2020高考—概率统计(解答+答案)

1.(20全国Ⅰ文17)

某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A，B，C，D四个等级.加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：

甲分厂产品等级的频数分布表

乙分厂产品等级的频数分布表

（1）分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；

（2）分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务?

2.(20全国Ⅰ理19)

甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：

累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.

经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为12

， （1）求甲连胜四场的概率； （2）求需要进行第五场比赛的概率； （3）求丙最终获胜的概率.

3.（20全国Ⅱ文18）

某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(x i ，y i ) (i=1，2，…，20)，其中x i 和y i 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得

20

160i i

x

==∑，

20

1

1200i i

y

==∑，

20

2

1

)80i i

x x =-=∑

（，

20

2

1

)9000i i

y y =-=∑

（，

20

1

))800i

i i

x y x y =--=∑

（（． （1）求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数)；

（2）求样本(x i ，y i ) (i=1，2，…，20)的相关系数(精确到0.01)；

（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大．为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．

附：相关系数r

=

))n

i

i

x y x y --∑

（（

=1.414．

4.（20全国Ⅲ文18）

某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：

（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；

（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×

2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？

附：2

2

()()()()()

n ad bc K a b c d a c b d -=++++，

5.（20新高考Ⅰ19）

为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和2SO 浓度（单位：3μg/m ），得下表：

（1）估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150”的概率； （2）根据所给数据，完成下面的22⨯列联表：

与

2

SO浓度有关？

附：

2

2

()

()()()()

n ad bc

K

a b c d a c b d

-

=

++++

，

6.（20江苏23）（本小题满分10分）

甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为X n，恰有2个黑球的概率为p n，恰有1个黑球的概率为q n．

（1）求p1，q1和p2，q2；

（2）求2p n+q n与2p n-1+q n-1的递推关系式和X n的数学期望E(X n)(用n表示) ．

7.(20北京18)某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二．为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：

假设所有学生对活动方案是否支持相互．

（Ⅰ）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；

（Ⅱ）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；

（Ⅲ）将该校学生支持方案的概率估计值记为0p ，假设该校年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为1p ，试比较0p 与1p 的大小．（结论不要求证明）

参：

1．解：（1）由试加工产品等级的频数分布表知，

甲分厂加工出来的一件产品为A 级品的概率的估计值为40

0.4100=； 乙分厂加工出来的一件产品为A 级品的概率的估计值为

28

0.28100

=. （2）由数据知甲分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为

因此甲分厂加工出来的100件产品的平均利润为

654025205207520

15100

⨯+⨯-⨯-⨯=.

由数据知乙分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为

因此乙分厂加工出来的100件产品的平均利润为

702830170347021

10100

⨯+⨯+⨯-⨯=.

比较甲乙两分厂加工的产品的平均利润，应选甲分厂承接加工业务.

2．解：（1）甲连胜四场的概率为

116

． （2）根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛． 比赛四场结束，共有三种情况： 甲连胜四场的概率为116； 乙连胜四场的概率为

116

； 丙上场后连胜三场的概率为1

8

．

所以需要进行第五场比赛的概率为11131161684

---=． （3）丙最终获胜，有两种情况：

比赛四场结束且丙最终获胜的概率为1

8

．

比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为116，18，18

． 因此丙最终获胜的概率为11117

8168816

+++=．

3．解：（1）由己知得样本平均数20

1

601

20

i i

y y

===

∑，从而该地区这种野生动物数量的估计值

为60×200= 12 000． （2）样本(,)i i x y (1,2,

,20)i =的相关系数

20

))

0.94

3

i i

x y

r

x y

--

===≈

∑（（

．

（3）分层抽样：根据植物覆盖面积的大小对地块分层，再对200个地块进行分层抽样．理由如下：由（2）知各样区的这种野生动物数量与植物覆盖面积有很强的正相关．由于各地块间植物覆盖面积差异很大，从而各地块间这种野生动物数量差异也很大，采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构的一致性，提高了样本的代表性，从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计．

4．解：（1）由所给数据，该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率的估计值如下表：

（2）一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为

1

(100203003550045)350

100

⨯+⨯+⨯=．

（3）根据所给数据，可得22

⨯列联表：

根据列联表得

2

2

100(3382237)

5.820

55457030

K

⨯⨯-⨯

=≈

⨯⨯⨯

．

由于5.820 3.841

>，故有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关．

5．解：（1）根据抽查数据，该市100天的空气中PM2.5浓度不超过75，且

2

SO浓度不超过150的天数为321868

+++=,因此,该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且

2

SO浓度不超过150的概率的估计值为

0.

100

=．

（2）根据抽查数据，可得22

⨯列联表：

（3）根据（2）的列联表得2

100(101610)7.48480207426

K ⨯⨯-⨯=

≈⨯⨯⨯． 由于7.484 6.635>，故有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与2SO 浓度有关．

6.解：（1）113111133C C 1C C 3p =⋅=，1

13

211133C C 2C C 3

q =⋅=，

1111

3121

211111*********C C C C 1270(1)C C C C 3927

p p q p q p q =⋅⋅+⋅⋅+⋅--=+=，

11111111

3322211

2211111111111133333333

C C C C C C C C ()(1)C C C C C C C C q p q p q =⋅⋅+⋅+⋅⋅+⋅⋅--

11216=9327

q -+=．

（2）当2n ≥时，

11113121

11111111113333C C C C 120(1)C C C C 39

n n n n n n n p p q p q p q ------=⋅⋅+⋅⋅+⋅--=+，①

11111111

3322211

211111111111133333333

C C C C C C C C ()(1)C C C C C C C C n n n n n q p q p q ----=⋅⋅+⋅+⋅⋅+⋅⋅--

112

=93

n q --+，②

2⨯+①②，得()11111241212

22399333

n n n n n n n p q p q q p q -----+=

+-+=++． 从而1112(211)3n n n n p q p q ---+-+=，又111

312p q -+=，

所以11112()1()3331n n

n n p q -+++==，*n ∈N ．③

由②，有1313()595n n q q --=--，又1351

15

q -=，

所以1113

()1595

n n q -=

-+，*n ∈N ．

由③，有13111()210111()()33925

n n n n n p q =+=-+-+［］，*n ∈N ． 故31111

1()()109235

n n n n p q --=

--+，*n ∈N ． n X 的概率分布

n X

0 1 2 P

1n n p q --

n q

n p

则*

1()0(1)121(),3

n n n n n n E X p q q p n =⨯--+⨯+⨯=+∈N ．

7.