2020-2021青岛市高一数学下期末第一次模拟试题(及答案)

一、选择题

1．设是等差数列的前项和,若,则

A． ． ． ．

2．已知不等式对任意实数、恒成立，则实数的最小值为（    ）

A． ． ． ．

3．已知函数为上的偶函数，当时，函数，若关于的方程有且仅有6个不同的实数根，则实数a的取值范围是（    ）

A． ． 

C． ．

4．函数的大致图像是（   ）

A． ．

C． ．

5．已知，则（  ）

A． ． ． ．

6．函数的图象大致为（    ）

A． ．

C． ．

7．定义在上的奇函数满足，且当时，，则下列结论正确的是（  ）

A． ．

C． ．

8．在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如EF与HG交于点M，那么　(　　)

A．M一定在直线AC上

B．M一定在直线BD上

C．M可能在直线AC上，也可能在直线BD上

D．M既不在直线AC上，也不在直线BD上

9．若，则（   ）

A． ． ． ．

10．在正三棱柱中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，则与侧面所成角的大小为（  ）

A． ． ． ．

11．在中，内角所对的边分别是．已知，，，则

A． ． ． ．

12．在中，分别为角的对边)，则的形状是(    )

A．直角三角形 ．等腰三角形或直角三角形

C．等腰直角三角形 ．正三角形

二、填空题

13．已知两个正数满足,则使不等式恒成立的实数的范围是__________

14．函数（）为增函数的区间是           ．

15．抛物线上的动点到两定点的距离之和的最小值为__________．

16．等边的边长为2，则在方向上的投影为________．

17．函数的定义域是__________．

18．已知点是的重心，内角、、所对的边长分别为、、，且，则角的大小是__________．

19．函数f(x)为奇函数，且x>0时，f(x)＝＋1，则当x<0时，f(x)＝________.

20．在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值是_____________．

三、解答题

21．已知．

（1）若，且，求k的值；

（2）若，且，求证：．

22．已知二次函数满足且.

（1）求的解析式；

（2）当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围.

23．一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字，，，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取次，每次抽取张，将抽取的卡片上的数字依次记为，，.

（Ⅰ）求“抽取的卡片上的数字满足”的概率；

（Ⅱ）求“抽取的卡片上的数字，，不完全相同”的概率.

24．已知以点C（t∈R，t≠0）为圆心的圆与x轴交于点O和点A，与y轴交于点O和点B，其中O为原点．

（1）求证：△OAB的面积为定值；

（2）设直线y＝－2x＋4与圆C交于点M，N，若OM＝ON，求圆C的方程．

25．我国是世界上严重缺水的国家，某市为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准（吨）、一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照,分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.

（1）求直方图中的值；

（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；

（3）若该市希望使的居民每月的用水量不超过标准（吨），估计的值，并说明理由.

26．中，三个内角的对边分别为，若，，且.

（1）求角的大小；

（2）若，，求的面积.

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一、选择题

1．A

解析：A

【解析】

，，选A.

2．C

解析：C

【解析】

【分析】

由题意可知，，将代数式展开后利用基本不等式求出该代数式的最小值，可得出关于的不等式，解出即可.

【详解】

.

若，则，从而无最小值，不合乎题意；

若，则，.

①当时，无最小值，不合乎题意；

②当时，，则不恒成立；

③当时，，

当且仅当时，等号成立.

所以，，解得，因此，实数的最小值为.

故选：C.

【点睛】

本题考查基本不等式恒成立问题，一般转化为与最值相关的不等式求解，考查运算求解能力，属于中等题.

3．B

解析：B

【解析】

【分析】

作出函数的图像，设，从而可化条件为方程有两个根，利用数形结合可得，，根据韦达定理即可求出实数a的取值范围.

【详解】

由题意，作出函数的图像如下，

由图像可得， 

关于的方程有且仅有6个不同的实数根，

设，

有两个根，不妨设为；

且， 

又 

 故选：B

【点睛】

本题主要考查函数与方程、由方程根的个数求参数的取值范围，考查学生运用数形结合思想解决问题的能力，属于中档题.

4．B

解析：B

【解析】

由的解析式知仅有两个零点与，而A中有三个零点，所以排除A，又，由知函数有两个极值点，排除C，D，故选B．

5．C

解析：C

【解析】

由题意可得：，

则.

本题选择C选项.

6．A

解析：A

【解析】

【分析】

先确定函数定义域，再确定函数奇偶性，最后根据值域确定大致图像。

【详解】

由题函数定义域为，，函数为偶函数，图像关于y轴对称，B,C选项不符合，当时，，则函数图像大致为A选项所示.

故选：A

【点睛】

此类题目通常根据函数的定义域，周期性，奇偶性以及值域和特殊点等来判断大致图像。

7．C

解析：C

【解析】

【分析】

根据f（x）是奇函数，以及f（x+2）=f（-x）即可得出f（x+4）=f（x），即得出f（x）的周期为4，从而可得出f（2018）=f（0），， 然后可根据f（x）在[0，1]上的解析式可判断f（x）在[0，1]上单调递增，从而可得出结果.

【详解】

∵f（x）是奇函数；∴f（x+2）=f（-x）=-f（x）；∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x）；

∴f（x）的周期为4；∴f（2018）=f（2+4×504）=f（2）=f（0），, ∵x∈[0，1]时，f（x）=2x-cosx单调递增；∴f(0)＜ ＜ ∴,故选C.

【点睛】

本题考查奇函数，周期函数的定义，指数函数和余弦函数的单调性，以及增函数的定义，属于中档题.

8．A

解析：A

【解析】

如图，因为EF∩HG=M，

所以M∈EF，M∈HG，

又EF⊂平面ABC，HG⊂平面ADC，

故M∈平面ABC，M∈平面ADC，

所以M∈平面ABC∩平面ADC=AC. 选A.

点睛：证明点在线上常用方法

先找出两个平面，然后确定点是这两个平面的公共点，再确定直线是这两个平面的交线．

9．D

解析：D

【解析】

由有，所以，选D.

点睛：本题主要考查两角和的正切公式以及同角三角函数的基本关系式，属于中档题。

10．A

解析：A

【解析】

【分析】

由题意，取AC的中点O，连结，求得是与侧面所成的角，在中，即可求解．

【详解】

由题意，取AC的中点O，连结,

因为正三棱柱中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，

所以，

因为，所以平面，

所以是与侧面所成的角，

因为，

所以，

所以，与侧面所成的角．

【点睛】

本题主要考查了直线与平面所成的角的求解，其中解答中空间几何体的线面位置关系，得到是与侧面所成的角是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，以及转化与化归思想，属于中档试题．

11．B

解析：B

【解析】

【分析】

由已知三边，利用余弦定理可得，结合，为锐角，可得，利用三角形内角和定理即可求的值．

【详解】

在中，，，，

由余弦定理可得：，

，故为锐角，可得，

，故选．

【点睛】

本题主要考查利用余弦定理解三角形以及三角形内角和定理的应用．

12．A

解析：A

【解析】

【分析】

根据正弦定理得到，化简得到，得到，得到答案.

【详解】

，则，

即，即，

，故，.

故选：.

【点睛】

本题考查了正弦定理判断三角形形状，意在考查学生的计算能力和转化能力.

二、填空题

13．【解析】【分析】由题意将代入进行恒等变形和拆项后再利用基本不等式求出它的最小值根据不等式恒成立求出m的范围【详解】由题意知两个正数xy满足则当时取等号；的最小值是不等式恒成立故答案为【点睛】本题考查

解析：

【解析】

【分析】

由题意将代入进行恒等变形和拆项后，再利用基本不等式求出它的最小值，根据不等式恒成立求出m的范围．

【详解】

由题意知两个正数x，y满足，

则，当时取等号；

的最小值是，

不等式恒成立，．

故答案为．

【点睛】

本题考查了利用基本不等式求最值和恒成立问题，利用条件进行整体代换和合理拆项再用基本不等式求最值，注意一正二定三相等的验证．

14．【解析】试题分析：因为所以只要求函数的减区间即可解可得即所以故答案为考点：三角函数的图象和基本性质的运用【易错点晴】本题以函数的表达式的单调区间为背景考查的是三角函数中形如的正弦函数的图象和性质解答

解析：

【解析】

试题分析：因为,所以只要求函数的减区间即可.解可得,即,所以,故答案为.

考点：三角函数的图象和基本性质的运用．

【易错点晴】本题以函数的表达式的单调区间为背景,考查的是三角函数中形如的正弦函数的图象和性质.解答时先从题设中的条件增函数入手,对函数进行变形,将其变形为一般式,将其转化为求函数的减区间.最后将其转化为正弦函数的单调递减区间的求法.通过解不等式使得本题获解.

15．4【解析】【分析】【详解】由题意得交点设作与准线垂直垂足为作与准线垂直垂足为则

解析：4

【解析】

【分析】

【详解】

由题意得交点 ，设 ，作与准线垂直，垂足为，作与准线垂直，垂足为，

则

16．【解析】【分析】建立直角坐标系结合向量的坐标运算求解在方向上的投影即可【详解】建立如图所示的平面直角坐标系由题意可知：则：且据此可知在方向上的投影为【点睛】本题主要考查平面向量数量积的坐标运算向量投

解析：

【解析】

【分析】

建立直角坐标系，结合向量的坐标运算求解在方向上的投影即可.

【详解】

建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可知：，，，

则：，，

且，，

据此可知在方向上的投影为.

【点睛】

本题主要考查平面向量数量积的坐标运算，向量投影的定义与计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

17．【解析】由得所以所以原函数定义域为故答案为

解析：

【解析】

由，得，所以，所以原函数定义域为，故答案为.

18．【解析】由向量的平行四边形法则可得代入可得故则由余弦定理可得故应填答案点睛：解答的关键是如何利用题设中所提供的向量等式中的边的关系探求处来这是解答本题的难点也是解答本题的突破口求解时充分利用已知条件

解析：

【解析】

由向量的平行四边形法则可得，代入可得，故，则．由余弦定理可得，故，应填答案．

点睛：解答的关键是如何利用题设中所提供的向量等式中的边的关系探求处来，这是解答本题的难点，也是解答本题的突破口．求解时充分利用已知条件及向量的平行四边形法则，将其转化为，然后再借助向量相等的条件待定出三角形三边之间的关系，最后运用余弦定理求出，使得问题获解．

19．【解析】当x<0时－x>0∴f(－x)＝＋1又f(－x)＝－f(x)∴f(x)＝故填

解析：

【解析】

当x<0时，－x>0，∴f(－x)＝ ＋1，又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝,故填.

20．【解析】【分析】先找出线面角运用余弦定理进行求解【详解】连接交于点取中点连接则连接为异面直线与所成角在中同理可得异面直线与所成角的余弦值是故答案为【点睛】本题主要考查了异面直线所成的角考查了空间想象

解析：

【解析】

【分析】

先找出线面角，运用余弦定理进行求解

【详解】

连接交于点，取中点，连接，则，连接

为异面直线与所成角

在中，，

,

同理可得,

,

异面直线与所成角的余弦值是

故答案为

【点睛】

本题主要考查了异面直线所成的角，考查了空间想象能力，运算能力和推理论证能力，属于基础题．

三、解答题

21．（1）；（2）见解析；

【解析】

【分析】

（1）根据向量共线定理即可求出k的值.

（2）根据向量的数量积和向量的垂直可得，根据二次函数的性质即可证明。

【详解】

（1）若， ，又因为，所以存在实数，使得，即,得 解得： ；

（2） 

，且 

【点睛】

本题考查了向量的坐标运算和向量的平行和垂直，以及二次函数的性质，属于中档题．

22．（1）（2）

【解析】

【分析】

（1）设，带入和，即可求出，，的值.

（2）首先将题意转化为时，恒成立，再求出，即可.

【详解】

（1）设，

则，

所以，

解得：，.又，

所以.

（2）当时，恒成立，

即当时，恒成立.

设，.

则，.

【点睛】

本题第一问考查待定系数法求函数的解析式，第二问考查二次函数的恒成立问题，属于中档题.

23．（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）所有的可能结果共有种，而满足的共计3个，由此求得“抽取的卡片上的数字满足”的概率；

（2）所有的可能结果共有种，用列举法求得满足“抽取的卡片上的数字、、完全相同”的共计三个，由此求得“抽取的卡片上的数字、、完全相同”的概率，再用1减去此概率，即得所求．

试题解析：（1） 所有的可能结果共有种，

而满足的有、、共计3个

故“抽取的卡片上的数字满足”的概率为

（2） 所有的可能结果共有种

满足“抽取的卡片上的数字、、完全相同”的有、、共计三个

故“抽取的卡片上的数字、、完全相同”的概率为

所以“抽取的卡片上的数字、、不完全相同”的概率为

考点：事件的概率．

【方法点睛】求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，然后再应用公式求解．如果采用方法一，一定要将事件拆分成若干个互斥事件，不能重复和遗漏；如果采用方法二，一定要找准其对立事件，否则容易出现错误．

24．（1）证明见解析（2）圆C的方程为（x－2）2＋（y－1）2＝5

【解析】

【分析】

（1）先求出圆C的方程（x－t）2＋＝t2＋，再求出|OA|,|0B|的长，即得△OAB的面积为定值；（2）根据t得到t＝2或t＝－2，再对t分类讨论得到圆C的方程．

【详解】

（1）证明：因为圆C过原点O，所以OC2＝t2＋.

设圆C的方程是（x－t）2＋＝t2＋，

令x＝0，得y1＝0，y2＝；

令y＝0，得x1＝0，x2＝2t，

所以S△OAB＝OA·OB＝×|2t|×||＝4，

即△OAB的面积为定值．

（2）因为OM＝ON，CM＝CN，所以OC垂直平分线段MN.

因为kMN＝－2，所以kOC＝.

所以t，解得t＝2或t＝－2.

当t＝2时，圆心C的坐标为（2，1），OC＝，

此时，圆心C到直线y＝－2x＋4的距离d＝<，圆C与直线y＝－2x＋4相交于两点．

符合题意，此时，圆的方程为（x－2）2＋（y－1）2＝5.

当t＝－2时，圆心C的坐标为（－2，－1），OC＝，此时C到直线y＝－2x＋4的距离d＝.圆C与直线y＝－2x＋4不相交，

所以t＝－2不符合题意，舍去．

所以圆C的方程为（x－2）2＋（y－1）2＝5.

【点睛】

本题主要考查圆的方程的求法，考查直线和圆的位置关系的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

25．（1）；（2）万；（3）.

【解析】

【分析】

【详解】

试题分析：本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算等基础知识，考查学生的分析问题、解决问题的能力. 第（1）问，由高×组距=频率，计算每组的频率，根据所有频率之和为1，计算出a的值；第（2）问，利用高×组距=频率，先计算出每人月均用水量不低于3吨的频率，再利用频率×样本容量=频数，计算所求人数；第（3）问，将前6组的频率之和与前5组的频率之和进行比较，得出2.5≤x<3，再估计x的值.

试题解析：（1）由频率分布直方图知，月均用水量在[0,0.5)中的频率为0.08×0.5=0.04，

同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5)中的频率分别为0.08，0.20，0.26，0.06，0.04，0.02．

由0.04+0.08+0.5×a+0.20+0.26+0.5×a+0.06+0.04+0.02=1，

解得a=0.30．

（2）由（1），100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12．

由以上样本的频率分布，可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为

300 000×0.12="36" 000．

（3）因为前6组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15=0.88>0.85，

而前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.73<0.85，

所以2.5≤x<3．

由0.3×(x–2.5)=0.85–0.73，

解得x=2.9．

所以，估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准．

【考点】

频率分布直方图

【名师点睛】

本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算公式等基础知识，考查学生的分析问题、解决问题的能力.在频率分布直方图中，第n个小矩形的面积就是相应组的频率，所有小矩形的面积之和为1，这是解题的关键，也是识图的基础．

26．（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）根据题意，由向量数量积的坐标计算公式可得若，则有cosB•（2a+c）+cosC•b=0，结合正弦定理可得cosB•（2sinA+sinC）+cosC•sinB=0，将其整理变形可得，由B的范围分析可得答案；（2）结合题意，根据余弦定理分析可得49=a2+c2+ac，又由a+c=8，变形可得ac=15，由三角形面积公式计算可得答案．

详解：

（1）∵，∴，

∴，

∴ ，

∴，∴.

（2）根据余弦定理可知，∴，

又因为，∴，∴，∴，

则.

点睛：本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现 及 、 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.