2019绵阳二诊文理科数学典型题目深度剖析

【解析】由中点弦结论知p ky =0，即2=p 。

【点评】全国卷反复考查中点弦结论，因为中点是几何中基本的位置关系之一。在《解析几何的系统性突破》一书作了全面系统的梳理。

【解析】由对称知，⊥2AF 渐近线，即34482

22=-=AF ，由双曲线参数的几何意义知焦点到渐近线的距离为b ，得32=b ，所以2=e 。

【点评】《解析几何的系统性突破》借助高考题总结出双曲线参数有多个几何意义，借助几何意义，可以快速破解。2018全国3卷也是如此考查。

【解析】设椭圆的另一个交点为Q ，由椭圆定义知PQ

PA a PQ a PA PF PA -+=-+=+=228由两边之差小于第三边，得AQ

PQ PA AQ ≤-≤-则2282≤-≤-a ，即53≤≤a ，即25

9≤≤m 【点评】《解析几何的系统性突破》系统性的总结了各种距离的最值，其中第三种是距离之和、差、积、商等。2015新课标2卷文科的16题借助双曲线进行了考查。

【点评】和2014福建一致，转化为椭圆上的点到圆心的最大值加半径。请见《解析几何的系统性突破》的153页。

（理）

【解析】（1）由椭圆的焦点弦公式328cos 2112cos 122222=-⨯⨯=-=θθc b a c e ep AB ，即2

1cos ±=θ，所以3±=k ，先得到答案。【点评】《解析几何的系统性突破》在直线和圆锥曲线的位置关系第4.4节专门介绍焦半径和焦点弦的表达式以及相应的结论。2018全国3卷第20题考查了焦半径公式，值得注意。

（2）因为OB OA ⊥，则OB OA AB d =⋅，则2222OB OA AB d =⋅，即2222222

211111b a OB OA OB OA AB d +=+==迅速可得结论。【点评】《解析几何的系统性突破》在距离问题的第五种分类中，“直角三角形中斜边上高的处理技巧”中这样写道：在推导点()00,A

x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离时，如果通过联立:0l Ax By C ++=与垂线AD 方程求出D ，再用两点间距离公式，这个思路简单，但运算极其繁琐，必修2是先构造出直角三角形，容易求出两条直角边,AB AC ，在Rt ABC ∆中利用等面积法求高AC AB d AD BC

⋅==，其实在此基础上，还可以进一步优化，即222222222AC AB AC AB d AD BC AC AB ⋅⋅===+，则222111d AC AB

=+。并呈现了相应的高考题：2014北京，2012上海，2009和2010山东。理科可以视为2009山

理科

【解析】因为p PF >=24，所以θθcos 122cos 124-=-=p ，即2

1cos =θ则36232242421sin 21=⨯⎪⎭

⎫ ⎝⎛-⨯⨯==p PQ PF S θ【点评】全国卷多次考查解析几何的相关结论，《解析几何的系统性突破》在第六章分四节专门讲解突破运算，其中6.4的第三块就是利用常考结论，高效解题，把我们的思维迅速推向深处呈现了很多的相关的高考题目。

【解析】()01'1≥-+-=-a ax e x f x 恒成立，即()11--≥-a ax e x ，

法一：由重要不等式1+≥x e x 得x e x ≥-1，由级数知识知在0=x 附近，x e x ≈-1，则有

()1--≥a ax x ，即()()011≥--x a 恒成立，即1=a 。

【点评】《高观点下函数导数压轴题的系统性解读》一书在第三章补充了与高考之相关的6块大学知识。

法二：()01'1≥-+-=-a ax e x f x ，因为()01'=f ，所以1=x 是()x f y '=的极值点，则()01''=f ，即1=a 。

【点评】注意到恒成立中的特殊位置，得到极值点的结论，2017全国2卷第21题第1问和2017全国3卷第21题第1问都可以这样快速解决。《高观点下函数导数压轴题的系统性解读》做了深入的分析。

【点评】此题在所谓“极值点偏移”上进行创新，增加了一个零点，从证明不等式升级为求最值，2014天津是研究单调性，处理的方法是设t构造函数法。《高观点下函数导数压轴题的系统性解读》不得不读。