二元一次方程培优竞赛题及答案

甲内容提要

1，二元一次方程整数解存在的条件：在整系数方程ax+by=c中，

若a,b的最大公约数能整除c,则方程有整数解。即

如果（a,b）|c 则方程ax+by=c有整数解

显然a,b互质时一定有整数解。

例如方程3x+5y=1,　 5x-2y=7,　 9x+3y=6都有整数解。

返过来也成立，方程9x+3y=10和 4x-2y=1都没有整数解，

∵（9，3）＝3，而3不能整除10；（4，2）＝2，而2不能整除1。

一般我们在正整数集合里研究公约数，（a,b）中的a,b实为它们的绝对值。

2，二元一次方程整数解的求法：

若方程ax+by=c有整数解，一般都有无数多个，常引入整数k来表示它的通解（即所有的解）。k叫做参变数。

方法一，整除法：求方程5x+11y=1的整数解

解：x== (1) ,  

      设是整数），则y=1-5k (2) ,　　

把（2）代入（1）得x=k-2(1-5k)=11k-2

∴原方程所有的整数解是

方法二，公式法：

则通解是（x0,y0可用观察法）

3，求二元一次方程的正整数解：

1出整数解的通解，再解x,y的不等式组，确定k值

2用观察法直接写出。

例1求方程5x－9y=18整数解的能通解

解x=

设（k为整数），y=3－5k,　代入得x=9－9k 

 ∴原方程整数解是　（k为整数）    

又解：当x=o时，y=－2，

∴方程有一个整数解它的通解是（k为整数）

　　从以上可知整数解的通解的表达方式不是唯一的。

例2，求方程5x+6y=100的正整数解

解：x=(1)，

 设(k为整数)，则y=5k,(2)

把（2）代入（1）得x=20-6k，

∵　解不等式组

得0＜k<,k的整数解是1，2，3，

∴正整数解是

例3，甲种书每本3元，乙种书每本5元，38元可买两种书各几本？

解：设甲种书买x本，乙种书买y本，根据题意得

3x+5y=38　（x,y都是正整数）

∵x＝1时，y=7，∴是一个整数解

∴通解是（k为整数）

解不等式组得解集是　　∴整数k=0，1，2

把k=0,1,2代入通解，得原方程所有的正整数解

答：甲、乙两种书分别买1和7本或6和4本或11和1本。

丙练习10

1，求下列方程的整数解

①公式法：x+7y=4,   5x-11y=3

②整除法：3x+10y=1,  11x+3y=4

2,　求方程的正整数解：①5x+7y=87,　　　②5x+3y=110

3，一根长10000毫米的钢材，要截成两种不同规格的毛坯，甲种毛坯长300毫米，乙种毛坯长250毫米，有几种截法可百分之百地利用钢材？

4，兄弟三人，老大20岁，老二年龄的2倍与老三年龄的5倍的和是97，求兄弟三人的岁数。

5，下列方程中没有整数解的是哪几个？答：＿＿＿＿＿＿＿＿（填编号）

14x＋2y=11,   ②10x-5y=70,     ③9x+3y=111,

④18x-9y=98,    ⑤91x-13y=169,    ⑥120x+121y=324.

6, 　一张试巻有20道选择题，选对每题得5分，选错每题反扣2分，不答得0分，小这军同学得48分，他最多得几分？

7．　用观察法写出方程3x+7y=1几组整数解：