安徽省合肥市瑶海区2016年中考数学一模试卷含答案解析(word版)

参与试题解析

一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）

1．计算（﹣3）2的结果为（　　）

A．9 B．6 C．﹣9 D．﹣6

【分析】根据乘方的定义即可求解．

【解答】解：（﹣3）2=（﹣3）×（﹣3）=9．

故选A．

【点评】本题考查了有理数的乘方，理解乘方的定义是关键．

2．南海是我国固有领海，它的面积超过东海、黄海、渤海面积的总和，约为360万平方千米，360万用科学记数法表示为（　　）

A．3.6×102B．360×104C．3.6×104D．3.6×106

【分析】单位为“万”，换成计数单位为1的数，相当于把原数扩大10000倍，进而把得到的数表示成a×10n的形式，a为3.6，n为整数数位减去1．

【解答】解：360万=3600000=3.6×106，

故选D．

【点评】考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

3．如图，AD是△ABC的外角∠CAE的平分线，∠B=30°，∠DAE=55°，则∠ACD的度数是（　　）

A．80° B．85° C．100° D．110°

【分析】利用三角形的内角和外角之间的关系计算．

【解答】解：∵∠B=30°，∠DAE=55°，

∴∠D=∠DAE﹣∠B=55°﹣30°=25°，

∴∠ACD=180°﹣∠D﹣∠CAD=180°﹣25°﹣55°=100°．

故选C．

【点评】主要考查了三角形的内角和外角之间的关系．（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和；（2）三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件．

4．（4分）（2016•瑶海区一模）在一个不透明的口袋中装有5个质地、大小、颜色完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，从中随机摸出一个小球，其标号不大于3的概率为（　　）

A． B． C． D．

【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目，②全部情况的总数，二者的比值就是其发生的概率的大小．

【解答】解：根据题意可得：标号不大于3有1，2，3三个球，共5个球，

从中随机摸出一个小球，其标号不大于3的概率为是．

故选C．

【点评】本题考查概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=，难度适中．

5．（4分）（2016•瑶海区一模）若点（x1，y1），（x2，y2）都是反比例函数y=﹣图象上的点，并且y1＜0＜y2，则下列结论中正确的是（　　）

A．x1＜x2B．x2＜x1

C．y随x的增大而增大 D．两点有可能在同一象限

【分析】根据函数的解析式得出反比例函数y=﹣的图象在第二、四象限，求出点（x1，y1）在第四象限的图象上，点（x2，y2）在第二象限的图象上，再逐个判断即可．

【解答】解：反比例函数y=﹣的图象在第二、四象限，

∵y1＜0＜y2，

∴点（x1，y1）在第四象限的图象上，点（x2，y2）在第二象限的图象上，

∴x2＜x1，

A、x2＜x1，故本选项错误；

B、x2＜x1，故本选项正确；

C、在每一个象限内，y随x的增大而增大，故本选项错误；

D、点（x1，y1）在第四象限的图象上，点（x2，y2）在第二象限的图象上，故本选项错误；

故选B．

【点评】本题考查了反比例函数的图象和性质的应用，能熟记反比例函数的性质是解此题的关键．

6．（4分）（2016•瑶海区一模）如图，在平行四边形ABCD中，AB=m，BC=n，AC的垂直平分线交AD于点E，则△CDE的周长是（　　）

A．m+n B．mn C．2（m+n） D．2（n﹣m）

【分析】由平行四边形的性质得出DC=AB=m，AD=BC=n，由线段垂直平分线的性质得出AE=CE，得出△CDE的周长=AD+DC，即可得出结果．

【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴DC=AB=m，AD=BC=n，

∵AC的垂直平分线交AD于点E，

∴AE=CE，

∴△CDE的周长=DE+CE+DC=DE+AE+DC=AD+DC=m+n，

故选：A．

【点评】本题考查了平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质、三角形周长的计算；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．

7．（4分）（2016•瑶海区一模）在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的⊙O交x轴正半轴为M，P为圆上一点，坐标为（，1），则cos∠POM=（　　）

A． B． C． D．

【分析】作PA⊥x轴于A，根据坐标特征求出OA、PA，根据勾股定理求出OP，根据余弦的定答即可．

【解答】解：作PA⊥x轴于A，

∵点P的坐标为（，1），

∴OA=，PA=1，

由勾股定理得，OP=2，

cos∠POM==，

故选：A．

【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握在直角三角形中，一个锐角的对边比斜边是这个角的正弦，邻边比斜边是这个角的余弦，对边比邻边是这个角的正切是解题的关键．

8．（4分）（2016•瑶海区一模）为了求1+2+22+23+…+22016的值，可令S=1+2+22+23+…+22016，则2S=2+22+23+24+…+22017，因此2S﹣S=22017﹣1，所以1+2+22+23+…+22016=22017﹣1．仿照以上推理计算出1+3+32+33+…+32016的值是（　　）

A．32017﹣1 B．32018﹣1 C． D．

【分析】仿照例子，令S=1+3+32+33+…+32016，则可得出3S=3+32+33+…+32016+32017，两者做差后除以2即可得出结论．

【解答】解：令S=1+3+32+33+…+32016，则3S=3+32+33+…+32016+32017，

∴S==．

故选D．

【点评】本题考查了规律型中的数字的变化类，解题的关键是仿照例子计算1+3+32+33+…+32016．本题属于基础题，难度不大，本题其实是等比数列的求和公式，但初中未接触过该方面的知识，需要借助于错位相减法来求出结论．

9．（4分）（2016•瑶海区一模）某旅游景点的收入受季节的影响较大，有时候出现赔本的经营状况．因此，公司规定：若无利润时，该景点关闭．经跟踪测算，该景点一年中的利润W（万元）与月份x之间满足二次函数W=﹣x2+16x﹣48，则该景点一年中处于关闭状态有（　　）月．

A．5 B．6 C．7 D．8

【分析】令W=0，解得x=4或12，求出不等式﹣x2+16x﹣48＞0的解即可解决问题．

【解答】解：由W=﹣x2+16x﹣48，令W=0，则x2﹣16x+48=0，解得x=12或4，

∴不等式﹣x2+16x﹣48＞0的解为，4＜x＜12，

∴该景点一年中处于关闭状态有5个月．

故选A．

【点评】本题考查二次函数的应用，二次不等式与二次函数的关系等知识，解题的关键是学会解二次不等式，属于中考常考题型．

10．（4分）（2016•瑶海区一模）如图，正方形纸片ABCD的边长为2，翻折∠B、∠D，使两个直角的顶点重合于对角线BD上一点P、EF、GH分别是折痕（如图2）．设BE=x（0＜x＜2），阴影部分面积为y，则y与x之间的函数图象为（　　）

A． B． C． D．

【分析】阴影部分的面积=△EFP的面积+△GHP的面积．得出函数关系式，进而判断即可．

【解答】解：阴影部分的面积=阴影部分的面积=△EFP的面积+△GHP的面积

∵AE=x，

∴阴影部分的面积=x•x+×（2﹣x）•（2﹣x）=x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1   （0＜x＜2），

它的图象为C．

故选C．

【点评】此题考查了正方形的性质，本题关键是利用分割法求出阴影部分面积，利用二次函数的知识解决问题，属于中考常考题型．

二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）

11．（5分）（2016•瑶海区一模）计算： x2y（2x+4y）=　x3y+2x2y2　．

【分析】原式利用单项式乘以多项式法则计算即可得到结果．

【解答】解：原式=x3y+2x2y2，

故答案为：x3y+2x2y2．

【点评】此题考查了单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键

12．（5分）（2015•巴彦淖尔）某校要组织一次乒乓球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排2天，每天安排5场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的方程为　x（x﹣1）=2×5　．

【分析】关系式为：球队总数×每支球队需赛的场数÷2=2×5，把相关数值代入即可．

【解答】解：每支球队都需要与其他球队赛（x﹣1）场，但2队之间只有1场比赛，

所以可列方程为： x（x﹣1）=2×5．

故答案是： x（x﹣1）=2×5．

【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，注意2队之间的比赛只有1场，最后的总场数应除以2．

13．（5分）（2014•黄冈）如图，在⊙O中，弦CD垂直于直径AB于点E，若∠BAD=30°，且BE=2，则CD=　4　．

【分析】连结OD，设⊙O的半径为R，先根据圆周角定理得到∠BOD=2∠BAD=60°，再根据垂径定理由CD⊥AB得到DE=CE，在Rt△ODE中，OE=OB﹣BE=R﹣2，利用余弦的定义得cos∠EOD=cos60°=，即=，解得R=4，则OE=2，DE=OE=2，所以CD=2DE=4．

【解答】解：连结OD，如图，设⊙O的半径为R，

∵∠BAD=30°，

∴∠BOD=2∠BAD=60°，

∵CD⊥AB，

∴DE=CE，

在Rt△ODE中，OE=OB﹣BE=R﹣2，OD=R，

∵cos∠EOD=cos60°=，

∴=，解得R=4，

∴OE=4﹣2=2，

∴DE=OE=2，

∴CD=2DE=4

故答案为：4．

【点评】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理和解直角三角形．

14．（5分）（2016•瑶海区一模）如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=8，点E，F分别在AD，BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处，有以下四个结论：

①四边形CFHE是菱形；

②EC平分∠DCH；

③线段BF的取值范围为3≤BF≤4；

④当点H与点A重合时，EF=2．

以上结论中，你认为正确的有　①③④　．（填序号）

【分析】①先判断出四边形CFHE是平行四边形，再根据翻折的性质可得CF=FH，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出①正确；

②根据菱形的对角线平分一组对角线可得∠BCH=∠ECH，然后求出只有∠DCE=30°时EC平分∠DCH，判断出②错误；

③点H与点A重合时，设BF=x，表示出AF=FC=8﹣x，利用勾股定理列出方程求解得到BF的最小值，点G与点D重合时，CF=CD，求出BF=4，然后写出BF的取值范围，判断出③正确；

④过点F作FM⊥AD于M，求出ME，再利用勾股定理列式求解得到EF，判断出④正确．

【解答】解：∵FH与CG，EH与CF都是矩形ABCD的对边AD、BC的一部分，

∴FH∥CG，EH∥CF，

∴四边形CFHE是平行四边形，

由翻折的性质得，CF=FH，

∴四边形CFHE是菱形，（故①正确）；

∴∠BCH=∠ECH，

∴只有∠DCE=30°时EC平分∠DCH，（故②错误）；

点H与点A重合时，设BF=x，则AF=FC=8﹣x，

在Rt△ABF中，AB2+BF2=AF2，

即42+x2=（8﹣x）2，

解得x=3，

点G与点D重合时，CF=CD=4，

∴BF=4，

∴线段BF的取值范围为3≤BF≤4，（故③正确）；

过点F作FM⊥AD于M，

则ME=（8﹣3）﹣3=2，

由勾股定理得，

EF===2，（故④正确）；

综上所述，结论正确的有①③④共3个，

故答案为①③④．

【点评】本题考查了翻折变换的性质，菱形的判定与性质，勾股定理的应用，难点在于灵活运用菱形的判定与性质与勾股定理等其它知识有机结合．

三、解答题（共9小题，满分90分）

15．（8分）（2016•瑶海区一模）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．

【分析】先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可．

【解答】解：

∵解不等式①得：x＜1，

解不等式②得：x＞﹣3，

∴不等式组的解集为﹣3＜x＜1，

在数轴上表示不等式组的解集为：

．

【点评】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集的应用，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键．

16．（8分）（2016•瑶海区一模）已知A（1，m），B（n，1），直线l经过A、B两点，其解析式为y=﹣x+b．

（1）当b=5时，求m、n的值；

（2）若此时双曲线y=（x＞0）也过A、B两点，求关于x的方程x2﹣bx+k=0的解．

【分析】（1）把A（1，m），B（n，1）分别代入解析式即可求得；

（2）根据待定系数法求得k的值，确定方程为x2﹣5x+4=0，然后解方程即可．

【解答】解：（1）当b=5时，y=﹣x+5，

把A（1，m）代入得：m=﹣1+5=4，

把B（n，1）代入得：1=﹣n+5，解得n=4，

即m=4，n=4；

（2）∵此时双曲线y=（x＞0）也过A、B两点，

∴k=1×4=4，

∴方程为x2﹣5x+4=0，

解得x1=4，x2=1．

【点评】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征以及方程的解等．

17．（8分）（2016•瑶海区一模）如图，AB是圆O的一条直径，弦CD垂直于AB，垂足为点G、E是劣弧BD上一点，点E处的切线与CD的延长线交于点P，连接AE，交CD于点F．

（1）求证：PE=PF

（2）已知AG=4，AF=5，EF=25，求圆O的直径．

【分析】（1）如图1，连接OE，根据切线的性质得出∠PEO=90°，求出∠PEF=∠PFE，根据等腰三角形的判定得出即可；

（2）如图2，连接BE，根据相似三角形的判定得出△AGF∽△AEB，得出比例式，代入求出即可．

【解答】（1）证明：如图1，连接OE，

∵EP是⊙O的切线，

∴∠PEO=90°，

∴∠OEA+∠PEF=90°，

∵AB⊥CD，

∴∠AGF=90°，

∴∠A+∠AFG=90°，

∵OE=OA，

∴∠OEA=∠OAE，

∴∠PEF=∠AFG，

∵∠EFP=∠AFG，

∴∠PEF=∠PFE，

∴PE=PF；

（2）解：如图2，连接BE，

∵AB为直径，

∴∠AEB=90°，

∵∠AGF=90°，

∴∠AGF=∠AEB，

∵∠A=∠A，

∴△AGF∽△AEB，

∴=，

∵AG=4，AF=5，EF=25，

∴=，

∴AB=，

即圆O的直径为．

【点评】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定的应用，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．

18．（8分）（2016•瑶海区一模）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点都在格点上，建立如图所示的平面直角坐标系．

（1）将△ABC向左平移7个单位后再向下平移3个单位，请画出两次平移后的△A1B1C1，若M为△ABC内的一点，其坐标为（a，b），直接写出两次平移后点M的对应点M1的坐标；

（2）以原点O为位似中心，将△ABC缩小，使变换后得到的△A2B2C2与△ABC对应边的比为1：2．请在网格内画出在第三象限内的△A2B2C2，并写出点A2的坐标．

【分析】（1）找出三角形平移后各顶点的对应点，然后顺次连接即可；根据平移的规律即可写出点M平移后的坐标；

（2）根据位似变换的要求，找出变换后的对应点，然后顺次连接各点即可．

【解答】解：（1）所画图形如下所示，其中△A1B1C1即为所求，根据平移规律：左平移7个单位，再向下平移3个单位，可知M1的坐标（a﹣7，b﹣3）；

（2）所画图形如下所示，其中△A2B2C2即为所求，点A2的坐标为（﹣1，﹣4）．

【点评】本题考查了平移变换和位似变换后图形的画法，解题关键是根据变换要求找出变换后的对应点．

19．（10分）（2016•瑶海区一模）如图，一棵大树在一次强台风中折断倒下，未折断树杆AB与地面仍保持垂直的关系，而折断部分AC与未折断树杆AB形成60°的夹角．树杆AB旁有一座与地面垂直的铁塔DE，测得BE=6米，塔高DE=9米．在某一时刻的太阳照射下，未折断树杆AB落在地面的影子FB长为4米，且点F、B、C、E在同一条直线上，点F、A、D也在同一条直线上．求这棵大树没有折断前的高度．

【分析】由题意得出AB∥DE，证出△ABF∽△DEF，由相似三角形的性质得出，求出AB，再由三角函数求出AC，即可得出结果．

【解答】解：根据题意得：AB⊥EF，DE⊥EF，

∴∠ABC=90°，AB∥DE，

∴△ABF∽△DEF，

∴，即，

解得：AB=3.6，

∵cos∠BAC=，

∴AC==7.2米，

∴AB+AC=3.6+7.2=10.8米．

答：这棵大树没有折断前的高度为10.8米．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用、相似三角形的应用；熟练掌握解直角三角形，由相似三角形的性质求出AB是解决问题的关键．

20．（10分）（2016•瑶海区一模）观察下列各式：

3×5=15=42﹣1

5×7=35=62﹣1

…

11×13=143=122﹣1

…

（1）写出一个符合以上规律的式子．

（2）用字母表示一般规律，并说明该等式一定成立．

【分析】（1）根据规律写出等式即可．

（2）用字母n表示两个连续奇数的积即可，利用证明恒等式的方法证明即可．

【解答】解：（1）13×15=195=142﹣1．

（2）结论：（2n﹣1）（2n+1）=4n2﹣1=（2n）2﹣1．

证明：左边=4n2﹣1，右边=4n2﹣1，

∴左边=右边，

∴结论成立．

【点评】本题考查规律型：数字变化类，解题的关键是学会从一般到特殊的探究方法，找到规律后即可解决问题，属于中考常考题型．

21．（12分）（2016•瑶海区一模）如图是八年级（1）班学生绿色评价科学素养考试成绩（依次A、B、C、D等级划分，且A等为成绩最好）的频数分布直方图和扇形统计图，请根据图中的信息回答下列问题：

（1）补全频数分布直方图；

（2）求C等所对应的扇形统计图的圆心角的度数；

（3）求该班学生共有多少人？

（4）如果科学素养成绩是B等及B等以上的学生才能报名参加科学兴趣社团活动，请你用该班学生的情况估计该校八年级360名学生中，有多少名学生有资格报名参加科学兴趣社团活动？

【分析】（1）根据A等级的有15人，占25%，据此即可求得总人数，然后求得B等级的人数，即可作出直方图；

（2）利用360°乘以对应的百分比即可求解；

（3）根据（1）的计算即可求解；

（4）利用总人数360乘以对应的百分比即可求解．

【解答】解：（1）调查的总人数是：15÷25%=60（人），

则B类的人数是：60×40%=24（人）．

频数分布直方图补充如下：

；

（2）C等所对应的扇形统计图的圆心角的度数是：360°×（1﹣25%﹣40%﹣5%）=108°；

（3）该班学生共有60人；

（4）360×（25%+40%）=234（人）．

【点评】本题考查的是频数分布直方图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体态势，扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．也考查了用样本估计总体．

22．（12分）（2016•瑶海区一模）一辆汽车在某段路程中的行驶速度v（km/b）与时间t（h）的关系如图线段AB，CD，EF．

（1）求图中阴影部分的面积．

（2）说明所求阴影部分的面积的实际意义．

（3）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2000km，试求行驶这段路程时汽车里程表读数s（km）与时间t（h）的函数关系式．

【分析】（1）由长方形面积公式计算可得；

（2）由速度×时间=路程可知阴影部分表示的是3小时内行驶的路程；

（3）根据：总路程=行驶这段路程前的读数+速度×时间，分段表示即可．

【解答】解：（1）S=60×1+80×1+100×1=240；

（2）阴影部分面积的实际意义是汽车在3小时内行驶了240km；

（3）当0≤t＜1，S=2000+60t，

当1≤t＜2时，S=2000+60+80（t﹣1）=1980+80t，

当2≤t≤3时，S=2140+100（t﹣2）=1940+100t，

综上，S=．

【点评】本题主要考查一次函数的应用，理解题意分段表示总路程是解题的关键．

23．（14分）（2016•瑶海区一模）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠BCD=60°，AB+DC=BC．

（1）如图1，连结AC、BD，求证：AC=BD；

（2）如图2，∠BAD与∠ADC的平分线相交于E点，求∠E的度数；

（3）如图3，若AB=6，CD=3，点P为BC上一点，且∠APD=60°，试判断△APD的形状，并说明理由．

【分析】（1）在CB上取CE=CD，连接DE，AE，根据全等三角形的判定和性质证明即可；

（2）根据角平分线的定义以及四边形的内角和解答即可；

（3）根据相似三角形的判定和性质以及等边三角形的判定解答即可．

【解答】证明：（1）在CB上取CE=CD，连接DE，AE，如图1：

，

∵AB+DC=BC，

∴AB=BE，

∵∠ABC=∠BCD=60°，

∴△ABE与△CDE均为等边三角形，

∴AE=BE，DE=CE，

∴∠AEB=∠CED=60°，

∴∠BED=∠AEC=120°，

在△BED与△AEC中，

，

∴△BED≌△AEC（SAS），

∴AC=BD；

（2）在四边形ABCD中，∠B=∠C=60°，

∴∠BAD+∠ADC=240°，

∵AE，DE分别是∠BAD，∠ADC的平分线，

∴∠EAD+∠EDA=（∠BAD+∠ADC）=120°，

∴∠E=60°；

（3）如图2，

∵∠APD=60°，

∴∠APB+∠CPD=120°，

∵∠ABP=60°，

∴∠BAP+∠APB=120°，

∴∠BAP=∠CPD，

∵∠B=∠C=60°，

∴△ABP∽△PCD，

∴，

∵AB=6，CD=3，BC=9，

∴，

∴BP（9﹣BP）=18，

解得：BP=3，或BP=6，

当BP=3时，，即AP=PD，

∵∠APD=60°，

∴△APD是等边三角形；

当BP=6时，PC=3，可得△ABP和△CDP均为等边三角形，

∴AP=6，DP=3，即AP=2DP，取AP的中点E，连接DE，

可得：PE=PD，

∵∠APD=60°，

∴△EPD是等边三角形，

∴ED=EP=EA，

∴D点在以AP为直径的圆上，

∴△APD是直角三角形．

【点评】此题主要考查了三角形的综合问题，关键是根据全等三角形的判定与性质分析，证明三角形全等是证明线段相等的重要手段．