝AE．

（1）求证：．

（2）延长BD、CE交于点F，若，，求的度数．

25．如图，在中，，，是边上的中线，且，的垂直平分线交于点，交于点．

（1）求的度数；

（2）是什么三角形？说明理由．

（3）若将题目中“”改为“∠BAC=120°”，且FM=4，其他条件不变，求AB的长．

26．如图，射线分别表示从点出发北､东､南､西四个方向，将直角三角尺的直角顶点与点重合．

（1）图中与互余的角是____________或____________；

（2）①用直尺和量角器作的平分线；

②在①所做的图形中，如果，那么点在点北偏东____________°的方向上（请说明理由）．

【参】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

1．D

解析：D

【分析】

分为三种情况：①BP=AB，②AP=AB，③AP=BP，再求出答案即可．

【详解】

解：作BC、AC所在直线，然后分别以B、A点为圆心，以AB为半径作圆分别交BC、AC所在直线于6点，再作AB的垂直平分线与BC所在直线交于2点，总共符合条件的点P的个数最多有8个，

故选：B．

【点睛】

本题考查了等腰三角形的判定，线段垂直平分线的性质．能求出符合的所有情况是解此题的关键．

2．C

解析：C

【分析】

由勾股定理可求AC的长，利用折叠的性质和等腰三角形的性质依次计算可得①②正确．利用直角三角形分类讨论可知EF有两种情况，③不正确，由平行内错角角相等可知④正确；

【详解】

解：

①∵BF=BC，且∠ABC=60°，

∴为等边三角形，BF=CF=BC=2，AC=2，AB=4，

∵沿CD折叠，

∴CE=AC=2，EF=CE-CF=2-2，故①正确；

②当BF=BC时，∠EFD=∠BFC=60°，

∴∠DEF=∠A=30°，∠EDF=90°，

∴为直角三角形，故②正确；

③当为直角三角形时，此处要分情况讨论，当∠EDF=90°时，

∵∠DEF=∠A=30°，

∴∠EFD=60°=∠BFC，EF=EC-CF=2-2，

当∠EFD=90°时，∵∠ABC=60°，∠BCF=30°，

∴FC=，EF=EC-FC=，综上所述，EF=2-2或，故③错误；

④当DE平行于的边时，∵DE∥BC，∴∠EDF=∠ABC=60°，

∵∠DEC=30°，∴∠BCF=∠DEC=30°，故④正确，

 故选C

【点睛】

本题考查了翻折变换，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质，由直角三角形的性质和勾股定理求出CA，学会运用分类讨论是解题的关键．

3．B

解析：B

【分析】

连接PB，根据等腰三角形的性质和垂直平分线的性质计算即可；

【详解】

连接PB，

∵，，

∴AD是等腰△ABC底边BC边的中垂线，

∴，

∴，

又，

∴B，P，E三点共线时，最小，即等于BE的长，

又∵，，

∴；

故答案选B．

【点睛】

本题主要考查了等腰三角形的性质、垂直平分线的性质，结合轴对称的性质计算是解题的关键．

4．C

解析：C

【分析】

做出B关于x轴对称点为B′，连接B′C，交x轴于点A'，此时的周长最小，由等腰直角三角形的性质可求∠OB'A'=∠OA'B'=45°，可求OB'=OA'=1，即可求解．

【详解】

解：如图所示，做出B关于x轴对称点为B′，连接B′C，交x轴于点A'，此时△ABC周长最小

过点C作CH⊥x轴，过点B'作B'H⊥y轴，交CH于H，

∵B（0，2），

∴B′（0，-2），

∵C（5，3），

∴CH= B′H=5，

∴∠CB'H=45°，

∴∠BB' A'=45°，

∴∠OB'A'=∠OA'B'=45°，

∴OB'=OA'=2，

则此时A'坐标为（2，0）．

m的值为2．

故选：C．

【点睛】

此题考查了轴对称-最短路径问题，考查了轴对称的性质，等腰直角三角形的性质等知识，根据已知得出A点位置是解题关键．

5．B

解析：B

【分析】

根据判断三条线段是否能构成直角三角形的三边，需验证两小边的和的平方是否等于最长边的平方，分别对每一项进行分析，即可得出答案；

【详解】

A、 ，能构成直角三角形；

B、 ，不能构成直角三角形；

C、 ，能构成直角三角形；

D、，能构成直角三角形；

故选：B．

【点睛】

本题考查了勾股定理的逆定理，用到的知识点是已知△ABC的三边满足 ，则△ABC是直角三角形；

6．D

解析：D

【分析】

根据等腰三角形的性质求解即可；

【详解】

∵，

∴，

∵△BDE是等腰三角形，

∴，，

∵△BEC是等腰三角形，

∴，

∵，

∴，

在Rt△DEC中，

∵，，

∴，

又∵AD=，

∴，

∴△AEC为等腰三角形，

又∵，

∴，

∴；

故答案选D．

【点睛】

本题主要考查了等腰三角形的性质应用，准确计算是解题的关键．

7．D

解析：D

【分析】

根据等边三角形是轴对称图形，利用轴对称图形的性质解决问题即可．

【详解】

解：如图，

∵△PMN是等边三角形，等边三角形的对称轴一定经过三角形的顶点，

又∵直线CD，AB是△PMN的对称轴，直线CD经过点P，

∴直线AB一定经过点M或N，

故选：D．

【点睛】

本题考查轴对称，等边三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

8．B

解析：B

【分析】

利用待定系数法求得两条直线的解析式，根据等边三角形的性质，点的坐标规律，即可求解．

【详解】

解：∵OA1=1，∠OA1C=30，

∴OC=，

∴点C的坐标为(0，)，

∵A1、A2、A3所在直线过点A1(1，)，C (0，)，

设直线A1A2的解析式为，

∴，

∴，

∴直线A1A2的解析式为，

∵△OA1B1为等边三角形，

∴点B1的坐标为(，)，

∵B1、B2、B3所在直线过点O(0，)，B1 (，)，

同理可求得直线O B1的解析式为，

∵△OA1B1和△B1A2B2为等边三角形，

∴∠B1OA1=∠B2 B1A2=60，

∴B1A2∥OA1，

∵B1 (，)，

∴A2的纵坐标为，则，

解得：，

∴点A2的坐标为(，)，

∴B1A2=2，

同理点B2的坐标为(，)，

点B3的坐标为(，)，

点B4的坐标为(，)，

，

总结规律：

B1的横坐标为，

B2的横坐标为，

B3的横坐标为，

B4的横坐标为，

，

∴B9的横坐标为，

故选：B

【点睛】

本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，点的坐标规律，等边三角形的性质，解决本题的关键是寻找点的坐标规律．

9．A

解析：A

【分析】

利用等边三角形的性质，证明  从而可判断①，由可得 再利用三角形的内角和定理可判断②，如图，过作交于 过作交于 利用全等三角形的对于高相等证明 从而可判断③，如图，在上截取 连接 证明为等边三角形，再证明 可得 从而可判断④．

【详解】

解：为等边三角形，

 即 

 故①符合题意；

 故②符合题意；

如图，过作交于 过作交于 

 为对应边，

平分 故③符合题意；

如图，在上截取 连接 

为等边三角形，

 故④符合题意；

综上：①②③④都符合题意，

故选：

【点睛】

本题考查的是三角形的内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，角平分线的判定，掌握以上知识是解题的关键．

10．C

解析：C

【分析】

由三角形的内角和定理和等腰三角形的性质，得到AP=BP=AE=PE=1，CE=BE=2，即可求出AC的长度．

【详解】

解：∵在中，，，

∴，

∵于D，是的角平分线，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∴△APE是等边三角形，

∴AP=BP=AE=PE=1，

∵，

∴CE=BE=1+1=2，

∴；

故选：C．

【点睛】

本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的进行解题．

11．A

解析：A

【分析】

由等边三角形的性质可得AO＝OB＝AB＝1，BC＝BD＝CD，∠OBA＝∠CBD＝60°，可证△OBC≌△ABD，可得∠BAD＝∠BOC＝60°，可求∠EAO＝60°，即可求OE＝，进而可求点E坐标．

【详解】

解：∵△AOB，△BCD是等边三角形，

∴AO＝OB＝AB＝1，BC＝BD＝CD，∠OBA＝∠CBD＝60°，

∴∠OBC＝∠ABD，且OB＝AB，BC＝BD，

∴△OBC≌△ABD（SAS），

∴∠BAD＝∠BOC＝60°，

∴∠EAO＝180°−∠OAB−∠BAD＝60°，

在Rt△AOE中，AO＝1，∠EAO＝60°，∠OEA=30°，

∴AE=2 AO=2，

∴OE=＝，

∴点E坐标(0，)，

故选A．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，坐标与图形性质，灵活运用全等三角形的判定和性质是本题的关键．

12．D

解析：D

【分析】

由题意可知其为锐角等腰三角形或钝角等腰三角形，不可能是等腰直角三角形，所以应分开来讨论．

【详解】

解：①当为锐角等腰三角形时，如图：

∵∠ADE＝40°，∠AED＝90°，

∴∠A＝50°，

∴∠B=∠C= =65°；

②当为钝角等腰三角形时，如图：

∵∠ADE＝40°，∠AED＝90°，

∴∠BAC＝∠ADE+∠AED＝40°+90°＝130°，

∴∠B=∠C= =25°．

故选：D．

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及三角形外角性质，分类讨论是正确解答本题的关键．

二、填空题

13．【分析】根据作图过程可知AE平分∠CAB根据角平分线的性质即可得出结论【详解】解：根据作图过程可知：AE平分∠CAB∵CB＝8BE＝5∴CE＝BC﹣BE＝8﹣5＝3∵∠C＝90°∴EC⊥AC∴点E到

解析：【分析】

根据作图过程可知AE平分∠CAB，根据角平分线的性质即可得出结论．

【详解】

解：根据作图过程可知：AE平分∠CAB，

∵CB＝8，BE＝5，

∴CE＝BC﹣BE＝8﹣5＝3，

∵∠C＝90°，

∴EC⊥AC，

∴点E到AB的距离为3．

故答案为：3．

【点睛】

本题考查了作图-基本做图，解决本题的关键是掌握基本的作图方法和理解角平分线的性质．

14．21【分析】连接ADAM由于△ABC是等腰三角形点D是BC边的中点故AD⊥BC再根据三角形的面积公式求出AD的长再根据EF是线段AC的垂直平分线可知点A关于直线EF的对称点为点CMA＝MC推出MC＋

解析：21

【分析】

连接AD，AM，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点A关于直线EF的对称点为点C，MA＝MC，推出MC＋DM＝MA＋DM≥AD，故AD的长为BM＋MD的最小值，由此即可得出结论．

【详解】

解：连接AD，MA．

∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，

∴AD⊥BC，

∴S△ABC＝BC•AD＝×10×AD＝80，解得：AD＝16，

∵EF是线段AC的垂直平分线，

∴点A关于直线EF的对称点为点C，MA＝MC，

∴MC＋DM＝MA＋DM≥AD，

∴AD的长为CM＋MD的最小值，

∴△CDM的周长最短＝（CM＋MD）＋CD＝AD＋BC＝16＋×10＝21．

故答案是：21．

【点睛】

本题考查的是轴对称−最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．

15．【分析】由平行线的性质可得∠ADE=∠B由AE=DE=1可得∠ADE=∠DAE易得∠DAE=∠B可得AC=BC易得结果【详解】解：∵DE∥BC∴∠ADE＝∠B∵AE＝DE＝1∴∠ADE＝∠DAE∴∠

解析：【分析】

由平行线的性质可得∠ADE=∠B，由AE=DE=1，可得∠ADE=∠DAE，易得∠DAE=∠B，可得AC=BC，易得结果．

【详解】

解：∵DE∥BC，

∴∠ADE＝∠B，

∵AE＝DE＝1，

∴∠ADE＝∠DAE，

∴∠DAE＝∠B，BC＝3，

∴AC＝BC＝3，

∴CE＝AC﹣AE＝3﹣1＝2，

故答案为：2．

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质和等腰三角形的性质等，关键是运用性质定理得出AC=BC=3．

16．2或6【分析】分两种情形：当AE=AF时如图1中过点E作EH⊥AC于H证明AH＝FH＝CF＝CD可得结论如图2中当AF＝EF时点D与D重合此时CD＝BC＝6【详解】解：①当AE=EF时如图1中过点E

解析：2或6

【分析】

分两种情形：当AE=AF时，如图1中，过点E作EH⊥AC于H．证明AH＝FH＝CF＝CD，可得结论，如图2中，当AF＝EF时，点D与D重合，此时CD＝BC＝6

【详解】

解：①当AE=EF时，如图1中，过点E作EH⊥AC于H．

∵EA＝EF，EH⊥AF，

∴AH＝HF，

∵EA⊥AD，

∴∠EAD＝∠EHA＝∠C＝90°，

∴∠EAH＋∠CAD＝90°，∠CAD＋∠ADC＝90°，

∴∠EAH＝∠ADC，

在△EHA和△ACD，

，

∴△EHA≌△ACD（AAS），

∴AH＝CD，EH＝AC＝CB．

在△EHF和△BCF中，

，

∴△EHF≌△BCF（AAS），

∴FH＝CF，

∴AH＝FH＝CF＝CD，

∴CD＝AC＝2，

②如图2中，当AF＝EF时，点B与点D重合，此时CD＝BC＝6

综上所述，满足条件的CD的长度为2或6

故答案为：2或6

【点睛】

本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．

17．5【分析】将AD顺时针旋转60°得连结可得AD=DD′=AD′可证△ABD′≌△ACD（SAS）可得BD′=CD由BD′+DD′≥BD当BD′D三点在一线时BD最大BD最大=BD′+DD′=5【详解

解析：5

【分析】

将AD顺时针旋转60°，得，连结，可得AD=DD′=AD′，可证△ABD′≌△ACD（SAS），可得BD′=CD，由BD′+DD′≥BD，当B、D′、D三点在一线时，BD最大，BD最大=BD′+DD′=5．

【详解】

解：∵将AD顺时针旋转60°，得，连结，

则AD=DD′=AD′，

∴△ADD′是等边三角形，

又∵等边三角形，

∴∠BAC=∠，

∴∠BAD′+∠D′AC=∠CAD+∠D′AC=60°，

∴AB=AC，AD′=AD，

∴△ABD′≌△ACD（SAS），

∴BD′=CD，

∴BD′+DD′≥BD，

当B、D′、D三点在一线时，BD最大，

BD最大=BD′+DD′=CD+AD=2+3=5．

故答案为：5．

．

【点睛】

本题考查三角形旋转变换，等边三角形判定与性质，掌握三角形旋转变换的性质，等边三角形判定与性质，用三角形三边关系确定B、D′、D共线是解题关键．

18．40°或70°或100°【分析】求出∠AOC根据等腰得出三种情况OE＝CEOC＝OEOC＝CE根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出即可【详解】解：∵∠AOB＝80°OC平分∠AOB∴∠AOC＝4

解析：40°或70°或100°

【分析】

求出∠AOC，根据等腰得出三种情况，OE＝CE，OC＝OE，OC＝CE，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出即可．

【详解】

解：∵∠AOB＝80°，OC平分∠AOB，

∴∠AOC＝40°，

①当E在E1时，OE＝CE，

∵∠AOC＝∠OCE＝40°，

∴∠OEC＝180°﹣40°﹣40°＝100°；

②当E在E2点时，OC＝OE，

则∠OCE＝∠OEC＝（180°﹣40°）＝70°；

③当E在E3时，OC＝CE，

则∠OEC＝∠AOC＝40°；

故答案为：100°或70°或40°．

【点睛】

本题考查了角平分线定义，等腰三角形性质，三角形的内角和定理的应用，用了分类讨论思想．

19．【分析】利用等腰三角形的性质判定证明BD=AD利用直角三角形中30°角的性质计算BD即可得解【详解】∵∴∠A=30°∠ABC=120°∵∴∠CBD=90°BD=1∴∠DBA=30°∴∠DBA=∠A∴

解析：.

【分析】

利用等腰三角形的性质，判定，证明BD=AD，利用直角三角形中30°角的性质计算BD即可得解.

【详解】

∵，，

∴∠A=30°，∠ABC=120°，

∵，，

∴∠CBD=90°，BD=1，

∴∠DBA=30°，

∴∠DBA=∠A，

∴BD=AD，

∴AD=1.

【点睛】

本题考查了等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握性质，并灵活运用性质是解题的关键.

20．②④【分析】由平行线得到角相等由角平分线得角相等根据平行线的性质及等腰三角形的判定和性质逐一判断即得答案【详解】解：∵EF∥BC∴∠EDB=∠DBC∠FDC=∠DCB∵∠ABC与∠ACB的平分线交于

解析：②④

【分析】

由平行线得到角相等，由角平分线得角相等，根据平行线的性质及等腰三角形的判定和性质逐一判断即得答案．

【详解】

解：∵EF∥BC，

∴∠EDB=∠DBC，∠FDC=∠DCB，

∵∠ABC与∠ACB的平分线交于点D，

∴∠EBD=∠DBC，∠FCD=∠DCB， 

∴∠EDB =∠EBD，∠FCD=∠FDC，

∴ED=EB，FD=FC，

即△BED和△CFD都是等腰三角形；

故②正确；

∴△AEF的周长为：AE+EF+AF=AE+ED+DF+AF=AB+AC；

故④正确；

∵∠ABC不一定等于∠ACB，

∴∠DBC不一定等于∠DCB，

∴BD与CD不一定相等，

故①错误．

∵BE与CF无法判定相等，

∴ED与DF无法判定相等，

故③错误；

综上，正确的有②④．

故答案为：②④．

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质及角平分线的性质及平行线的性质；题目利用了两直线平行，内错角相等，及等角对等边来判定等腰三角形；等量代换的利用是解答本题的关键．

三、解答题

21．（1）A（-3，0），B（0，4）；（2）BC的长为；（3）P（-28，0）或（，0）

【分析】

（1）令，求得，令，求得，即可求解；

（2）设OC=a，在Rt△ACM中，利用勾股定理列式计算可求得，即可求解；

（3）分点P在点A的右边和左边两种情况讨论，分别作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理求解即可．

【详解】

（1）令，，

令，，则，

∴点A的坐标为（-3，0），点B的坐标为（0，4）；

（2）设OC=a，

由折叠的性质可知：CM⊥AB，

OC=CM=a，OB=BM=4，

由勾股定理得：AB=，

∴AM=1，

在Rt△ACM中，，

∴，

∴，

∴；

（3）如图，点P在点A的右边时，过P作PG⊥AB于G，

∵点A的坐标为（-3，0），点B的坐标为（0，4），

∴OA∴点P在点O的右边，

设PO= m，则AP=， 

∵，

∴，

，

∵∠PBA=45°，

∴△BPG是等腰直角三角形，

∴，

∵，

∴，

解得：，

此时点P的坐标为(，0)；

如图，点P在点A的左边时，过P作PH⊥AB于H，

设PO= n，则AP=， 

∵，

∴，

，

∵∠PBA=45°，

∴△BPH是等腰直角三角形，

∴，

∵，

∴，

解得：，

此时点P的坐标为(，0)；

综上，点P的坐标为(，0)或(，0) ．

【点睛】

本题考查了坐标与图形，一次函数的性质，以及等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是作出合适的辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理求解．

22．（1）见详解；（2）15°

【分析】

（1）由AB＝CB，∠ABC＝90°，AE＝CF，即可利用HL证得Rt△ABE≌Rt△CBF；

（2）由AB＝CB，∠ABC＝90°，即可求得∠CAB与∠ACB的度数，即可得∠FCB的度数，又由Rt△ABE≌Rt△CBF，即可求得∠EAB的度数，再得出∠EAC的度数即可．

【详解】

（1）证明：∵∠ABC＝90°，

∴△ABE与△CBF为直角三角形．

∵在Rt△ABE与Rt△BCF中，

，

∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）；

（2）∵AB＝BC，∠ABC＝90°，

∴∠BAC＝∠ACB＝45°，

∵∠ACF＝75°，

∴∠FCB＝30°，

∵Rt△ABE≌Rt△CBF，

∴∠EAB＝∠FCB＝30°，

∴∠EAC＝45°-30°=15°．

【点睛】

此题考查了直角三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考常考题型．

23．任务一：①依据1：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和； 依据2：等量代换；依据3：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（或等角对等边）； ②A；任务二：见解析；任务三：②③④

【分析】

任务一：①根据三角形的外角性质、等量代换以及三角形中等角对等边性质即可写出依据；②根据分析过程渗透的思想为转化的思想方法；

任务二：仿照推导AB＞AC的方法证明AC＞BC即可证明结论正确；

任务三：根据结论“在一个三角形中，大角对大边，小角对小边，等边对等角”进行判断即可解答．

【详解】

解：任务一：①根据推导过程可知：

依据1：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和； 

依据2：等量代换；

依据3：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（或等角对等边）；

故答案为：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；等量代换；如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（或等角对等边）；

②根据推导过程体现了转化的数学思想方法，

故选：A；

任务二：智慧小组的证明过程补充如下：

证明：如图2，在∠BCA的内部，作∠BCF=∠B，CF交AB于点F．

则CF=BF，（等边对等角）

在△ACF中，AF+CF＞AC，

∴AF+BF＞AC，

∴AB＞AC；

同理，如图，在∠ABC的内部，作∠ABG=∠A，BG交AC于点G，如图，

则AG=BG

在△BCG中，BG+CG＞BC，

∴BG+CG＞BC， 

∴AC＞BC

∴AB＞AC＞BC． 

任务三：

①∵AB＞BC，∴∠C＞∠A，错误；

②∵在△ABC中，AB＞BC＞AC，∠C=°，

∴∠C＞∠A＞∠B，又∠C=°＜90°，

∴△ABC是锐角三角形，正确；

③∵Rt△ABC中，∠B=90°，

则最长边是斜边AC，正确；

④∵在△ABC中，∠A=55°，∠B=70°，

∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣55°﹣70°=55°，

∴∠A=∠C

∴AB=BC，正确，

故答案为：②③④．

【点睛】

本题考查三角形的边与角之间的不关系的推导及其应用，涉及三角形的外角性质、等腰三角形的等角对等边性质、三角形的内角和定理、判断三角形的形状、命题的证明等知识，掌握在一个三角形中，大角对大边，小角对小边这一性质的推导过程，会利用转化的思想进行命题的证明是解答的关键．

24．（1）见解析；（2）．

【分析】

（1）由SAS证明即可；

（2）先由全等三角形的性质的再由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得，则，即可得出答案．

【详解】

（1）证明∵

∴，

在和中，

，

∴；

（2）解：∵，

∴，

∵AB＝AC，

∴，

∴，

∴．

【点睛】

本题主要考查全等三角形的性质及判定、等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．

25．（1）∠ADE =20°；（2）△ADF是等腰三角形，证明见解析；（3）AB=16．

【分析】

（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠B和∠C，求出∠BDE，即可求出答案；

（2）根据垂直平分线的性质定理和等边对等角可求得∠FDC，再根据三线合一和直角三角形两锐角互余可求得∠DAF和∠ADF得出它们相等即可得出△ADF为等腰三角形；

（3）可求得∠C=30°根据30°角所对直角边是斜边的一般可得FC，可证明△ADF为等边三角形即可求得AF，从而求得AC，继而求得AB．

【详解】

解：（1）∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，

∴∠B=∠C=×（180°-∠BAC）=40°，

∵BD=BE，

∴∠BDE=∠BED=×（180°-∠B）=70°，

∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，

∴AD⊥BC，

∴∠ADB=90°，

∴∠ADE=∠ADB-∠BDE=20°；

（2）△ADF是等腰三角形，

理由是：∵CD的垂直平分线MF交AC于F，交BC于M，

∴DF=CF，

∵∠C=40°，

∴∠FDC=∠C=40°，

∵AD⊥BC，

∴∠ADC=90°，

∴∠DAF=90°-∠C=50°，

∴∠ADF=50°，

∴∠DAF=∠ADF，

∴AF=DF，

∴△ADF是等腰三角形；

（3）∵∠BAC=120°，AB=AC，

∴∠B=∠C=×（180°-∠BAC）=30°，

又∵AD是BC边上的中线，

∴AD⊥BC，

∴∠DAC=90°-∠C=60°，

∵CD的垂直平分线MF，

∴∠FMC=90°，DF=FC，

∴∠FDC=∠C=30°，

∴∠ADF=∠ADC-∠FDC=60°，∠AFD=∠C+∠FDC=60°，

∴△ADF为等边三角形，AF=DF=FC，

∵MF=4，

∴FC=2MF=8，

∴AF= 8，

∵AC=AF+CF=8+8=16，

∵AB=AC，

∴AB=16．

【点睛】

本题考查了线段垂直平分线性质，等边三角形的性质和判定，含30°角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．

26．（1）；；（2）①见解析；②，见解析

【分析】

（1）根据互余，平角的定义判断即可；

（2）①作出角平分线即可；

②利用角平分线的定义求出∠POE，再求出∠NOP即可解决问题；

【详解】

（1），

，

，

∴图中与互余的角是和；

故答案为：和；

（2）①如图所示：

②，OP平分，

，

，

，

∴点在点北偏东的方向上；

【点睛】

本题考查了作图-应用与设计，角平分线的定义，方向角等知识解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题；