甘肃省庆阳市第一中学2021-2022高一数学上学期(分班)开学考试试题

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。每小题只有一个正确答案）

1．在下面的四个几何体中，它们各自的左视图与主视图不一样的是（ ） 2.实数r q p 、、在数轴上的位置如图，

化简()()()22

2

r q q p p r

p ++

+-

-+的值为（ ）

A. p r -2

B. q p 23--

C. p -

D. r p 23+- 3.已知a 为实常数，则下列结论正确的是（ ） A. 关于x 的方程a x a =的解是1±=x B. 关于x 的方程a x a =的解是1=x C. 关于x 的方程a x a =的解是1=x D. 关于x 的方程()

11+=+a x a 的解是1±=x 4.矩形纸片ABCD 的边长AB =4，AD =2．将矩形纸片沿 EF 折叠， 使点A 与点C 重合，折叠后在其一面着色（图），则着色部分的面积为（ ） A ．

11

2

B ．8

C ． 4

D ．

52

5.抛物线)0(2

≠++=a c bx ax y 的对称轴为直线1-=x ，图象如图所示，给出以下

结论：①ac b 42

>；②0>abc ；③02=-b a ；④039>+-c b a ；错误的结论的

个数为（ ）

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

6.设方程012)1(2

=+++x x k 的两根为1x 、2x ，若

2

1212

21x x x x +≥+⋅，则满足条件的整数k 的值有（ ）

B

C

D E

G

F F 第5题图

B. 0,1,2--

C. 0,1-

D. 0,2-

7.已知b a ,都是实数且

0111=--+b a b a ，则a

b 的值为（ ） A ．

251- B. 2

51-或2

5

1+ C. 251--或251+- D. 251+-

8.如图，在ABC Rt ∆中，BC AC ⊥，过C 作AB CD ⊥，垂足为D ，若3=AD ，2=BC ，则ABC ∆的内切圆的面积为（ ） A ．π B. ()π324- C.

(

)

π13- D. π2

9.已知x 是正整数，则当函数290

1

--=x y 取得最小值时x 的值为

（ ）

A. 16

B. 17

C. 18

D. 19

10．如图，已知矩形OABC ，A （4，0），C （0，4），动点P 从点A 出发，沿A ﹣B ﹣C ﹣O 的路线匀速运动，设动点P 的运动路程为t ，△OAP 的面积为S ，则下列能大致反映S 与t 之间关系的图象是

（ ）

11.观察下列数的规律： ,8,5,3,2,1,1，则第9个数是 （ ） A. 21 B. 22 C. 33 D. 34

12.如图，在四边形ABCD 中，︒=∠135B ，︒

=∠120C ，3=

AB ，61+=AD ，22=CD ，

则BC 边的长为 （ ） A ．

2

1

5- B. 22- C. 23 D. 2

2

二、填空题（本大题4小题，每小题5分，共20分）

第8题图

第12题图

13.已知a 、b 、c 是互不相等的实数，x 是任意实数，

化简：

222

()()()()()()()()()

x a x b x c a b a c c b a b c a c b ---++=------ ； 14. 一个袋子里装有两个红球和一个白球（仅颜色不同），第一次从中取出一个球，记下颜色后放回，摇匀，第二次从中取出一个球，则两次都是红球的概率是 ；

15.矩形ABCD 中，4=AB ,3=AD ，将该矩形按照下图所示位置放置在直线AP 上，然后不滑动的转动，当它转动一周时（1A A →）叫做一次操作，则经过5次这样的操作，顶点A 经过的路线

长等于 ；

16.在ABC ∆中，5==AC AB ，5

4

cos =B ，若以M 为圆心，17为半径的圆经过C B 、两点，则线段AM 的长等于 。

三、解答题（本大题6小题，共70分） 17.（本题满分10分）

（1）化简：；

； （2）因式分解：233+-x x ；

（3）已知1

112

42+=++a x x x ，用含a 的式子表示12+x x

. 18．（本题满分10分）随着社会的发展，通过微信朋友圈发布自己每天行走的步数已经成为一种时尚．“健身达人”小陈为了了解他的好友的运动情况．随机抽取了部分好友进行调查，把他们7月1日那天行走的情况分为四个类别：A （0～5000步）（说明：“0～5000”表示大于等于0，小于等于5000，下同），B （5001～10000步），C （10001～15000步），D （15000步以上），统计结果如图所示：

F

A

O C

D

B

E 请依据统计结果回答下列问题：

（1）本次调查中，一共调查了 位好友． （2）已知A 类好友人数是D 类好友人数的5倍． ①请补全条形图；

②扇形图中，“A”对应扇形的圆心角为 度．

③若小陈微信朋友圈共有好友150人，请根据调查数据估计大约有多少位好友7月1日这天行走的步数超过10000步？

19.（本题满分12分）如图，点D 是⊙O 的直径CA 延长线上一点，点B 在⊙O 上，且AB ＝AD ＝AO ． （1）求证：BD 是⊙O 的切线．

（2）若点E 是劣弧BC 上一点，AE 与BC 相交于点F ，且△BEF

的面积为8，cos ∠BFA ＝3

2

，求△ACF 的面积． 20．（本题满分12分）已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>-+-≤-=0

202

2x k x x x k

x y ，其中k 为

实数.

（1）当0=k 时，在所给的网格内做出该函数图象的简图，并利用图象求0>x 时，函数的最大值；

（2）当k 变化时，探究函数图象与x 轴的交点个数.

21.（本题满分12分）如图①，正方形ABCD 的边长为7， ADB ∠的角平分线DE 交AB 与点E . （1）求

AE

BE

的值； （2）若P 在线段BD 上运动，如图②，当BP 为何值时，AP EP +的值最小.

第21题图① 第21题图②

22.（本题满分14分）如图①，抛物线()02

<+=a c ax y 与y 轴交于点A ，与x 轴交于C B 、两

点（点C 在x 轴正半轴上），ABC ∆为等腰直角三角形，且面积为4. 现将抛物线沿BA 方向平移，

x

y

–3–2–1

123

–3

–2–112345

O

平移后的抛物线过点C 时，与x 轴的另一个交点为E ，其顶点为F ，对称轴与x 轴的交点为H . （1） 求c a 、的值；

（2） 连接CF OF 、，求证:FCE OFE ∠=∠;

（3） 在y 轴上是否存在点P ，当以PE 为直径的圆交直线FH 于点Q 时，以点E Q P 、、为顶点

的三角形与

EOP ∆全等，若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由.

第22题图① 第22题图②

2021年庆阳一中高一分班考试数学试题答案

一、选择题（每小题5分，共60分。每小题只有一个正确答案） 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案

B

C

D

A

A

D

C

B

C

A

D

B

二、填空题（每小题3分，共12分） 13. 1 14. 4

9

15. π30 16. 2或4 17．（本题满分10分）

解：（1）()111

1111

111111=-+=

+-

+=+

-+x x x x x x

x …………………………………………… 3分 （2）解法一：()

()1222233

33---=+--=+-x x x x x x x x ……………… 5分 ()()[]()

2)1(21)1()1(212

2-+-=-+-=---=x x x x x x x x x …6分

()()212

+-=x x …………………………………………………………7分

解法二：()()()211232

223--+-=+-+-x x x x x x x x ………………… 5分 ()()

212

-+-=x x x ……………………………………………………6分

()()212

+-=x x …………………………………………………………7分

（3）由111242+=++a x x x 得0≠x ，且1112

2

+=++a x x

∴a x x =+

2

21

…………………………………………………………………… 8分 2211122

2

+±=++±=⎪⎭⎫ ⎝

⎛+±=+∴a x x x x x x ……………………… 9分

∴

2

2

111

2++±

=+

=+a a x

x x x

…………………………10分（结论没有有理化扣1分） 18. （本题满分10分

解：【解答】解：（1）本次调查的好友人数为6÷20%=30人，

故答案为：30； ……………………………………2分

（2）①设D 类人数为a ，则A 类人数为5a ， 根据题意，得：a+6+12+5a=30， 解得：a=2，

即A 类人数为10、D 类人数为2， ……………………………………4分 补全图形如下：

……………………………………5分

②扇形图中，“A”对应扇形的圆心角为360°×

=120°，

故答案为：120； ……………………………………7分 ③估计大约6月1日这天行走的步数超过10000步的好友人数为150×

=70人．……10分

19. （本题满分12分）

20. （本题满分12分）

（1）能够正确通过描点画出函数图象给4分

当0 x 时，函数的最大值为1……………………………6分

（2）结合图象可知：

1>k 或00=k 或1=k 时，函数图象与x 轴有2个交点………10分

10<21 （本题满分12分）

解：（1）延长CB 与DE ，交于点F ，…………………………………………………… 1分 FC AD //，∴EFB ADE ∠=∠………………………………………………2分 又BDE ADE ∠=∠，∴EFB BDE ∠=∠∴BF BD =………………………3分 ADE ∆∽BFE ∆…………………………………………………………………4分 ∴2===AD BD AD BF AE BE …………………………………………………………6分

（2）连接AC ,则AC 与BD 互相垂直平分

连接EC 交BD 于P ,则PC AP =

∴EC PC EP AP EP =+=+,此时AP EP +的值最小…… 8分

设x BP =BEP ∆ ∽DCP ∆,DC

BE DP BP =∴ 由（1）知，2=AE BE ，∴122+=DC

BE …………………10分 ∴122

27+=-x x

，解得224-=x ………………… 11分

∴当224-=BP 时，AP EP +的值最小。…………… 12分

22 （本题满分12分）

解：（1） 抛物线()02<+=a c ax y 与y 轴交于点A ，

∴()0,,0>c c A ，则c OA =，

ABC ∆为等腰直角三角形，∴c OC OB OA ===，

∴4221=⋅⋅c c ，解得2=c （舍负根）………………1分 ∴()0,2C ，22+=ax y ，

将()0,2C 代入22+=ax y 中，得024=+a ，得2

1-=a 综上：2

1-=a ，2=c …………………………………2分 （2）设直线AB 的解析式为b kx y +=，

将)2,0(A 、)0,2(-B 代入得⎩⎨⎧=+-=022b k b 解得⎩

⎨⎧==21b k 则直线AB 的解析式为2+=x y ………………………………………………………3分 设)2,(+t t F ， 抛物线沿BA 方向平移，平移后的抛物线过点C 时，顶点为F ， ∴可设平移后抛物线的解析式为()2212++--

=t t x y 将()0,2C 代入得()0222

12=++--t t 解得61=t ，02=t （舍去） ∴平移后抛物线的解析式为()862

12+--=x y ，∴)8,6(F ………………………4分 ∴108622=+=OF ……………………………………………………………… 5分 对称轴与x 轴的交点为H ,∴HE CH =，

从而2,6==OC OH ,∴10=OE …………………………………………………6分 ∴OF OE =,∴OFE FEO ∠=∠

又 FE FC =,∴FEO FCE ∠=∠

∴FCE OFE ∠=∠…………………………………………………………………7分

（3）假设存在点P 满足题意

以PE 为直径的圆交直线FH 于点Q ，∴QE PQ ⊥……………………………8分 ︒

=∠90POE ，若以点E Q P 、、为顶点的三角形与EOP ∆全等，

则有10==EO EQ 或者10==EO PQ ……………………9分

设()m P ,0，()n Q ,6，分两种情况：

① 若10==EO EQ ，4610=-=HE ，∴222104=+n ，

∴842=n ，解得212±=n ，此时()212,6±Q

过P 作⊥PK 直线FH ，垂足为K ，则()2226m n PQ -+=

由PQ OP =，则有()2226m n m -+=，化简得60=mn ，∴721

1060±==n m ∴⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛±72110

,0P …………………………………………………………………11分 ② 若10==EO PQ ,则OP QE =,

∴()⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+)2(4)1(106222222m n m n （2）代入（1）得m m n 10

2-=

代入（2）得252=m ，解得5±=m ∴()5,0±P ………………………………13分 综上，存在满足条件的点P ，坐标为⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛±72110,0或()5,0±………………14分