2019-2020学年江苏省南京市秦淮区七年级(下)期末数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，每题2分，共16分）

1．（2分）若，则下列各式中正确的是　　

A．    B．    C．    D．

2．（2分）下列各式运算结果为的是　　

A．    B．    C．    D．

3．（2分）某种冠状病毒的平均直径约为，将0.00000008用科学记数法表示为　　

A．    B．    C．    D．

4．（2分）二元一次方程的一个解可以是　　

A．    B．    C．    D．

5．（2分）下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是　　

A．    B．    

C．    D．

6．（2分）如图，直线，，，则的度数是　　

A．    B．    C．    D．

7．（2分）下列命题：①同旁内角互补，两直线平行；②两个锐角互余的三角形是直角三角形；③如果一个角的两边与另一个角的两边互相平行，那么这两个角相等，其中真命题的序号是　　

A．①②    B．①③    C．②③    D．①②③

8．（2分）如图，有、、三种不同型号的卡片，每种各10张．型卡片是边长为的正方形，型卡片是相邻两边长分别为、的长方形，型卡片是边长为的正方形，从中取出若干张卡片（每种卡片至少一张），把取出的这些卡片拼成一个正方形，所有符合要求的正方形个数是　　

A．4    B．5    C．6    D．7

二、填空题（本大题共10小题，每题2分，共20分）

9．（2分）　　；　　．

10．（2分）计算的结果为　　．

11．（2分）分解因式：　　．

12．（2分）一个等腰三角形的两边长分别是2和4，它的周长是　 　．

13．（2分）一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，则这个多边形的边数为　　．

14．（2分）不等式组的整数解为　　．

15．（2分）如图，将沿方向平移得到，若的周长为，则四边形的周长为　 　．

16．（2分）如果两数、满足，那么　　．

17．（2分）如图，是的角平分线，，垂足为．若，，则　　．

18．（2分）我们知道，适合二元一次方程的一对未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解．类似地，适合二元一次不等式的一对未知数的值叫做这个二元一次不等式的一个解．对于二元一次不等式，它的正整数解有　　个．

三、解答题（本大题共9小题，共分）

19．（4分）计算：．

20．（6分）解方程组．

21．（6分）先化简，再求值：，其中，．

22．（6分）解不等式，并在数轴上表示出不等式的解集．

23．（7分）在解答一道课本习题时，两位同学呈现了不同的做法．

题目：如图，，要使，还需要添加什么条件？证明你的结论．

（1）小明添加的条件是“”．根据这一条件完成以下分析过程．

（2）小刚添加的条件是“平分，平分”，根据这一条件请你完成证明过程．

24．（8分）某单位用汽车和火车向疫区运输两批防疫物资，具体运输情况如表所示：

25．（7分）如图，在中，、是上的点，，，垂足分别为、，在上取一点，使．

求证：．

26．（10分）某药店的口罩价格为元只，现推出购买口罩的优惠活动：当购买数量大于2000只时，口罩的单价打折，同时，打完折后购买口罩的金额达到一定数额后，还能获得不同档次的金额减免，如表所示：

已知某顾客购买800只口罩时，实际支付的金额为800元；购买4000只口罩时，获得第二档的减免，实际支付的金额为3000元．

（1）　　，　　；

（2）甲、乙两个单位准备购买一批口罩，甲单位购买了2500只，乙单位购买了4500只．有两种不同的购买方案：

方案一 两单位各自购买：

方案二 两单位合在一起购买．

哪种方案更省钱，请说明理由．

（3）某人在购买口罩时，获得第三档的减免，若此时实际支付的金额不少于5000元，则他至少购买了多少只口罩？（用一元一次不等式解决问题）．

27．（10分）数学概念

百度百科这样定义凹四边形：把四边形的某些边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四边形．

如图①，在四边形中，画出所在直线，边、分别在直线的两旁，则四边形就是凹四边形．

性质初探

（1）在图①所示的凹四边形中，求证：．

深入研究

（2）如图②，在凹四边形中，与所在直线垂直，与所在直线垂直，、的角平分线相交于点．

①求证：；

②随着的变化，的大小会发生变化吗？如果有变化，请探索与的数量关系；如果没有变化，请求出的度数．

2019-2020学年江苏省南京市秦淮区七年级（下）期末数学试卷

参与试题解析

一、选择题（本大题共8小题，每题2分，共16分）

1．（2分）若，则下列各式中正确的是　　

A．    B．    C．    D．

【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．

【解答】解：、，

不一定小于0，如，，，故本选项不符合题意；

、，

，故本选项不符合题意；

、，

，故本选项不符合题意；

、，

，故本选项符合题意；

故选：．

【点评】本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质的内容是解此题的关键，注意：不等式的性质1是：不等式的两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变，不等式的性质2是：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，不等式的性质3是：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．

2．（2分）下列各式运算结果为的是　　

A．    B．    C．    D．

【分析】原式各项计算得到结果，即可作出判断．

【解答】解：、原式，不合题意；

、原式不能合并，不合题意；

、原式，符合题意；

、原式，不合题意，

故选：．

【点评】此题考查了同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

3．（2分）某种冠状病毒的平均直径约为，将0.00000008用科学记数法表示为　　

A．    B．    C．    D．

【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

【解答】解：，

故选：．

【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

4．（2分）二元一次方程的一个解可以是　　

A．    B．    C．    D．

【分析】把、的值代入方程，看看两边是否相等即可．

【解答】解：、把代入方程得：左边，右边，

左边右边，

不是方程的一个解，故本选项不符合题意；

、把代入方程得：左边，右边，

左边右边，

不是方程的一个解，故本选项不符合题意；

、把代入方程得：左边，右边，

左边右边，

是方程的一个解，故本选项符合题意；

、把代入方程得：左边，右边，

左边右边，

不是方程的一个解，故本选项不符合题意；

故选：．

【点评】本题考查了二元一次方程的解，能熟记二元一次方程的解的定义是解此题的关键．

5．（2分）下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是　　

A．    B．    

C．    D．

【分析】根据因式分解的定义得出即可．

【解答】解：、从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；

、从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；

、从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；

、从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；

故选：．

【点评】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．

6．（2分）如图，直线，，，则的度数是　　

A．    B．    C．    D．

【分析】先利用、、的关系，求出，再利用平行线的性质求出．

【解答】解：，

．

，

．

故选：．

【点评】本题考查了三角形的外角与内角的关系及平行线的性质．掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，是解决本题的关键．

7．（2分）下列命题：①同旁内角互补，两直线平行；②两个锐角互余的三角形是直角三角形；③如果一个角的两边与另一个角的两边互相平行，那么这两个角相等，其中真命题的序号是　　

A．①②    B．①③    C．②③    D．①②③

【分析】根据平行线的判定、直角三角形的判定进行判断即可．

【解答】解：①同旁内角互补，两直线平行，是真命题；

②两个锐角互余的三角形是直角三角形，是真命题；

③如果一个角的两边与另一个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补，原命题是假命题，

故选：．

【点评】本题考查了命题与定理：命题写成“如果，那么”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．

8．（2分）如图，有、、三种不同型号的卡片，每种各10张．型卡片是边长为的正方形，型卡片是相邻两边长分别为、的长方形，型卡片是边长为的正方形，从中取出若干张卡片（每种卡片至少一张），把取出的这些卡片拼成一个正方形，所有符合要求的正方形个数是　　

A．4    B．5    C．6    D．7

【分析】每一种卡片10张，并且每种卡片至少取1张，因此拼成的正方形的边长可以为：，，，，，六种情况．

【解答】解：每一种卡片10张，并且每种卡片至少取1张，拼成的正方形，

正方形的边长可以为：，，，，，六种情况；

（注意每一种卡片至少用1张，至多用10张）

即：，需要卡片1张，卡片2张，卡片1张；

，需要卡片1张，卡片4张，卡片4张；

，需要卡片1张，卡片6张，卡片9张；

，需要卡片4张，卡片4张，卡片1张；

，需要卡片4张，卡片8张，卡片4张；

，需要卡片9张，卡片6张，卡片1张；

故选：．

【点评】考查完全平方公式的意义和应用，面积法表示完全平方公式是得出答案的前提．

二、填空题（本大题共10小题，每题2分，共20分）

9．（2分）　1　；　　．

【分析】根据零次幂的性质、负指数次幂的性质，进行计算即可．

【解答】解：，

，

故答案为：1，．

【点评】考查零次幂、负指数次幂的性质，掌握零次幂、负指数次幂的性质是正确计算的前提．

10．（2分）计算的结果为　　．

【分析】直接利用单项式乘多项式运算法则计算得出答案．

【解答】解：．

故答案为：．

【点评】此题主要考查了单项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．

11．（2分）分解因式：　　．

【分析】原式提取2，再利用完全平方公式分解即可．

【解答】解：原式

．

故答案为：．

【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

12．（2分）一个等腰三角形的两边长分别是2和4，它的周长是　10　．

【分析】分2是腰长与底边两种情况讨论求解．

【解答】解：①2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、4，

，

不能组成三角形，

②2是底边时，三角形的三边分别为2、4、4，

能组成三角形，

周长，

综上所述，它的周长是10．

故答案为：10．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于要分情况讨论并利用三角形的三边关系进行判定．

13．（2分）一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，则这个多边形的边数为　八　．

【分析】根据多边形的内角和定理，多边形的内角和等于，外角和等于，然后列方程求解即可．

【解答】解：设多边形的边数是，根据题意得，

，

解得，

这个多边形为八边形．

故答案为：八．

【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据题意列出方程是解题的关键，要注意“八”不能用阿拉伯数字写．

14．（2分）不等式组的整数解为　0，1，2　．

【分析】根据解不等式组的方法可以求得该不等式组的解集，从而可以得到该不等式组的整数解．

【解答】解：，

由不等式①，得

，

由不等式②，得

，

故原不等式组的解集是，

该不等式组的整数解是0，1，2，

故答案为：0，1，2．

【点评】本题考查一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解不等式组的方法．

15．（2分）如图，将沿方向平移得到，若的周长为，则四边形的周长为　　．

【分析】先根据平移的性质得到，，而，则四边形的周长，然后利用整体代入的方法计算即可．

【解答】解：沿方向平移得到，

，，

的周长为，

，

四边形的周长

．

故答案为：．

【点评】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．

16．（2分）如果两数、满足，那么　8　．

【分析】利用加减消元法求出方程组的解，再代入所求式子计算即可．

【解答】解：，

①②得：，解得，

把代入①得：，解答，

所以原方程组的解，

故答案为：8．

【点评】本题主要考查了解二元一次方程组，解二元一次方程组的基本方法有加减消元法和代入消元法．

17．（2分）如图，是的角平分线，，垂足为．若，，则　16　．

【分析】先求出的度数，再求出的度数和的度数，再求出的度数．

【解答】解：，

又是的角平分线，

，

，是边上的高．

，

．

故答案为：16．

【点评】本题考查了三角形的内角和定理和角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和等于是解答此题的关键．

18．（2分）我们知道，适合二元一次方程的一对未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解．类似地，适合二元一次不等式的一对未知数的值叫做这个二元一次不等式的一个解．对于二元一次不等式，它的正整数解有　12　个．

【分析】先把作为常数，解不等式得，根据，是正整数，得，求出的正整数值，再分情况进行讨论即可．

【解答】解：，

，

，是正整数，

，

解得，即只能取1，2，3，

当时，，

正整数解为：，，，，，，

当时，，

正整数解为：，，，，

当时，，

正整数解为：，；

综上，它的正整数解有12个．

故答案为：12．

【点评】本题考查了一元一次不等式的整数解，求出的整数值是本题的关键．

三、解答题（本大题共9小题，共分）

19．（4分）计算：．

【分析】根据同底数幂的乘除法法则以及幂的乘方运算法则化简后，再合并同类项即可．

【解答】解：原式

．

【点评】本题主要考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．

20．（6分）解方程组．

【分析】利用加减消元法解答即可．

【解答】解：，

②①得：，解得：，

把代入②得：，解得：，

所以原方程组的解为：．

【点评】本题考查了二元一次方程组的解法，有加减法和代入法两种，一般选用加减法解二元一次方程组较简单．

21．（6分）先化简，再求值：，其中，．

【分析】直接利用乘法公式化简，再合并同类项，进而把已知数据代入求出答案．

【解答】解：原式

，

当，时，

原式

．

【点评】此题主要考查了整式的混合运算，正确运用乘法公式是解题关键．

22．（6分）解不等式，并在数轴上表示出不等式的解集．

【分析】直接去分母进而解不等式，再在数轴上表示出解集即可．

【解答】解：去分母，得：，

移项，得：，

合并同类项，得：，

系数化为1，得：．

在数轴上表示不等式的解集，如图所示：

【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．

23．（7分）在解答一道课本习题时，两位同学呈现了不同的做法．

题目：如图，，要使，还需要添加什么条件？证明你的结论．

（1）小明添加的条件是“”．根据这一条件完成以下分析过程．

（2）小刚添加的条件是“平分，平分”，根据这一条件请你完成证明过程．

【分析】（1）由题图和推理过程，分析得结论．

（2）由平行线的性质和角平分线的性质，推理证明即可．

【解答】解：（1）由，得到，

依据的是平行线的性质：两直线平行，内错角相等．

故答案为：两直线平行，内错角相等；，

（2），

．

平分，平分，

，．

．

【点评】本题考查了平行线的性质和角平分线的性质．题目难度不大，掌握平行线的性质和角平分线的性质是解决本题的关键．

24．（8分）某单位用汽车和火车向疫区运输两批防疫物资，具体运输情况如表所示：

【分析】设每辆汽车平均装物资吨，每节火车车厢平均装物资吨，根据该单位前两批运输防疫物资的运输情况统计表，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论．

【解答】解：设每辆汽车平均装物资吨，每节火车车厢平均装物资吨，

依题意，得：，

解得：．

答：每辆汽车平均装物资8吨，每节火车车厢平均装物资50吨．

【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．

25．（7分）如图，在中，、是上的点，，，垂足分别为、，在上取一点，使．

求证：．

【分析】根据平行线的判定得出，，根据平行线的性质得出，，即可求出答案．

【解答】证明：，，

，

，

，

，

，

，

．

【点评】本题考查了垂直的定义和平行线的性质和判定，能灵活运用平行线的判定和性质定理进行推理是解此题的关键．

26．（10分）某药店的口罩价格为元只，现推出购买口罩的优惠活动：当购买数量大于2000只时，口罩的单价打折，同时，打完折后购买口罩的金额达到一定数额后，还能获得不同档次的金额减免，如表所示：

已知某顾客购买800只口罩时，实际支付的金额为800元；购买4000只口罩时，获得第二档的减免，实际支付的金额为3000元．

（1）　1　，　　；

（2）甲、乙两个单位准备购买一批口罩，甲单位购买了2500只，乙单位购买了4500只．有两种不同的购买方案：

方案一 两单位各自购买：

方案二 两单位合在一起购买．

哪种方案更省钱，请说明理由．

（3）某人在购买口罩时，获得第三档的减免，若此时实际支付的金额不少于5000元，则他至少购买了多少只口罩？（用一元一次不等式解决问题）．

【分析】（1）直接利用表中数据结合减免方案得出，的值；

（2）直接利用两种方案分别得出所需费用进而比较即可；

（3）利用第三档的减免方案，结合实际支付的金额不少于5000元，进而得出不等式求出答案．

【解答】解：（1）某顾客购买800只口罩时，实际支付的金额为800元，

药店的口罩价格为元只，

购买4000只口罩时，获得第二档的减免，实际支付的金额为3000元，

没有减免前，应付3200元，

故口罩的单价打折，

故答案为：1；8；

（2）方案一：甲单位购买2500只口罩，支付金额为：（元，

乙单位购买4500只口罩，支付金额（元，

（元，

方案二：合在一起购买7000只口罩，支付金额为：（元，

因为，所以方案二更省钱；

（3）设该人购买口罩只，根据题意可得：，

解得：，

答：该人至少购买了6750只口罩．

【点评】此题主要考查了一元一次不等式的应用，正确得出不等关系是解题关键．

27．（10分）数学概念

百度百科这样定义凹四边形：把四边形的某些边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四边形．

如图①，在四边形中，画出所在直线，边、分别在直线的两旁，则四边形就是凹四边形．

性质初探

（1）在图①所示的凹四边形中，求证：．

深入研究

（2）如图②，在凹四边形中，与所在直线垂直，与所在直线垂直，、的角平分线相交于点．

①求证：；

②随着的变化，的大小会发生变化吗？如果有变化，请探索与的数量关系；如果没有变化，请求出的度数．

【分析】（1）如图①，延长交于点，根据三角形外角的性质得到，同理，，从而求得．

（2）①如图②，延长、分别交、于点、，由题意可知，，根据四边形的内角和等于，以及等量关系即可求解；

②由（1）可知，在凹四边形中，①，同理，在凹四边形中，②，根据角平分线的定义和等量关系即可求解．

【解答】（1）证明：如图①，延长交于点，

是的一个外角，

，

同理，，

．

（2）①证明：如图②，延长、分别交、于点、，

由题意可知，，

在四边形中，，

，

，

；

②解：由（1）可知，在凹四边形中，

①，

同理，在凹四边形中，

②，

平分，

，

同理，，

①②得，

由（2）①可知，在凹四边形中，，

，

．

【点评】考查了凹四边形，三角形的外角性质，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．