2021-2022学年四川省成都七中高三(上)入学数学试卷(理科)(解析版)

一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.   

1．设集合U＝R，集合A＝{x|x2﹣1＞0}，B＝{x|0＜x≤2}，则集合（∁UA）∩B＝（　　）

A．（﹣1，1）    B．[﹣1，1]    C．（0，1]    D．[﹣1，2]

2．已知i是虚数单位，设，则复数+2对应的点位于复平面（　　）

A．第一象限    B．第二象限    C．第三象限    D．第四象限

3．将A，B，C，D，E排成一列，要求A，C，E在排列中顺序为“A，C，E”或“E，C，A”（可以不相邻），则这样的排列数有（　　）

A．24种    B．40种    C．60种    D．80种

4．已知点P是△ABC所在平面内一点，且++＝，则（　　）

A．＝﹣+    B．＝+    

C．＝﹣﹣    D．＝﹣

5．已知数列{an}的前n项和为Sn，且an+2+an﹣2an+1＝0（n∈N*），若a16+a18+a20＝24，则S35＝（　　）

A．140    B．280    C．70    D．420

6．已知命题p：存在a∈R，曲线x2+ay2＝1为双曲线；命题q：≤0的解集是{x|1＜x＜2}．给出下列结论中正确的有（　　）

①命题“p且q”是真命题；

②命题“p且（￢q）”是真命题；

③命题“（￢p）或q”为真命题；

④命题“（￢p）或（￢q）”是真命题．

A．1个    B．2个    C．3个    D．4个

7．公元263年左右，我国数学有刘徽发现当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形的面积可无限逼近圆的面积，并创立了割圆术，利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．某同学利用刘徽的“割圆术”思想设计了一个计算圆周率的近似值的程序框图如图，则输出S的值为

（参考数据：sin15°＝0.2588，sin7.5°＝0.1305）（　　）

A．2.598    B．3.106    C．3.132    D．3.142

8．下列说法正确的是（　　）

A．若函数f（x）对于任意x∈R都有f（x）＝f（4﹣x）成立，则f（x+2）是偶函数    

B．若函数f（x）＝alog3x+blog2x+1，f（2016）＝3，则f（）＝﹣3    

C．对于函数f（x）＝lnx，其定义域内任意x1≠x2都满足f（）≤    

D．函数f（x）＝ax（a＞0，a≠1）满足对定义域内任意实数a，b都有f（a+b）＝f（a）•f（b），且f（x）为增函数

9．设函数，则y＝f（x）（　　）

A．在单调递增，且其图象关于直线对称    

B．在单调递增，且其图象关于直线对称    

C．在单调递减，且其图象关于直线对称    

D．在单调递减，且其图象关于直线对称

10．如图，圆O：x2+y2＝π2内的正弦曲线y＝sinx与x轴围成的区域记为M（图中阴影部分），随机往圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率是（　　）

A．    B．    C．    D．

11．在三棱锥P﹣ABC中，已知PA＝AB＝AC＝2，∠PAB＝，∠BAC＝，D是线段BC上的点，BD＝2DC，AD⊥PB．若三棱锥P﹣ABC的各顶点都在球O的球面上，则球O的半径为（　　）

A．1    B．    C．    D．

12．已知F是椭圆+y2＝1（a＞1）的左焦点，A是该椭圆的右顶点，过点F的直线l（不与x轴重合）与该椭圆相交于点M，N．记∠MAN＝α，设该椭圆的离心率为e，下列结论正确的是（　　）

A．当0＜e＜1时，α＜    B．当0＜e＜时，α＞    

C．当＜e＜时，α＞    D．当＜e＜1时，α＞

二、填空题（每小题5分，共20分）

13．函数f（x）＝sin2x（x∈R）的最小正周期T＝　 　．

14．已知（1+）（2x﹣）5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为　   　．

15．若实数x，y满足，则对任意实数m，由不等式组确定的可行域的面积是　              　．

16．已知函数f（x）＝若关于x的不等式f（x）＜π的解集为（﹣∞，），则实数a的取值范围是　               　．

三、解答题（17-21每题12分，22题10分，共70分）

17．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足2asinA＝（2b﹣c）sinB+（2c﹣b）sinC．

（Ⅰ）求角A的大小；

（Ⅱ）若a＝2，b＝2，求△ABC的面积．

18．根据国际疫情形势以及传染病防控的经验，加快新冠病毒疫苗接种是当前有力的防控手段，我国正在安全、有序加快推进疫苗接种工作，某乡村采取通知公告、微信推送、广播播放、条幅宣传等形式，积极开展疫苗接种社会宣传工作，消除群众疑虑，提高新冠疫苗接种率，让群众充分地认识到了疫苗接种的重要作用，自宣传开始后村干部统计了本村200名居民（未接种）的一个样本，5天内每天新接种疫苗的情况，如下统计表：

（2）假设全村共计2000名居民（均未接种过疫苗），用样本估计总体来预测该村80%居民接种新冠疫苗需要几天？

参考公式：回归方程＝x+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：＝，＝﹣．

19．如图，在三棱台ABC﹣DEF中，BC＝2EF，G，H分别为AC，BC上的点，平面GHF∥平面ABED，CF⊥BC，AB⊥BC．

（1）证明：平面BCFE⊥平面EGH；

（2）若AB⊥CF，AB＝BC＝2CF＝2，求二面角B﹣AD﹣CC的大小．

20．设椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左焦点为F，过F且垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为（﹣1，）．

（1）求椭圆C的方程；

（2）若过点F的直线l交椭圆C于A，B两点，线段AB的中点为M，过M且与l垂直的直线与x轴和y轴分别交于N、P两点，记△FMN和△OPN的面积分别为S1、S2，若＝10．求直线l的方程．

21．已知函数f（x）＝x2﹣ax+1，g（x）＝lnx+a（a∈R）．

（1）若a＝1，求函数h（x）＝f（x）﹣g（x）在区间[，t]（其中＜t＜e，e是自然对数的底数）上的最小值；

（2）若存在与函数f（x），g（x）的图象都相切的直线，求实数a的取值范围．

22．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点A在曲线C1：ρ2﹣8ρcosθ+12＝0上运动，点B为线段OA的中点．

（1）求动点B的运动轨迹C2的参数方程；

（2）若直线l与C2的公共点分别为M，N，当＝3时，求a的值．

参

一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.   

1．设集合U＝R，集合A＝{x|x2﹣1＞0}，B＝{x|0＜x≤2}，则集合（∁UA）∩B＝（　　）

A．（﹣1，1）    B．[﹣1，1]    C．（0，1]    D．[﹣1，2]

解：A＝{x|x＜﹣1，或x＞1}；

∴∁UA＝{x|﹣1≤x≤1}；

∴（∁UA）∩B＝（0，1]．

故选：C．

2．已知i是虚数单位，设，则复数+2对应的点位于复平面（　　）

A．第一象限    B．第二象限    C．第三象限    D．第四象限

解：＝＝﹣i，

则复数+2＝i+2

∴+2对应的点（2，1）位于复平面的第一象限．

故选：A．

3．将A，B，C，D，E排成一列，要求A，C，E在排列中顺序为“A，C，E”或“E，C，A”（可以不相邻），则这样的排列数有（　　）

A．24种    B．40种    C．60种    D．80种

解：根据题意，分3步进行分析：

①先排好A，C，E，要求A，C，E在排列中顺序为“A，C，E”或“E，C，A”，有2种情况，

②排好后有4个空位，在其中任选1个安排B，有4种情况，

③排好后有5个空位，在其中任选1个安排D，有4种情况，

则有2×4×5＝40种安排方法；

故选：B．

4．已知点P是△ABC所在平面内一点，且++＝，则（　　）

A．＝﹣+    B．＝+    

C．＝﹣﹣    D．＝﹣

解：因为++＝，所以点P为△ABC的重心，

延长PA交BC于点M，

所以，

又，

所以．

故选：D．

5．已知数列{an}的前n项和为Sn，且an+2+an﹣2an+1＝0（n∈N*），若a16+a18+a20＝24，则S35＝（　　）

A．140    B．280    C．70    D．420

解：数列{an}的前n项和为Sn，且an+2+an﹣2an+1＝0（n∈N*），

可得an+2﹣an+1＝an+1﹣an＝…＝a2﹣a1，

即有数列{an}为等差数列，

即有2a18＝a16+a20，

a16+a18+a20＝24，可得3a18＝24，

即a18＝8，

则S35＝（a1+a35）•35＝35a18＝35×8＝280．

故选：B．

6．已知命题p：存在a∈R，曲线x2+ay2＝1为双曲线；命题q：≤0的解集是{x|1＜x＜2}．给出下列结论中正确的有（　　）

①命题“p且q”是真命题；

②命题“p且（￢q）”是真命题；

③命题“（￢p）或q”为真命题；

④命题“（￢p）或（￢q）”是真命题．

A．1个    B．2个    C．3个    D．4个

解：当a＜0时，曲线x2+ay2＝1为双曲线，

故命题p：“存在a∈R，曲线x2+ay2＝1为双曲线”为真命题；

≤0的解集是{x|1≤x＜2}

故命题q：“≤0的解集是{x|1＜x＜2}”为假命题；

命题“p且q”是假命题，即①错误；

命题“p且（¬q）”是真命题，即②正确；

命题“（¬p）或q”为假命题，即③错误；

命题“（¬p）或（¬q）”是真命题，即④正确．

故选：B．

7．公元263年左右，我国数学有刘徽发现当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形的面积可无限逼近圆的面积，并创立了割圆术，利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．某同学利用刘徽的“割圆术”思想设计了一个计算圆周率的近似值的程序框图如图，则输出S的值为

（参考数据：sin15°＝0.2588，sin7.5°＝0.1305）（　　）

A．2.598    B．3.106    C．3.132    D．3.142

解：模拟执行程序，可得：

n＝6，S＝3sin60°＝，

不满足条件n＞24，n＝12，S＝6×sin30°＝3，

不满足条件n＞24，n＝24，S＝12×sin15°＝12×0.2588＝3.1056，

不满足条件n＞24，n＝48，S＝24×sin7.5°＝24×0.1305＝3.132，

满足条件n＞24，退出循环，输出S的值为3.132．

故选：C．

8．下列说法正确的是（　　）

A．若函数f（x）对于任意x∈R都有f（x）＝f（4﹣x）成立，则f（x+2）是偶函数    

B．若函数f（x）＝alog3x+blog2x+1，f（2016）＝3，则f（）＝﹣3    

C．对于函数f（x）＝lnx，其定义域内任意x1≠x2都满足f（）≤    

D．函数f（x）＝ax（a＞0，a≠1）满足对定义域内任意实数a，b都有f（a+b）＝f（a）•f（b），且f（x）为增函数

解：A选项：因为f（x）＝f（4﹣x），所以f（x+2）＝f[4﹣（x+2）]＝f（﹣x+2），所以f（x+2）是偶函数，正确．

B选项：f（2016）＝alog32016+blog22016+1＝3，所以alog32016+blog22016＝2．

所以f（）＝＝﹣（alog32016+blog22016）+1＝﹣2+1＝﹣1，错误．

C选项：因为，所以，即f（）＞，错误．

D选项：当0＜a＜1时，f（x）为减函数，错误．

故选：A．

9．设函数，则y＝f（x）（　　）

A．在单调递增，且其图象关于直线对称    

B．在单调递增，且其图象关于直线对称    

C．在单调递减，且其图象关于直线对称    

D．在单调递减，且其图象关于直线对称

解：函数＝2[sin（+）+cos（+）]＝2sin（++）＝2sin（+），

在（0，）上，+∈（，），f（x）＝2sin（+） 单调递增，

当x＝时，f（x）＝2，为最大值，故其图象关于直线对称，故A、C错误．

在（0，）上，+∈（，），f（x）＝2sin（+） 单调递增，

故选：B．

10．如图，圆O：x2+y2＝π2内的正弦曲线y＝sinx与x轴围成的区域记为M（图中阴影部分），随机往圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率是（　　）

A．    B．    C．    D．

解：构成试验的全部区域为圆内的区域，面积为π3

正弦曲线y＝sinx与x轴围成的区域记为M，

根据图形的对称性得：面积为S＝2∫0πsinxdx＝﹣2cosx|0π＝4，

由几何概率的计算公式可得，随机往圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率P＝

故选：B．

11．在三棱锥P﹣ABC中，已知PA＝AB＝AC＝2，∠PAB＝，∠BAC＝，D是线段BC上的点，BD＝2DC，AD⊥PB．若三棱锥P﹣ABC的各顶点都在球O的球面上，则球O的半径为（　　）

A．1    B．    C．    D．

解：如图，

在△ABC中，由AB＝AC＝2，∠BAC＝，

得＝4+4﹣2×2×2×（）＝12，

则BC＝2，

∵BD＝2DC，∴BD＝，

在△ABD中，AB＝2，BD＝，，

可得＝×2××＝．

∴，即AB⊥AD，

又AD⊥PB，PB∩AB＝B，∴AD⊥平面PAB，得AD⊥PA，

而PA⊥AB，AB∩AD＝A，∴PA⊥平面ABC．

设△ABC外接圆的半径为r，则2r＝，即r＝2．

三棱锥P﹣ABC的外接球的球心O到底面外心的距离等于PA＝1，

∴球O的半径为．

故选：D．

12．已知F是椭圆+y2＝1（a＞1）的左焦点，A是该椭圆的右顶点，过点F的直线l（不与x轴重合）与该椭圆相交于点M，N．记∠MAN＝α，设该椭圆的离心率为e，下列结论正确的是（　　）

A．当0＜e＜1时，α＜    B．当0＜e＜时，α＞    

C．当＜e＜时，α＞    D．当＜e＜1时，α＞

解：设F为（﹣c，0），则a2﹣c2＝1，易知直线MN的斜率不为0，设直线MN的方程为x＝ty﹣c，

与椭圆方程联立可得，（t2+a2）y2﹣2tcy﹣1＝0，

设M（x1，y1），N（x2，y2），则由韦达定理有，，

又，

∴＝＝，

∵a＞1，

∴a4＞1，

∴a4+2a3c+a2c2﹣1＞0，

∴，

又不平行，故为锐角，

即对任意e∈（0，1），均有．

故选：A．

二、填空题（每小题5分，共20分）

13．函数f（x）＝sin2x（x∈R）的最小正周期T＝　π　．

解：f（x）＝sin2x＝（1﹣cos2x）＝﹣cos2x+

最小正周期T＝＝π

故答案为：π

14．已知（1+）（2x﹣）5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为　80　．

解：令x＝1，可得（1+）（2x﹣）5的展开式中各项系数的和为（1+a）•（2﹣1）5＝2，∴a＝1．

故（1+）（2x﹣）5＝（1+）（2x﹣）5＝（1+）（32x5﹣80x3+80x﹣40•+10•﹣），

故该展开式中常数项为1×80＝80，

故答案为：80．

15．若实数x，y满足，则对任意实数m，由不等式组确定的可行域的面积是　　．

解：∵两直线x﹣2y＝1﹣2m与2x+y＝2+m互相垂直，且均过圆（x﹣1）2+(y﹣m)2＝1，

∴可行域的面积与m值无关，

不妨取m＝0，原不等式组化为，

表示的平面区域如图，

可知可行域为个圆，其面积为．

故答案为：．

16．已知函数f（x）＝若关于x的不等式f（x）＜π的解集为（﹣∞，），则实数a的取值范围是　a＞﹣2　．

解：由x≥0时，f（x）＝2x+cosx的导数为f′（x）＝2﹣sinx＞0，

即f（x）在x＞0递增，可得f（x）＞f（0）＝1，

若关于x的不等式f（x）＜π的解集为（﹣∞，），

则当x＜0时，f（x）＝x（a﹣x）＜π恒成立，

即a＞在x＜0时恒成立，

令g（x）＝，则当x＝﹣时，g（x）取最大值﹣2，

故a＞﹣2，

故答案为：a＞﹣2

三、解答题（17-21每题12分，22题10分，共70分）

17．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足2asinA＝（2b﹣c）sinB+（2c﹣b）sinC．

（Ⅰ）求角A的大小；

（Ⅱ）若a＝2，b＝2，求△ABC的面积．

解：（Ⅰ）由已知及正弦定理可得，

整理得，

所以．

又A∈（0，π），故．

（Ⅱ）由正弦定理可知，又a＝2，，，

所以．

又，故或．

若，则，于是；

若，则，于是．

18．根据国际疫情形势以及传染病防控的经验，加快新冠病毒疫苗接种是当前有力的防控手段，我国正在安全、有序加快推进疫苗接种工作，某乡村采取通知公告、微信推送、广播播放、条幅宣传等形式，积极开展疫苗接种社会宣传工作，消除群众疑虑，提高新冠疫苗接种率，让群众充分地认识到了疫苗接种的重要作用，自宣传开始后村干部统计了本村200名居民（未接种）的一个样本，5天内每天新接种疫苗的情况，如下统计表：

（2）假设全村共计2000名居民（均未接种过疫苗），用样本估计总体来预测该村80%居民接种新冠疫苗需要几天？

参考公式：回归方程＝x+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：＝，＝﹣．

解：（1）由题意可知，，，

所以＝＝，

则，

所以y关于x的线性回归方程为；

（2）设，

数列{an}的前n项和为Sn，

又数列{an}为等差数列，

所以，

因为S6＝127.2，S7＝163.8，

所以10S6＝1272，10S7＝1638，

2000×80%＝1600人，

所以预测该村80%居民接种新冠疫苗需要7天．

19．如图，在三棱台ABC﹣DEF中，BC＝2EF，G，H分别为AC，BC上的点，平面GHF∥平面ABED，CF⊥BC，AB⊥BC．

（1）证明：平面BCFE⊥平面EGH；

（2）若AB⊥CF，AB＝BC＝2CF＝2，求二面角B﹣AD﹣CC的大小．

解：（1）因为平面平面GHF∥平面ABED，

平面BCFE∩平面ABED＝DE，

平面BCFE∩平面GHF＝HF．

所以BE∥HF．

因为CB∥EF，所以四边形BHFE为平行四边形

所以BH＝EF，因为BC＝2EF．

所以BC＝2BH，H为BC的中点．

同理G为AC的中点，所以GH∥AB．

因为AB⊥BC，所以GH⊥BC

又HC∥EF且HC＝EF，所以四边形EFCH是平行四边形，所以CF∥HE，

又CF⊥BC，所以HE⊥BC．

又HE，HG⊂平面EGH，HE∩GH＝H，所以BC⊥平面EGH，

又BC⊂平面BCFE，所以平面BCFE⊥平面EGH．

（2）由（1）知，HE⊥HB，HG⊥HB，因为AB⊥CF，CF∥HE，GH∥AB，所以HE∥HG．

分别以HG，HB，HE所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系H﹣xyz，

则A（2，1，0），B（0，1，0），D（1，0，1），C（0，﹣1，0）．

设平面ABD的一个法向量为，因为，．

则，取y1＝1，得．

设平面ADC的一个法向量为，因为，．

则，取x2＝1，得．

所以cos＜＝﹣，则二面角B﹣AD﹣C的大小为．

20．设椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左焦点为F，过F且垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为（﹣1，）．

（1）求椭圆C的方程；

（2）若过点F的直线l交椭圆C于A，B两点，线段AB的中点为M，过M且与l垂直的直线与x轴和y轴分别交于N、P两点，记△FMN和△OPN的面积分别为S1、S2，若＝10．求直线l的方程．

解：（1）由题意可得：，解得，故椭圆方程为．

（2）由题意知，斜率不为0，

故设直线AB方程为x＝my﹣1．设A（x1，y1），B（x2，y2），

联立椭圆方程可得 （3m2+4）y2−6my−9＝0，∴，

，∴，

，

同理 ，

所以直线方程为：y＝±3（x+1）．

21．已知函数f（x）＝x2﹣ax+1，g（x）＝lnx+a（a∈R）．

（1）若a＝1，求函数h（x）＝f（x）﹣g（x）在区间[，t]（其中＜t＜e，e是自然对数的底数）上的最小值；

（2）若存在与函数f（x），g（x）的图象都相切的直线，求实数a的取值范围．

解：（1）由题意，可得h（x）＝f（x）﹣g（x）＝x2﹣x﹣lnx，

h′（x）＝2x﹣1﹣＝，

令h′（x）＝0，得x＝1．

①当＜t≤1时，h（x）在[，t]上单调递减，

∴h（x）min＝h（t）＝t2﹣t﹣lnt；

②当t＞1时，h（x）在[，1]上单调递减，在[1，t]上单调递增，

∴h（x）min＝h（1）＝0．

综上，当＜t≤1时，h（x）min＝t2﹣t﹣lnt；当t＞1时，h（x）min＝0．

（2）设函数f（x）在点（x1，f（x1））处与函数g（x）在点（x2，g（x2））处有相同的切线，

则f′（x1）＝g′（x2）＝，

∴2x1﹣a＝＝，

∴x1＝+，代入＝x12﹣ax1+1﹣lnx2﹣a，

得++lnx2++a﹣2＝0．

∴问题转化为：关于x的方程++lnx++a﹣2＝0有解，

设F（x）＝++lnx++a﹣2（x＞0），则函数F（x）有零点，

∵F（x）＝（+a）2+lnx+a﹣2，当x＝e2﹣a时，lnx+a﹣2＝0，∴F（e2﹣a）＞0．

∴问题转化为：F（x）的最小值小于或等于0．

F′（x）＝﹣﹣+＝，

设2x02﹣ax0﹣1＝0（x0＞0），则

当0＜x＜x0时，F′（x）＜0，当x＞x0时，F′（x）＞0．

∴F（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，

∴F（x）的最小值为F（x0）＝++lnx0++a﹣2．

由2x02﹣ax0﹣1＝0知a＝2x0﹣，故F（x0）＝x02+2x0﹣+lnx0﹣2．

设φ（x）＝x2+2x﹣+lnx﹣2（x＞0），

则φ′（x）＝2x+2++＞0，故φ（x）在（0，+∞）上单调递增，

∵φ（1）＝0，∴当x∈（0，1]时，φ（x）≤0，

∴F（x）的最小值F（x0）≤0等价于0＜x0≤1．

又∵函数y＝2x﹣在（0，1]上单调递增，∴a＝2x0﹣∈（﹣∞，1]．

22．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点A在曲线C1：ρ2﹣8ρcosθ+12＝0上运动，点B为线段OA的中点．

（1）求动点B的运动轨迹C2的参数方程；

（2）若直线l与C2的公共点分别为M，N，当＝3时，求a的值．

解：（1）点A在曲线C1：ρ2﹣8ρcosθ+12＝0上运动，点B为线段OA的中点．

设A（2ρ，θ），B（ρ，θ），

由于，转换为点B的直角坐标方程为（x﹣2）2+y2＝1；

转换为参数方程为（θ为参数）；

（2）直线l：（t为参数），转换为普通方程为y＝ax，

极坐标方程为a＝tanθ，

设M（ρ1，θ），N（ρ2，θ），由于，

所以：ρ1＝3ρ2，

代入ρ2﹣4ρcosθ+3＝0

所以，

整理得：，

解得：，

所以，

解得tanθ＝0，

故θ＝0．

即a＝0．