基本不等式求最值的技巧

一．基本不等式

1.（1）若，则  (2)若，则（当且仅当时取“=”）

2. (1)若，则    (2)若，则（当且仅当时取“=”）

(3)若，则  (当且仅当时取“=”）

3.若，则(当且仅当时取“=”）;若，则(当且仅当时取“=”）

若，则  (当且仅当时取“=”）

3.若，则  (当且仅当时取“=”）

若，则  (当且仅当时取“=”）

4.若，则（当且仅当时取“=”）

注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．

（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”

(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．

应用一：求最值

例1：求下列函数的值域

（1）y＝3x 2＋                   （2）y＝x＋

解题技巧：

技巧一：凑项

例1：已知，求函数的最大值。

技巧二：凑系数

例1. 当时，求的最大值。

技巧三： 分离

例3. 求的值域。

技巧四：换元

技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数的单调性。例：求函数的值域。

练习．

1.求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值.

   （1）（2）  (3) 

2．已知，求函数的最大值.；

3．，求函数的最大值.

条件求最值

1.若实数满足，则的最小值是          .

变式：若，求的最小值.并求x,y的值

技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。

2：已知，且，求的最小值。

变式： （1）若且，求的最小值

(2)已知且，求的最小值

技巧七、已知x，y为正实数，且x 2＋＝1，求x的最大值.

技巧八：已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝的最小值.

变式：1.已知a>0，b>0，ab－(a＋b)＝1，求a＋b的最小值。

2.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。

技巧九、取平方

5、已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，求函数W＝＋的最值.

变式: 求函数的最大值。

应用二：利用基本不等式证明不等式

1．已知为两两不相等的实数，求证： 

1）正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc

应用三：基本不等式与恒成立问题

例：已知且，求使不等式恒成立的实数的取值范围。

应用四：均值定理在比较大小中的应用：

例：若，则的大小关系是      .