(一)正多边形与圆
1、问题背景,某课外学习小组在一次学习研讨中,得到如下两个命题;
①如图1-1,在正三角形ABC中,M、N分别是AC、AB上的点,BM与CN相交于点O,若BON=60°,则BM=CN。
②如图1-2,在正方形ABCD中,M、N分别是CD、AD上的点,BM与CN相交于点O,若∠BON=90°,则BM=CN.
③如图1-3,在正五边形ABCDE中,M、N分别是CD、DE上的点,BM与CN相交于点O,若∠BON=180°,则BM=CN。
任务要求:
(1)请你从①②③三个命题中选择一个进行证明。
(2)请你继续完成下面探索:
①如图1-4,在正n(n≥3)边行ABCDEF…中,M、N分别是CD、DF上的点,BM与CN相交于点O,问当BON等于多少度时,结论BM=CN成立?
②如图1-5,在正五边形ABCDE中,M、N分别是DE、AE上的点,BM与CN相交于点O,当∠BON=108°时请问BM=CN是否成立,并说明。
2.探究:某班在探讨正多边形问题时,得到以下命题:
①如图2-1,正△ABN,P、Q分别从B、A出发,在边BC及NA的延长线上运动,若BP=AQ,则M是PQ的中点。
②如图2-3,正五边形BCDN,P、Q分别从B、A出发,在边BC、NA的延长线运动,若BP=AQ,则M是PQ的中点。
归纳:对于正多边形ABC…N,P、Q分别从B、A出发,在边BC、NA的延长线上运动,若BP=AQ,则M为PQ的中点。
(1)请你从两个命题中任选一个进行证明。
(2)请在图2-2中根据上面归纳画出图形,并比较AM和BM的大小:AM BM。
(3)如图2-4,正六边形ABCDEF中,P在边CD上,PB交NA的延长线于Q,求证:BP=BQ.
练习1,周长相等的正三角、正方形、正六边形的面积分别为、、,则( )
A、>> B、 > > C、>> D、>>
2.正方形的面积为2,那么夹在它的内切圆和外接圆之间的圆环面积为( )
A、 B、π C、π D、π
3、有一个边长为2cm的正六边形,若要剪一张圆形纸片完全盖住这个圆形,则这个图形纸片的最小半径是 。
4、将一张正六边形硬纸片如图做成一个低面积仍是正六边形且高相等的无盖纸盒(侧面均垂直于底面图2),需在每一个顶点处剪去一个四边形。例如图中的四边形AGA′H,那么CA′H的大小是 。
5、如图1、2、3、…、n,M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、……、正n边形ABCDE……的边AB、BC上的点,且BM=CN,连结OM、ON。
(1)求第一图中∠MON的度数;
(2)第二图中∠MON的度数是 ,第三图中∠MON的度数是 。
(3)试探究∠MON的度数与正n的边形边数n的关系(直接写出答案)。
(二)扇形和圆锥
1、一圆锥的侧面展开后是扇形,该扇形的圆心角为120°,半径为6πcm,则此圆锥的表面积为( )
A、4π B、12π C、16π D、28π
2.如图,在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片,使之恰好能围成一个圆锥模型,若圆的半径为r,扇形的半径为R,扇形的圆心角等于120°,则r与R之间的关系是( )
A、R=2r B、R=r C、R=3r D、R=4r
3、将直径为cm的圆形铁皮,做成四个相同圆锥容器的侧面(不浪费材料,不计接缝处的材料损耗),那么每个圆锥容器的高位( )
A、8cm B、8cm C、16cm D、16cm
4、如图,圆锥的底面半径为3cm,母线长为5cm,则它的侧面积为( )
A、60π B、45π C、30π D、15π
5、已知圆柱的底面半径为4,高为6,则这个圆柱的侧面积为( )
A、24 B、24π C、48 D、48π
6、如图,在半径为R的圆内作一个内接正方形,然后作这个正方形的内切圆,又在这个内切圆中作内接正方形,依次作到第n个内切圆,它的半径是( )
A、 B、 C、 D、
7、如图,小明从半径为5cm的圆形纸片中剪下40%圆周的一个扇形,然后利用剪下的扇形制作成一个圆锥形玩具纸帽(接缝处不重叠),那么这个圆锥的高为
A、3cm B、4cm C、cm D、2cm
8、扇形的半径为6cm,面积为9π,那么扇形的弧长为 扇形的圆心角度数为 。
9、用一张面积为900π的正方形硬纸片围成一个圆柱的侧面,则这个圆柱的底面直径为 。
11、圆锥的底面半径为6 cm,高为8 cm,那么这个圆锥的侧面积是 。
12、已知圆锥的侧面展开图的弧长为6πcm,圆心角为216°,则此圆锥的母线长为 cm。
13、如图,小明想用图中所示的扇形纸片围成一个圆锥,已知扇形的半径为5cm,弧长是6πcm,那么围成的圆锥的高度是 cm。
14、如果从半径为9cm的圆形纸片剪去圆周的一个扇形,将留下来的扇形围成一个圆锥(接缝处不重叠),那么这个圆锥的底面半径为( )
A、6cm B、3cm C、9cm D、5cm
15、一个扇形,半径为10 cm,圆心角为270°,用它做成一个圆锥的侧面,那么圆锥的高为 cm。
16、已知O为圆锥的顶点,M为圆锥底面上一点,点P的OM上,一只蜗牛从P点出发,绕圆锥侧面爬行,回到P点时所爬过的最短路线的痕迹如图所示,若沿OM将圆锥侧面剪开并展开,所得侧面展开图的是( )
17、如图是一个圆锥形零件,经过轴的剖面是一个等腰三角形,则这个零件的侧面积是( )
A、65π B、35π C、90π D、60π
18、如图,从一个直径是1m的圆形铁皮中剪出一个圆心角为90°的扇形。
(1)求被剪掉的部分的面积:
(2)如果将剪下来的扇形围成一个圆锥,圆锥的底面圆的半径是多少?
19、已知:如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,分别以AC、BC为直径的圆交AB于D,求阴影部分的面积。
20、已知:如图,⊙O的直径AB=6cm,ADC的度数为100°,D是的中点,求图中阴影部分的面积。
21,已知扇形的圆心角为120°,面积为300π.
(1)求扇形的弧长;
(2)若将此扇形卷成一个圆锥,则这个圆锥的抽截面面积为多少?
参
一、正多边形与圆
1B 2A 3.2cm 4.60°
5.(1)∠MON=∠BOC=120°
(2)90° 75°
(3)360/n
二、扇形与圆锥
1C 2C 3A 4D 5D 6A 7C 8.3π,90°11.60π 12.5 13.4 14.A
15. 16.D 17A
18.(1) (2)
19.
20. 21.(1)20π (2)200