初中八年级数学竞赛培优讲义全套专题29 几何变换

阅读与思考

     几何变换是指把一个几何图形变换成另一个几何图形的方法，若仅改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，这种变换称为合同变换，平移、对称、旋转是常见的合同变换. 

1.平移变换

如图1，如果把图形上的各点都按一定方向移动一定距离得到图形后，则由到的变换叫平移变换.

平移变换前后的对应线段相等且平行，对应角的两边分别平行且方向一致.

2.对称变换

如图2，将平面图形变换到与它成轴对称的图形，这样的几何变换就叫做关于直线（对称轴）的对称变换.

对称变换前后的对应线段相等，对应角相等，其对称轴是连结各对应点线段的垂直平分线.

3.旋转变换

    如图3，将平面图形绕这一平面内一定点M旋转一个定角，得到图形，这样的变换叫旋转变换，M叫旋转中心，叫旋转角.

    旋转变换前后的图形是全等的，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段的夹角等于旋转角.

例题与求解

【例l】如图，∠AOB=，角内有点P，PO=，在角的两边上有两点Q，R（均不同于O），则△PQR的周长的最小值为_______________.                                （黄冈市竞赛试题）

解题思路：作P点关于OA，OB的对称点，确定Q，R的位置，化折线为直线，求△PQR的最小值.

【例2】如图，P是等边△ABC的内部一点，∠APB，∠BPC，∠CPA的大小之比是，则以PA，PB，PC为边的三角形的三个角的大小之比（从小到大）是（    ）

A.                  B.    

 C.                  D.不能确定

（全国通讯赛试题）

解题思路：解本例的关键是如何构造以PA，PB，PC为边的三角形，若把△PAB，△PBC，△PCA中的任一个，绕一个顶点旋转，就可以把PA，PB，PC有效地集中在一起.

【例3】如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，∠B=2∠C，求证：AB+BD=CD.

（天津市竞赛试题）

解题思路：用截长法或补短法证明，实质都利用AD翻折造全等. 

【例4】如图，六边形ABCDEF中，AB∥DE，BC∥FE，CD∥AF，对边之差BC-FE=ED-AB=AF-CD＞，求证：该六边形的各角都相等.

（全俄数学奥林匹克竞赛试题）

解题思路：设法能将复杂的条件BC-FE=ED-AB=AF-CD＞，用一个基本图形表示，题设条件有平行条件，考虑实施平移变换. 

【例5】已知Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=，∠MCN=

（1）如图1，当M、N在AB上时，求证： 

（2）如图2，将∠MCN绕C点旋转，当M在BA的延长线时，上述结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.

（天津市中考试题）

解题思路：符合勾股定理的形式，需转化为直角三角形可将△ACM沿直线CM对折，得△DCM. 连DN，只需证DN=BN，∠MDN=；或将△ACM(或△BCM)旋转.

【例6】如图，∠DAC=，∠DBC=，∠CAB=，∠ABD=，求∠DCA的度数. 

（日本算术奥林匹克试题）

解题思路：已知角的度数都是的倍数，，这使我们想到构作正三角形.

能力训练

1.在如图所示的单位正方形网格中，将△ABC向右平移3个单位后得到△，则的度数是_______. 

（泰安市中考试题）

(第1题)                 （第2题）                  （第3题）

2.如图，P是等边△ABC内一点，PA=6，PB=8，PC=10，则∠APB=_________.

3.如图，直线与双曲线交于点A，将直线向右平移个单位后，与双曲线交于点B，与轴交于点C. 若，则=______________.    （武汉市中考试题）

4.如图，△ABC中，∠BAC=，AD⊥BC，DB=3，DC=2，则△ABC的面积是___________.

5.如图，P为正方形内一点，若，则∠APB的度数是（     ）.

    A.           B.            C.           D. 

6.如图，边长为2的正方形ABCD的对角线交于点O，把边BA、CD分别绕点B、C同时逆时针旋转，得四边形,下列结论：①四边形为菱形；②；③线段的长为. 其中正确的结论有（     ）.

    A. 0个            B. 1个             C. 2个             D. 3个

7. 如图，A，B两个电话机离电话线的距离分别是3米，5米，CD=6米，若由L上一点分别向A，B连电话线，最短为（    ）.

   A. 11米            B. 10米             C. 9米             D. 8米

8. 如图，在△ABC中，∠BAC=，P是△ABC内一点，若记，，则（     ）.

   A.           B.          C.           D.与的大小关系不确定

9. 如图，已知D是△ABC中BC边的中点，过D作DE⊥DF，分别交AB于E，交AC于F，求证：.

（天津市竞赛试题）

10.如图，△ABC，△其各边交成六边形DEFGHK，且EF∥KH，GH∥DE，FG∥KD，. 求证：△ABC，△均为为正三角形.

（“缙云杯”邀请赛试题）

11.如图，已知△ABC中，AB=AC，P，Q分别为AC，AB上的点，且AP=PQ=QB=BC，求∠PCQ.

（北京市竞赛试题）

12.如图，已知在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为，.

 (1) 若是轴上的一个动点，当△PAB的周长最短时，求的值；

（2）若是轴上的两个动点，当四边形ABCD的周长最短时，求的值；

（3）设M，N分别为轴，轴上的动点，问：是否存在这样的点和，使四边形ABMN的周长最短？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

（浙江省湖州市中考试题）

13.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，分别以两腰AB，CD为边向两边作正方形ABGE和正方形DCHF，设线段AD的垂直平分线交线段EF于点M，EP⊥于P，FQ⊥于Q，求证：EP=FQ.

（全国初中数赛试题）

14.如图所示，已知△ABC中，AB=BC，在△ADE中，AD=DE，连结EC，取EC中点M，连结DM和BM. 

（1）若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图1，求证：BM=DM，且BM⊥DM；

（2）如图2中的△ADE绕点A逆时针旋转小于的角，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明.

（广州市中考试题）

15.如图，在△ABC中，∠BAC=，AD⊥BC于D，若BD=3，CD=2，求△ABC的面积.

（山东省竞赛试题）