河南省南阳市方城县第一高级中学2016届高三上学期开学摸底考试数学(理)试题

数学试卷（理科）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1、已知集合，，则（   ）

A．            B．            C．           D． 

2、已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（   ）

A．第一象限         B．第二象限         C．第三象限        D．第四象限

3、已知点，，向量．若，则实数的值为（   ）

A．                B．                 C．                D． 

4、“”是“”的（   ）

A．充分不必要条件        B．必要不充分条件

C．充要条件              D．既不充分也不必要条件

5、下列函数既是奇函数又是上的增函数的是（   ）

A．           B．           C．           D． 

6、某几何体的正（主）视图和侧（左）视图如图所示，则该几何体的体积不可能是（   ）

A．           B．           C．           D． 

7、已知圆和两坐标轴的公共点分别为，，，则的面积为（   ）

A．                 B．                 C．                 D． 

8、执行下面的程序框图，则输出的的值为（   ）

A．                 B．                 C．                 D． 

9、已知函数（，）的部分图象如下图所示，其中与分别为函数图象的一个最高点和最低点，则函数的一个单调增区间为（   ）

A．          B．          C．        D． 

10、已知（）的展开式中常数项为，则该展开式中的系数为（   ）

A．                B．                C．                D． 

11、已知双曲线（，）的右焦点为，（，）是双曲线上的点，．连接并延长交双曲线于，连接，，若是以为顶角的等腰直角三角形，则双曲线的渐近线方程为（   ）

A．         B．         C．         D． 

12、已知函数的图象在点处的切线方程为，若函数满足（其中为函数的定义域），当时，恒成立，则称为函数的“分界点”．已知函数满足，，则函数的“分界点”的个数为（   ）

A．个              B．个              C．个              D．无数个

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）

13、某健康协会从某地区睡前看手机的居民中随机选取了人进行调查，得到如右图所示的频率分布直方图，则可以估计睡前看手机在分钟的人数为         ．

14、若实数，满足约束条件，则的最大值是         ．

15、已知六棱柱的底面是正六边形，侧棱与底面垂直，若该六棱柱的侧面积为，底面积为，则该六棱柱外接球的表面积等于      ．

16、如图，空间四边形中，，，，，．若点在线段上运动，则的最小值为         ．

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17、（本小题满分12分）已知数列的前项和满足．

求数列的通项公式；

求数列的前项和．

18、（本小题满分12分）某巧克力公司为了推广其品牌，邀请顾客玩从盒中抽取巧克力的游戏．现有、两个盒子，其中盒中装有个牛奶巧克力和个酒心巧克力，盒中装有个牛奶巧克力和个酒心巧克力，其中两种巧克力的大小和形状相同，某顾客从、两盒中各任取个巧克力，抽到牛奶巧克力得分，抽到酒心巧克力得分，游戏结束后可根据分数获得相应奖品．

求该顾客取出的巧克力中至多有个数酒心巧克力的概率；

记为该顾客的最后得分，求的分布列及数学期望．

19、（本小题满分12分）已知梯形如图所示，是边的中点，，且，为等边三角形，现将平面沿翻折，使得平面平面，得到如图所示的四棱锥，点在棱上，且．

证明：；

求二面角的大小．

20、（本小题满分12分）已知椭圆（）过点，且离心率为．

若，求椭圆上的点与点距离的平方的最大值；

已知过原点的直线与抛物线交于，两不同点，与椭圆交于，两不同点，其中，两点的纵坐标分别满足，，若，试求直线的方程．

21、（本小题满分12分）设函数，（，）．

当时，求函数的极值；

已知命题，．若命题为假命题，证明：．

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．

22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图所示，四边形的外接圆为圆，线段与线段的延长线交于点，．

若，求的长度；

若为的角平分线，记（），求的值．

23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为．

求曲线的参数方程与曲线的直角坐标方程；

记曲线与曲线交于，两点，求线段的长度．

24、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数．

解不等式；

若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．

河南省南阳市方城县第一高级中学2016届高三调研考试

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